2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题 (文科).含详解.doc

1、 绝密启用前 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (山东卷山东卷) ) 文科数学文科数学( (全解析全解析) ) 注意事项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草

2、稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第 I I 卷（共卷（共 6060 分）分） 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。合题目要求的。 （1）已知全集UR，集合 2 40Mx x，则 U C M=（ ） A. 22xx B. 22xx C22x xx 或 D. 22x xx 或 (2) 已知 2i i( ,) i a ba b R，其中i为虚数单位，则ab( ) (A)

3、1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由 +2i = +i i a b得+2i= i-1ab,所以由复数相等的意义知=1, =2ab,所以+ =a b1. 另解：由 +2i = +i i a b得i+2= +iab( ,)a bR，则1,2,1abab . 故选 B. 【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。 (3)函数 2 log31 x f x 的值域为（ ） A.0, B.0, C.1, D.1, 【答案】A 【解析】因为311 x ，所以 22 log31log 10 x f x ，故选 A。 【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等

4、基础知识。 (4)在空间，下列命题正确的是（ ） A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。 【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。 （5） 设( )f x为定义在R上的奇函数， 当0x时，( )22 x f xxb（b为常数） ， 则( 1)f （ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3 【答案】D 【解析】由( )f x为定义在R上的奇函数可知 0 (0)210,

5、1fbbb ， 于是( 1)(1)(22 1)3ff ，故选 D. (6)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） （A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8 (7)设 n a是首项大于零的等比数列，则“ 12 aa”是“数列 n a是递增数列”的（ ） （A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 若已知 12 a 0， 所以数列 n a是递增数列；反之，

6、若数列 n a是递增数列，则公比q1且 1 a 0，所以 11 a a q，即 12 a a，所以 12 a a是数列 n a是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。 （8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为 3 1 81234 3 yxx ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） （A）13 万件 (B)11 万件 (C) 9 万件 (D)7 万件 （9） 已知抛物线 2 2(0)ypx p， 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与A、B两点， 若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准

7、线方程为（ ） （A）1x (B)1x (C)2x (D)2x （10） 观察 2 ()2xx， 4 3 ()4xx， (cos )sinxx ， 由归纳推理可得： 若定义在R上的函数( )f x 满足()( )fxf x，记( )g x为( )f x的导函数，则()gx=（ ） （A）( )f x (B)( )f x (C) ( )g x (D)( )g x 【答案】D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数( )f x是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定 义在R上的函数( )f x满足()( )fxf x，即函数( )f x是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有 ()gx=( )g

8、 x，故选 D。 【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识，考查同学们类比归纳的能力。 （11）函数 2 2xyx的图像大致是（ ） 【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时，2 x -2 x=0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2 x -2 x= 1 40 4 ，故排除 D， 所以选 A。 【命题意图】 本题考查函数的图象， 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。 （12）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，bp,q) （， 令 ab=mq-np，下面的说法错误的是（ ） （A）若 a 与 b 共线，则 ab=0 （B）ab=ba （

9、C）对任意的R，有（a）b=（ab） （D） （ab）2+（ab）2=|a|2 |b|2 【答案】B 【解析】若a与b共线，则有ab=mq-np=0，故 A 正确；因为bapn-qm，而 ab=mq-np，所以有abba，故选项 B 错误，故选 B。 【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析 问题、解决问题的能力。 二、填空题：本二、填空题：本大题共大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分. . （13）执行右图所示的程序框图，若输入4x ，则输出 y 的值为 . 【答案】 5 4 【解析】当 x=4 时，y

10、= 1 4-1=1 2 ，此时|y-x|=3；当 x=1 时， y= 11 1-1=- 22 ，此时|y-x|= 3 2 ； 当 x= 1 2 时，y= 115 -1=- 224 （），此时|y-x|= 3 1 4 ，故输出 y 的 值为 5 4 。 【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图 能力。 （14）已知, x yR，且满足1 34 xy ，则 xy 的最大值为 . 解： 312 2 43 1 xyxyyx ，所以1 3 xy ，3xy 当且仅当 2 1 43 yx ，即 x=6,y=8 时取等号。所以 xy 的最大值为 3 (15)在ABC中， 角, ,A B C所

11、对的边分别为, ,a b c， 若2,2 ,s i nc o s2abBB， 则角A的 大小为 . 【答案】 6 【解析】由sincos2BB得1 2sincos2BB，即sin21B，因02B，所以 2, 24 BB .又因为2,2,ab由正弦定理得 22 sin sin 4 A ，解得 1 sin 2 A ， 而,ab则0 4 AB ,故 6 a . 【命题意图】本题考查三角恒等变换，以及正弦定理、解三角形等知识，属于中档题. （16） 已知圆 C 过点 （1,0） ， 且圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 l：1yx被该圆所截得的弦长为2 2， 则圆 C 的标准方程为 . 【答案】 22

