2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)理科数学试题及详解精编精校版(适用地区:河南河北山西 江西湖北 湖南广东安徽 福建山东).docx
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1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标 1 卷) 理科数学 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1设,则 ( ) A B C D 1. 答案:C 解答: 1 2 1 i zii i ,1z ,选 C
2、. 2已知集合,则( ) A B C D 2. 答案:B 解答: |2Ax x 或 1x ,则 | 12 R C Axx . 3某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该 地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是( ) A新农村建设后,种植收入减少 B新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 3. 答案:A 解答:假设建设前收入为a,则
3、建设后收入为2a,所以种植收入在新农村建设 前为60%a,新农村建设后为37% 2a;其他收入在新农村建设前为4% a,新 1 i 2i 1 i z | z 0 1 2 1 2 2 20Ax xxA R 12xx 12xx |1|2x xx x|1|2x xx x 农村建设后为5% 2a,养殖收入在新农村建设前为30% a,新农村建设后为 30% 2a 故不正确的是 A. 4记为等差数列 的前项和.若,则( ) A B C D 4. 答案:B 解答: 111111 3 24 3 3(3)249967320 22 adadadadadad 6 203dd , 51 424 ( 3)10aad .
4、 5 设函数 .若为奇函数, 则曲线 在点处的切 线方程为 A B C D 5. 答案:D 解答: ( )f x为奇函数, ()( )fxf x , 即1a , 3 ( )f xxx, ( 0 ) 1f , 切线方程为: yx ,选 D. 6在中, 为边上的中线,为的中点,则( ) A B C D 6. 答案:A 解答: 11 131 () 22 244 EBABAEABADABABACABAC. 7某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图圆柱表面上的点在正视图上的对应 点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到 的路径中,最短路径的长度为( ) A B C3 D
5、2 7. 答案:B 解答:三视图还原几何体为一圆柱,如图,将侧面展开,最短路径为 ,M N连线 的距离,所以 22 422 5MN ,所以选 B. n S n an 324 3SSS 1 2a 5 a 12101012 32 ( )(1)f xxaxax( )f x( )yf x(0,0) 2yx yx 2yx yx ABCADBCEAD EB 31 44 ABAC 13 44 ABAC 31 44 ABAC 13 44 ABAC M ANBMN 17252 8设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(2,0)且斜率为的直线与 C 交于 M,N 两点, 则=( ) A5 B6 C7 D8
6、8. 答案:D 解答:由题意知直线MN的方程为 2 (2) 3 yx,设 1122 ( , ), ( ,)M x yN x y,与抛物线 方程联立有 2 2 (2) 3 4 yx yx ,可得 1 1 1 2 x y 或 2 2 4 4 x y , (0,2),(3,4)FMFN,0 32 48FM FN . 9已知函数 若 g(x)存在 2 个零点,则 a 的 取值范围是( ) A1,0) B0,+) C1,+) D1,+) 9. 答案:C 解答: ( )( )g xf xxa 存在2个零点,即 ( )yf x 与y xa 有两个交点, )(xf 的图象如下: 要使得y xa 与 )(xf
7、有两个交点,则有1a 即1a,选 C. 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成,三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC的三边所围成的 区域记为,黑色部分记为,其余部分记为在整个图形中随机取一点,此点取自 ,的概率分别记为 p1,p2,p3,则( ) Ap1=p2 Bp1=p3 Cp2=p3 Dp1=p2+p3 10. 答案:A 解答:取2ABAC,则2 2BC , 2 3 FM FN e0 ( ) ln0 x x f x xx , , ( )( )g xf xxa ABC 区域的面积为 1 1 2 22 2 S ,区域的面积为
8、2 3 1 ( 2)22 2 S, 区域的面积为 2 23 12SS,故 12 pp. 11已知双曲线 C:,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条 渐近线的交点分别为 M、N.若为直角三角形,则|MN|=( ) A B3 C D4 11. 答案:B 解答:渐近线方程为: 2 2 0 3 x y,即 3 3 yx ,OMN为直角三角形,假 设 2 ONM ,如图,3 NM k,直线MN方程为3(2)yx.联立 3 3 3(2) yx yx 33 ( ,) 22 N,即3ON , 3 MON ,3MN , 故选 B. 12已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面
9、所成的角都相等,则 截此正方体所 得截面面积的最大值为( ) A B C D 12. 答案:A 解答: 由于截面与每条棱所成的角都相等, 所以平面中存在平面与平面 11 ABD平 行(如图) ,而在与平面 11 ABD平行的所有平面中,面积最大的为由各棱的中点构 成的截面EFGHMN,而平面EFGHMN的面积 12233 3 6 22224 S . 2 2 1 3 x y OMN 3 2 2 3 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13若,满足约束条件,则的最大值为_ 13.答案:6 解答: 画出可行域如图所示,可知目标函数
