2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题 ( 理科).（解析版）(word版).doc

1、 绝密启用前 试卷类型：B 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (山东卷山东卷) ) 理科数学解析版理科数学解析版 注意事项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、

2、草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 l0l0 小题每小题小题每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的有一项是满足题目要求的. . ( 1 ) 已知全集U R，集合12Mx x，则 U C M=( ) （A）13xx (B) 13xx (C) 13x xx， 或 (D) 13x xx， 或 【答案】C 【解析】因为集合1213Mx xxx,全集U R， 所以 UM 13x xx， 或. 【命题意图

3、】本题考查集合的补集运算,以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题. (2) 已知 2i i( ,) i a ba b R，其中i为虚数单位，则ab( ) (A)1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由 +2i = +i i a b得+2i= i-1ab,所以由复数相等的意义知= 1, =2ab,所以+ =a b1. 另解：由 +2i = +i i a b得i+2= +iab( ,)a bR，则1,2,1abab . 故选 B. 【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。 (3)在空间，下列命题正确的是( ) （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一

4、直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。 【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。 （4） 设( )f x为定义在R上的奇函数，当0x时，( )22 x f xx b (b为常数)，则( 1 )f ( ) (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3 【答案】D 【解析】由( )f x为定义在R上的奇函数可知 0 (0)210,1fbbb ， 于是( 1)(1)(22 1)3ff ，故选 D. (5)已知随机变量

5、服从正态分布 2 (0,)N,若(2)0.023P，则( 22)P( ) (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 【答案】C 【解析】 由随机变量服从正态分布 2 (0,)N可知正态密度曲线关于y轴对称， 而(2)0.023P， 则(2)0.023P ，故( 22)1(2)(2)0.954PPp ， 故选 C （6）样本中共有 5 个个体，其值分别为,0,1,2,3a.若该样本的平均值为 1，则样本方差为( ) （A） 6 5 (B) 6 5 (C)2 (D)2 【答案】D 【解析】由题意知 1 (0 123)1 5 a ，解得1a，故样本方差为 222222

6、1( 1 1) (0 1)(1 1)(2 1)(3 1) 2 5 S ,故选 D. 【命题意图】本题考查样本平均数、方差的计算，属于基础题. (7) 由曲线 y= 2 x,y= 3 x围成的封闭图形面积为( ) （A） 1 12 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 7 12 【答案】A 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 123 0 -)=xx dx（ 111 11= 3412 ,故选 A。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 （8）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排 在第一位，节目丙必须排在最后

7、一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) （A）36 种 （B）42 种 (C)48 种 （D）54 种 【答案】B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有 4 4 24A 种，另一类甲排在第二位共有 13 33 18A A 种，故 编排方案共有24 1842种，故选 B. 【命题意图】本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理. (9)设数列 n a是等比数列，则“ 123 aaa”是数列 n a是递增数列的( ) (A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由 123 aaa，设数列 n a的公比为q,

8、 得 2 111 aa qa q，则 1 1,0qa，数列 n a为 递增数列；反之，若数列 n a是递增数列，则公比 1 1,0qa所以 2 111 aa qa q，即 123 aaa， 故“ 123 aaa”是数列 n a是递增数列的充分必要条件. 【命题意图】本题主要考查等比数列以及充分必要条件的相关知识，属于基础题. (10)设变量, x y满足约束条件 20 5100 80 xy xy xy ，则目标函数34zxy的最大值和最小值分别为 ( ) (A)3, 11 (B)3, 11 (C)11, 3 (D)11,3 【答案】A 【解析】作出满足约束条件的可行域，如右图所示， 可知当直线

9、z=3x-4y平移到点（5，3）时， 目标函数z=3x-4y取得最大值 3； 当直线z=3x-4y平移到点（3，5）时， 目标函数z=3x-4y取得最小值-11，故选 A。 【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y的几何 意义是解答好本题的关键。 (11)函数 y=2x - 2 x的图像大致是( ) 【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - 2 x=0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - 2 x= 1 40 4 ，故排除 D，所 以选 A。 【命题意图】 本题考查函数的图象， 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结

