2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (文科)解析版.doc
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1、 20152015 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,含解析)年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,含解析) 第卷(共第卷(共 5050 分)分) 一、一、 选择题:本大题共选择题:本大题共 1010 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 5050 分分. .在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合项是符合 要求的要求的 1. 已知集合 A=x|20 B.若方程 2 0xxm有实根,则0 .若方程 2 0xxm没有实根,则 0 .若方程 2 0xxm没有实根,则0 【答案】D 【解析】 试题分析:一个命题的逆否命题,要将原命
2、题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选 D. 考点:命题的四种形式. 6. 为比较甲、 乙两地某月 14 时的气温状况, 随机选取该月中的 5 天, 将这 5 天中 14 时的气温数据 (单位: ) 制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论: 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; 甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; 甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) (A) (B) (C) (D)
3、【答案】B 考点:1.茎叶图;2.平均数、方差、标准差. 7. 在区间0,2上随机地取一个数 x,则事件“ 1 2 1 -1log 2 x() 1”发生的概率为( ) (A) 3 4 (B) 2 3 (C) 1 3 (D) 1 4 【答案】A 【解析】 试题分析:由 1 2 1 -1log 2 x() 1得, 111 222 11 113 log 2loglog,2,0 22 222 xxx(),所以,由 几何概型概率的计算公式得, 3 0 3 2 204 P ,故选 A. 考点:1.几何概型;2.对数函数的性质. 8. 若函数 21 ( ) 2 x x f x a 是奇函数,则使 f(x)3
4、 成立的 x 的取值范围为( ) (A)( ) (B)() (C) (0,1) (D) (1,+) 【答案】C 【解析】 试题分析: 由题意( )()f xfx , 即 2121 , 22 xx xx aa 所以,(1)(21)0,1 x aa, 21 ( ), 21 x x f x 由 21 ( )3 21 x x f x 得,122,01, x x故选 C. 考点:1.函数的奇偶性;2.指数运算. 9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体的体积为( ) (A)(B)( )2 2( )4 2 【答案】B 考点:1.旋转体的几何特
5、征;2.几何体的体积. 10. 设函数 3,1 ( ) 2 ,1 x xb x f x x ,若 5 ( ( )4 6 f f,则 b=( ) (A)1 (B) 7 8 (C) 3 4 (D) 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意, 555 ( )3, 662 fbb 由 5 ( ( )4 6 f f得, 5 1 2 5 3()4 2 b bb 或 5 2 5 1 2 24 b b ,解得 1 2 b ,故选 D. 考点:1.分段函数;2.函数与方程. 第卷(共第卷(共 100100 分)分) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 5 小题,小题,每小题每小题 5 5 分,共
6、分,共 2525 分分 11. 执行右边的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 y 的值是 . 【答案】13 考点:算法与程序框图. 12. 若 x,y 满足约束条件 1 3, 1 yx xy y 则3zxy的最大值为 . 【答案】7 【解析】 试题分析:画出可行域及直线30xy,平移直线30xy,当其经过点(1,2)A时,直线的纵截距最 大,所以3zxy最大为1 3 27z . 考点:简单线性规划. 13. 过点 P(1,)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则= . 【答案】 3 2 考点:1.直线与圆的位置关系;2.平面向量的数量积. 14. 定义运算“” : 22 xy xy
7、xy (,0xyR xy,).当00xy,时,(2 )xyyx的最 小值是 . 【答案】2 【解析】 试题分析:由新定义运算知, 2222 (2 )4 (2 ) (2 )2 yxyx yx y xxy ,因为,00xy, 所以, 222222 422 2 (2 )2 222 xyyxxyxy xyyx xyxyxyxy ,当且仅当2xy时, (2 )xyyx的最小值是2. 考点:1.新定义运算;2.基本不等式. 15. 过双曲线C: 22 22 1 xy aa 0,0ab()的右焦点作一条与其渐近线平行的直线, 交C于点P.若点P的 横坐标为2a,则C的离心率为 . 【答案】23 考点:1.双
8、曲线的几何性质;2.直线方程. 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 6 小题,共小题,共 7575 分分 16. (本小题满分 12 分) 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表: (单位:人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1) 从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,A3,A4,A5,3 名 女同学 B1,B2,B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 A1被选中
9、且 B1未被选中的 概率. 【答案】(1) 1 3 ;(2) 2 15 . 【解析】 试题分析: (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社 团的共有45 3015人,所以从该班级随机选1名同学,利用公式计算即得. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有: 111213212223313233 ,A BA BA BA BA BA BA BA BA B 414243515253 ,A BA BA BA BA BA B,共15个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“ 1 A被选中且 1 B未被选中”
10、所包含的基本事件有: 1213 ,A BA B,共2个. 应用公式计算即得. 试题解析: (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社 团的共有45 3015人,所以从该班级随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 151 . 453 P (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有: 111213212223313233 ,A BA BA BA BA BA BA BA BA B 414243515253 ,A BA BA BA BA BA B,共15个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“
11、1 A被选中且 1 B未被选中”所包含的基本事件有: 1213 ,A BA B,共2个. 因此 1 A被选中且 1 B未被选中的概率为 2 15 P . 考点:1.古典概型;2.随机事件的概率. 17. (本小题满分 12 分) ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 36 cos,sin (),2 3 39 BABac 求sinA 和c 的值. 【答案】 2 2 ,1. 3 由正弦定理可得2 3ac,结合2 3ac 即得. 试题解析:在ABC中,由 3 cos 3 B ,得 6 sin 3 B . 因为ABC,所以 6 sinsin() 9 CAB, 因为sinsinCB
12、,所以CB,C为锐角, 5 3 cos 9 C , 因此sinsin()sincoscossinABCBCBC 65 3362 2 39393 . 由, sinsin ac AC 可得 2 2 sin 3 2 3 sin6 9 c cA ac C ,又2 3ac ,所以1c. 考点:1.两角和差的三角函数;2.正弦定理. 18. 如图,三棱台DEFABC中,2ABDEGH, ,分别为ACBC,的中点. (I)求证:/ /BD平面FGH; (II)若CFBCABBC,求证:平面BCD平面EGH. 【答案】证明见解析 思路二:在三棱台DEFABC中,由2,BCEF H为BC的中点, 可得HBEF为
13、平行四边形, /.BEHF 在ABC中,GH,分别为ACBC,的中点, 得到/ /,GHAB又GHHFH, 得到平面/FGH平面ABED. (II)证明: 连接HE.根据 GH,分别为ACBC,的中点, 得到 / /,GHAB由,ABBC得GHBC, 又H为BC的中点,得到四边形EFCH是平行四边形,从而 /.CFHE 又CFBC,得到 HEBC. 试题解析: (I)证法一:连接,.DG CD设CDGFM,连接MH,在三棱台DEFABC中, 2ABDEG,分别为AC的中点,可得/ /,DFGC DFGC,所以四边形DFCG是平行四边形,则M 为CD的中点,又H是BC的中点,所以/HMBD, 又
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