10、过点(2,0)时取得最大值, max 3 22 06z . 14记为数列的前项和.若,则_ 14.答案:63 解答:依题意, 11 21, 21, nn nn Sa Sa 作差得 1 2 nn aa ,所以 n a为公比为2的等比数 列,又因为 111 21aSa,所以 1 1a ,所以 1 2n n a ,所以 6 6 1 (12 ) 63 12 S . 15从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法 共有_种 (用数字填写答案) xy 220 10 0 xy xy y 32zxy n S n an21 nn Sa 6 S 15.答案:16 解
11、答:恰有1位女生,有 12 24 12C C 种; 恰有2位女生,有 21 24 4C C 种,不同的选法共有12 4 16 种. 16已知函数,则的最小值是_ 16.答案: 3 3 2 解答: ( )2sinsin2f xxx , ( )f x最小正周期为 2T, 2 ( )2(coscos2 )2(2coscos1)fxxxxx,令 ( )0fx ,即 2 2coscos10xx , 1 cos 2 x 或cos1x. 当 1 cos 2 ,为函数的极小值点,即 3 x 或 5 3 x, 当cos 1,x x 53 ()3 32 f . 3 ()3 32 f ,(0)(2 )0ff, (
12、)0f ( )f x最小值为 3 3 2 . 三、 解答题:共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60 分。 17 (12 分)在平面四边形中,. (1)求; (2)若,求. 17.答案: (1) 23 5 ; (2)5. 解答: 2sinsin2f xxx f x ABCD90ADC45A2AB 5BD cos ADB 2 2DC BC (1)在ABD中,由正弦定理得: 52 sin45sinADB , 2 sin 5 ADB, 90ADB, 2 23 cos
13、1 sin 5 ADBADB. (2) 2 ADBBDC ,coscos()sin 2 BDCADBADB , coscos()sin 2 BDCADBADB , 222 cos 2 DCBDBC BDC BD DC , 2 2825 52 5 2 2 BC .5BC . 18 (12 分)如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕 把折起,使点到达点的位置,且. (1)证明:平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值. 18.答案: (1)略; (2) 3 4 . 解答: (1) ,E F分别为,AD BC的中点,则 / /EFAB,EF BF, 又PFBF,EFPFF,BF 平面PEF,
14、BE 平面ABFD,平面PEF 平面ABFD. (2)PFBF,/ /BFED,PFED, 又PFPD,EDDPD,PF 平面PED,PFPE, 设4AB ,则4EF ,2PF ,2 3PE , 过P作PHEF交EF于H点, 由平面PEF 平面ABFD, PH 平面ABFD,连结DH, 则PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角, 由PE PFEF PH, 2 3 2 3 4 PH , 而4PD , 3 sin 4 PH PDH PD , DP与平面ABFD所成角的正弦值 3 4 . 19 (12 分) 设椭圆的右焦点为, 过的直线 与交于两点, 点 ABCD,E F,AD BCDF DFCC
15、PPFBF PEF ABFD DPABFD 2 2 :1 2 x CyFFlC,A BM 的坐标为. (1)当 与轴垂直时,求直线的方程; (2)设为坐标原点,证明:. 19.答案: (1) 2 (2) 2 yx ; (2)略. 解答:(1) 如图所示, 将1x 代入椭圆方程得 2 1 1 2 y, 得 2 2 y , 2 ( 1 ,) 2 A, 2 2 AM k ,直线AM的方程为: 2 (2) 2 yx . (2)证明:当l斜率不存在时,由(1)可知,结论成立;当l斜率存在时,设 其方程为 (1)yk x , 1122 ( ,), (,)A x yB x y,联立椭圆方程有 2 2 (1)
16、 , 1 2 yk x x y 即 2222 (21)4220kxk xk, 2 12 2 4 21 k xx k , 2 12 2 22 21 k x x k , 121212 1212 (23()4 22(2)(2) AMBM yykx xxx kk xxxx 22 22 12 4412 (4) 2121 0 (2)(2) kk k kk xx , AMBM kk ,OMAOMB. 20 (12 分) 某工厂的某种产品成箱包装, 每箱 200 件, 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验, 如检验出不合格品,则更换为合格品检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再 根据检验结果决定是否
17、对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 ,且各件产品是否为不合格品相互独立 (1)记 20 件产品中恰有 2 件不 合格品的概率为,求的最大值点 (2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的作为 的值已知每件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件 不合格品支付 25 元的赔偿费用 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为, 求; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作 检验? (2,0) lxAM OOMAOMB ) 10( pp )(pf)(p
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