10、合的思维能力。 （12）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，bp,q) （， 令 ab=mq-np，下面的说法错误的是（ ） （A）若 a 与 b 共线，则 ab=0 （B）ab=ba （C）对任意的R，有（a）b=（ab） （D） （ab）2+（ab）2=|a|2 |b|2 【答案】B 【解析】若a与b共线，则有ab=mq-np=0，故 A 正确；因为bapn-qm，而 ab=mq-np，所以有abba，故选项 B 错误，故选 B。 【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析 问题、解决问题的能力。 8xy 510xy 3

11、40xy 20xy y x O 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 （13）执行右图所示的程序框图，若输入10x ，则输出y的值为 【答案】 5 4 【解析】当 x=10 时，y= 1 10-1=4 2 ，此时|y-x|=6； 当 x=4 时，y= 1 4-1=1 2 ，此时|y-x|=3；当 x=1 时，y= 11 1-1=- 22 ， 此时|y-x|= 3 2 ； 当 x= 1 2 时，y= 115 -1=- 224 （），此时|y-x|= 3 1 4 ，故输出 y 的 值为 5 4 。 【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图 能力。 （14）

12、若对任意0x， 2 31 x a xx ，则实数a的取值范围是 . 【答案】 1 5 a 【解析】因为0x，所以 1 2x x （当且仅当1x 时等号成立） ， 则 2 111 1 31235 3 x xx x x =，即 2 31 x xx 的最大值为 1 5 ，故 1 5 a. 【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值等知识，属于中档题. (15)在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若2,2,sincos2abBB，则角A的 大小为 . 【答案】 6 【解析】由sincos2BB得1 2sincos2BB，即sin21B，因02B，所以

13、 2, 24 BB .又因为2,2,ab由正弦定理得 22 sin sin 4 A ，解得 1 sin 2 A ， 而,ab则0 4 AB ,故 6 a . 【命题意图】本题考查三角恒等变换，以及正弦定理、解三角形等知识，属于中档题. (16)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线:1yx被圆C所截得的弦长为2 2， 则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 . 【答案】-3=0xy 【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知： 22 |a-1| () +2=(a-1) 2 ， 解得a=3或-1， 又因为圆心在 x 轴的正半轴上， 所以a=3，

14、 故圆心坐标为 （3， 0） ， 因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为-3=0xy。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与 圆问题的能力。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 2 11 ( )sin2 sincoscossin()(0) 222 f xxx ，其图象过点 1 (,) 6 2 . ()求的值； （）将函数( )yf x的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数( )yg x的 图象，求函数( )g x在区

15、间0, 4 上的最大值和最小值. 【解析】()因为 2 11 ( )sin2 sincoscossin()(0) 222 f xxx ，所以 11111 ( )sin2 sin(1 cos2 )coscossin2 sincos2 cos 22222 f xxxxx 1 cos(2) 2 x 又函数图象过点 1 (,) 6 2 ，所以 11 cos(2) 226 ，即cos()1 3 ， 而0，所以 3 . ()由函数( )yf x的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ， 纵坐标不变， 得到函数( )yg x的图象 可知 1 ( )(2 )cos(4) 23 yg xfxx 因为0, 4

16、x ，所以 2 4, 333 x ，故cos(4) 1 23 x 1 所以函数( )g x在区间0, 4 上的最大值和最小值分别为 1 2 和 1 4 . 另解： 1 ( )(2 )cos(4) 23 yg xfxx ，0, 4 x ( )2sin(4) 3 g xx ，令( )0g x，0, 4 x ，解得 12 x ， 111 (0), (), () 412244 ggg ， 故函数( )g x在区间0, 4 上的最大值和最小值分别为 1 2 和 1 4 . 【命题意图】本题考查三角函数诱导公式、三角基本公式、三角函数最值以及图象变换等基础知识， 考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

17、（18） （本小题满分 12 分）已知等差数列 n a满足： 3 7a ， 57 26aa， n a的前 n 项和为 n S （）求 n a及 n S； （）令 bn= 2 1 1 n a (*nN)，求数列 n b的前 n 项和 n T 【解析】 （）设等差数列 n a的公差为 d，因为 3 7a ， 57 26aa，所以有 1 1 27 21026 ad ad ，解得 1 3,2ad， 所以321)=2n+1 n an （； n S= n(n-1) 3n+2 2 = 2 n +2n。 （）由（）知2n+1 n a ，所以 bn= 2 1 1 n a = 2 1 = 2n+1)1（ 11 4