12、(3)4xy 【解析】由题意，设圆心坐标为(a,0)，则由直线 l：1yx被该圆所截得 的弦长为2 2得， 22 |a-1| () +2=(a-1) 2 ，解得a=3或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3， 故圆心坐标为（3，0） ，又已知圆 C 过点（1,0） ，所以所求圆的半径为 2，故圆 C 的标准方程为 22 (3)4xy。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与 圆问题的能力。 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分分. . (17) （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )si

13、n()coscosf xxxx（0） 的最小正周期为， （）求的值； （）将函数( )yf x的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到 函数( )yg x的图像，求函数( )yg x在区间0,16 上的最小值. 【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求 解的能力。 【解析】 因此 1g（x） 12 2 ，故 g（x）在此区间内的最小值为 1. （18） （本小题满分 12 分）已知等差数列 n a满足： 3 7a ， 57 26aa. n a的前 n 项和为 n S. （）求 n a 及 n S； （）令 2 1 1 n n

14、b a （nN ）,求数列 n b的前 n 项和 n T. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列 的基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】 （）设等差数列 n a的公差为 d，因为 3 7a ， 57 26aa，所以有 1 1 27 21026 ad ad ，解得 1 3,2ad， 所以321)=2n+1 n an （； n S= n(n-1) 3n+2 2 = 2 n +2n。 （）由（）知2n+1 n a ，所以 bn= 2 1 1 n a = 2 1 = 2n+1)1（ 11 4 n(n+1) = 111 (-) 4n n+1 ，

15、 所以 n T= 111111 (1-+-) 4223n n+1 = 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) ， 即数列 n b的前 n 项和 n T= n 4(n+1) 。 （19） （本小题满分 12 分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4. （）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； （）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球 的编号为 n，求2nm的概率. 【命题意图】 本小题主要考察古典概念、 对立事件的概率计算， 考察学生分析问题、 解决问题的能力。 （20） （本小题满

16、分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA平面ABCD，/PDMA，E、G、F分别为MB、 PB、PC的中点，且2ADPDMA. （I）求证：平面EFG 平面PDC； （II）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比. 【命题意图】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、 面面垂直的判定及几何体体积的计算， 考查试图能力和逻辑思维能 力。 【解析】 （I）证明：由已知 MA 平面 ABCD，PD MA， 所以 PD平面 ABCD 又 BC 平面 ABCD， 因为 四边形 ABCD 为正方形， 所以 PD BC 又 PDDC=D， 因此 BC平面 PDC 在P

17、BC 中，因为 G 平分为 PC 的中点， 所以 GFBC 因此 GF平面 PDC 又 GF 平面 EFG， 所以 平面 EFG平面 PDC. （ ）解：因为 PD平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形，不妨设 MA=1， 则 PD=AD=2，ABCD 所以 Vp-ABCD=1/3S正方形 ABCD，PD=8/3 由于 DA面 MAB 的距离 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离， 三棱锥 Vp-MAB=1/31/2122=2/3，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。 （21） （本小题满分 12 分）已知函数 1 ( )ln1() a f xxaxaR x （I）当1a时

18、，求曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程； （II）当 1 2 a 时，讨论( )f x的单调性. ), 0(, 2 1 1 )( 2 x xx xf 因此，1)2( f ， （）因为 1 1 ln)( x a axxxf， 所以 2 11 )( x a a x xf 2 2 1 x axax ), 0( x， 令 ,1)( 2 axaxxg), 0( x 当 a0 时，由于 1/a-10,此时 f ,(x)0 函数 f(x)单调递减； x（1 ，）时，g(x)0 此时函数 f ,(x)0 单调递增。 综上所述： 当 a 0 时，函数 f(x)在（0,1）上单调递减; 函数 f(x

19、)在 (1, +) 上单调递增 当 a=1/2 时,函数 f(x)在(0, + )上单调递减 当 0a1/2 时，函数 f(x)在（0,1）上单调递减； 函数 f(x)在（1,1/a -1）上单调递增； 函数 f(x)在（1/a,+ ）上单调递减。 （22） （本小题满分 14 分）如图，已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 过点. 2 (1,) 2 ，离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 1 F、 2 F.点P为直线 :2l xy上且不在x轴上的任意 一点， 直线 1 PF和 2 PF 与椭圆的交点分别为A、B 和C、D，O为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线 1 PF、 2 PF的斜线分别为 1 k、 2 k. （i）证明： 12 13 2 kk ； （ii）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率 OA k、 OB k、 OC k、 OD k满足0 OAOBOCOD kkkk？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理 由. 因此结论成立。