18、 n(n+1) = 111 (-) 4n n+1 ， 所以 n T= 111111 (1-+-) 4223n n+1 = 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) ， 即数列 n b的前 n 项和 n T= n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的 基础知识是解答好本类题目的关键。 （19） （本小题满分 12 分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=22，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形 （）求证：平面PCD平面PAC； （）求直线PB与平

19、面PCD所成角的大小； （）求四棱锥PACDE的体积 【解析】 （）证明：因为ABC=45，AB=22，BC=4， 所以在ABC中，由余弦定理得： 222 AC =(2 2) +4 -2 2 24cos45 =8，解得AC=2 2， 所以 222 AB +AC =8+8=16=BC，即ABAC，又 PA平面 ABCDE，所以 PAAB， 又 PAACA，所以ABAC平面P，又 ABCD，所以ACCD 平面P，又因为 CDCD 平面P，所以平面 PCD平面 PAC； （）由（）知平面 PCD平面 PAC，所以在平面 PAC 内，过点 A 作AHCP于 H，则 AHCD平面P，又 ABCD，AB平

20、面CDP内，所以 AB 平行于平面CDP，所以点 A 到平面CDP 的距离等于点 B 到平面CDP的距离，过点 B 作 BO平面CDP于点 O，则PBO为所求角，且 AH=BO，又容易求得AH=2，所以 1 sinPBO= 2 ，即PBO=30，所以直线 PB 与平面 PCD 所成 角的大小为30； 另解：（） 因为PAB为等腰三角形， 所以 22 2 2,4PAABPBPAPB 又 /ABCD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离. 由CD平面PAC，在Rt PAC中，2 2,2 2,PAAC所以4PC . 故PC边上的高为 2，即点A到平面的距离，即点点B到平面PCD的距离

21、为 2. E D C B P A 设直线PB与平面PCD所成的角为，则 21 sin 42 h PB ， 又0, 2 ，所以 6 . （）由（）知,AB AC AP两两互相垂直， 分别以,AB AC AP为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由PAB为等腰直角三角形，所以2 2PAAB, 而2 2AC ，则(0,0,0), (2 2,0,0),(0,2 2,0), (0,0,2 2)ABCP 因为/ /,ACED CDAC,所以四边形ACDE是直角梯形. 因为2,45 ,/ /AEABCAEBC,所以135 ,45BAECAE, 故 2 sin4522 2 CDAE，所以(2,2

22、 2,0)D . 因此(0, 2 2,2 2),(2,0,0)CPCD ,设( , , )mx y z是平面PCD的一个法向量， 则0,0m CPm CD,解得0,xyz.取1y ，得(0,1,1)m ， 而( 2 2,0,2 2)BP . 设表示向量BP与平面PCD的法向量m所成的角，则 1 cos, 23 m BP mBP 因此直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 6 ； （）由（）知ACCD 平面P，所以ACCD，又 ACED，所以四边形 ACDE 是直角梯形， 又容易求得DE2，AC=2 2，所以四边形 ACDE 的面积为 1 22 223 2 （），所以四棱锥 P ACDE 的

23、体积为 1 2 23 3 =2 2。 【命题意图】本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体 体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力. (20)（本小题满分 12 分） 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有, ,A B C D四个问题，规则如下： 每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题, ,A B C D分别加 1 分，2 分，3 分，6 分，答 错任意题减 2 分； 每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数 大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足 14 分时，答

24、题结束淘汰出局； 每位参加者按, ,A B C D顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题, ,A B C D回答正确的概率依次为 3 1 1 1 , 4 2 3 4 ，且各题回答正确与否相互之间 没有影响.（）求甲同学能进入下一轮的概率； （）用表示甲同学本轮答题的个数，求的分布 列和数学期望E. 【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查相互对立事件、对立事件、对 立事件的概率和求解办法，考查用概率知识解决实际问题的能力. 解析：设, ,A B C D分别是第一、二、三、四个问题，用(1,2,3,4) i M i 表示甲同学第i个问题回答 y x z E D C B

25、P A 正确，用(1,2,3,4) i N i 表示第i个问题回答错误，则 i M与(1,2,3,4) i N i 是对立事件.由题意得 1234 3111 (), (), (), () 4234 P MP MP MP M， 则 1234 1123 (), (), (), () 4234 P NP NP NP N. （）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q, 则 1231234123412341234 QM M MN M M MM N M MM M N MN M N M 由于每题答题结果相互独立，因此 1231234123412341234 ( )()P QP M M MN M M MM N M

26、MM M N MN M N M 1231234123412341234 ()()()()()P M M MP N M M MP M N M MP M M N MP N M N M 3 1 11 1 1 13 1 1 13 1 2 11 1 2 11 4 2 34 2 3 44 2 3 44 2 3 44 2 3 44 ()由题意可知随机变量可能的取值为 2,3,4,. 由于每题的答题结构都是相对独立的，所以 12 1 (2)() 8 PP N N, 123123 3 1 13 1 23 (3)()() 4 2 34 2 38 PP M M MP M N N 131 (3)1(1)(2)1 88

27、2 PPP 因此随机变量的分布列为 1 2 3 P 1 8 3 8 1 2 所以 13127 234 8828 E . （21） （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，以该椭圆上的点 和椭圆的左、右焦点 12 ,F F为顶点的三角形的周长为4( 21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， 设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线 1 PF、 2 PF的斜率分别为 1 k、 2 k，证明 12 1k k ； （）是否存在常数，使得ABC

28、DAB CD恒成 立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 （）由题意知，椭圆离心率为 c a 2 2 ，得2ac， 又22ac4( 21)，所以可解得2 2a ，2c ，所以 222 4bac，所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy ；所以椭 圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标 准方程为 22 1 44 xy 。 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关 系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性 问题，考查了同学们观察、推理以

29、及创造性地分析问题、解决问题的能力， (22)(本小题满分 14 分) 已知函数 1 ( )ln1 a f xxax x ()aR. ()当 1 2 a 时，讨论( )f x的单调性； （）设 2 ( )24.g xxbx当 1 4 a 时，若对任意 1 (0,2)x ，存在 2 1,2x ，使 12 ( )()f xg x，求实数b取值范围. 解析：() 1 ( )ln1(0) a f xxaxx x ， 2 22 l11 ( )(0) aaxxa fxax xxx 令 2 ( )1(0)h xaxxa x （1）当0a时，( )1(0)h xxx ，当(0,1), ( )0,( )0xh

30、xfx,函数( )f x单调递减；当 (1,), ( )0,( )0xh xfx，函数( )f x单调递增. (2)当0a时，由( )0fx，即 2 10axxa ，解得 12 1 1,1xx a . 当 1 2 a 时 12 xx，( )0h x 恒成立，此时( )0fx，函数( )f x单调递减； 当 1 0 2 a时， 1 110 a ，(0,1)x时( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减； 1 (1,1)x a 时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递增； 1 (1,)x a 时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减. 当0a时 1 1

31、0 a ，当(0,1), ( )0,( )0xh xfx,函数( )f x单调递减； 当(1,), ( )0,( )0xh xfx，函数( )f x单调递增. 综上所述：当0a时，函数( )f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增； 当 1 2 a 时 12 xx，( )0h x 恒成立，此时( )0fx，函数( )f x在(0,)单调递减； 当 1 0 2 a时，函数( )f x在(0,1)单调递减， 1 (1,1) a 单调递增， 1 (1,) a 单调递减. （） （）当 1 4 a 时，( )f x在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 1 (0,2)x ， 有

32、 1 1 ()(1)- 2 f xf， 又已知存在 2 1,2x ，使 12 ( )()f xg x，所以 2 1 () 2 g x， 2 1,2x ， （） 又 22 ( )()4,1,2g xxbbx 当1b时， min ( )(1)520g xgb与（）矛盾； 当1,2b时， 2 min ( )(1)40g xgb也与（）矛盾； 当2b时， min 117 ( )(2)84, 28 g xgbb . 综上，实数b的取值范围是 17 ,) 8 . 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单 调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不 等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性； （2）利用导数求出( )f x的最小值、利用二次函 数知识或分离常数法求出( )g x在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。