2009年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题 及详细解答（理科）.doc

1、 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (山东山东卷卷) ) 理理科数学科数学 本试卷分第卷和第卷两部分本试卷分第卷和第卷两部分,共共 4 页，满分页，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。考试结束后分钟。考试结束后,将本将本 试卷和答题卡一并交回试卷和答题卡一并交回. 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必用答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘

2、贴在答题卡上指定位置。，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第卷每小题选出答案后，用第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3. 第卷必须用第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上不能写在试题卷上; 如如 需改动，先画掉原来的答案需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案然后再写上新的答案;不能使

3、用涂改液、胶带纸不能使用涂改液、胶带纸,修正带修正带,不按以不按以 上要求作答的答案无效。上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.。 参考公式：参考公式： 柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V= 1 3 Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)P(B). 事件 A 在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重

4、复试验中事件 A 恰好发生k次的概 率:( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn . 第卷第卷(共共 60 分分) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1.集合0,2,Aa, 2 1,Ba,若0,1,2,4,16AB ,则a的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】:0,2,Aa, 2 1,Ba,0,1,2,4,16AB 2 16 4 a a 4a,故选 D. 答案:D 【命题立

5、意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题 属于容易题. 2.复数 3 1 i i 等于（ ）. Ai 21 B.1 2i C.2i D.2 i 2. 【解析】: 2 2 3(3)(1)3242 2 1(1)(1)12 iiiiii i iiii ,故选 C. 答案:C 【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变 为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 是( ). A.cos2yx B. 2 2cosyx C.) 4 2sin

6、(1 xy D. 2 2sinyx 3. 【解析】:将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的 图 象 ,再 向上 平移 1 个单 位 ,所 得图 象的函 数 解析 式为 2 1 cos22sinyxx ,故选 D. 答案:D 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.22 3 B. 42 3 C. 2 3 2 3 D. 2 3 4 3 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一

7、四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面 边长为2，高为3，所以体积为 2 12 3 23 33 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 . 答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 5. 已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的 一条直线，则“”是“m”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面内的 一条直线,m,则,反过来则不

8、一定.所以“”是“m”的必要不充分条件. 答案:B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 6. 函数 xx xx ee y ee 的图像大致为( ). 【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使0 xx ee, 其 定 义 域 为0|xx, 排 除 C,D, 又 因 为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee ,所以当0x时函数为减函数,故选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 俯视图 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1

9、 D O 答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在 于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7.设 P 是ABC 所在平面内的一点，2BCBABP，则（ ） A.0PAPB B.0PCPA C.0PBPC D.0PAPBPC 【解析】:因为2BCBABP，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应该选 C。 答案：C。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。 .某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产

10、品 净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98） ，98，100), 100，102)，102，104),104，106,已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.90 B.75 C. 60 D.45 【解析】:产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为n, 则300. 0 36 n ,所以120n,净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的概率为(0.

11、100+0.150+0.125)2=0.75,所以样本 中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 1200.75=90.故选 A. 答案:A 【命题立意】 :本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关 的数据. 96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第 8 题图 A B C P 第 7 题图 9. 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点， 则双曲线的离心率 为( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5

12、 D.5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】:双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y ,由方程组 2 1 b yx a yx ,消去 y,得 2 10 b xx a 有唯一解,所以= 2 ( )40 b a , 所以2 b a , 22 2 1 ( )5 cabb e aaa ,故选 D. 答案:D. 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关 系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1( 0

13、),1 (log2 xxfxf xx ， 则 f （2009） 的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】:由已知得 2 ( 1)log 21f ,(0)0f,(1)(0)( 1)1fff , (2)(1)(0)1fff ,(3)(2)(1)1 ( 1)0fff , (4)(3)(2)0( 1)1fff ,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff, 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C. 答案:C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 1

14、1.在区间-1，1上随机取一个数 x，cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为( ). A. 3 1 B. 2 C. 2 1 D. 3 2 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数 x,即 1,1x 时, 222 x , 0cos1 2 x 区间长度为 1, 而cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的区间长度为 2 1 ,所以概率为 2 1 .故选 C 答案:C 【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值 cos 2 x 的范围,再由长度型几何概型求得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12. 设 x，y 满足约束条

15、件 0, 0 02 063 yx yx yx ， 若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的是最大值为 12， 则 23 ab 的最小值为( ). A. 6 25 B. 3 8 C. 3 11 D. 4 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0） 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时, 目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 23 ab = 23 23131325 ()()2 6666 abba abab ,故选 A. 答案:A w.w.w.k.s.5.u

16、.c.o.m 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确 地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求 23 ab 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13.不等式0212xx的解集为 . 【解析】:原不等式等价于不等式组 2 21 (2)0 x xx 或 1 2 2 21 (2)0 x xx x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 或 1 2 (21)(2)0 x xx 不等式组无解,由得 1 1

17、2 x,由得 1 1 2 x ,综上得 11x ,所以原不等式的解集为 | 11xx . 答案: | 11xx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】 :本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉 绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想. 14.若函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】 : 设函数(0, x ya a且1a 和函数yxa,则函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有两 个零点, 就是函数(0, x yaa且1a 与函数yxa有两个交点,由

18、图象可知当 10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1) x yaa的图象过点(0,1), 而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 1a 答案: 1a 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查, 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 15.执行右边的程序框图，输入的 T= . 【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=

19、20+10=30S,输出 T=30 答案:30 【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况. 16.已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,若方程 开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的根 1234 ,x x x x,则 1234 _.xxxx 【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f

20、 xfx,所以, 由 )(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知 (8)( )f xf x,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以 )(xf在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的 根 1234 ,x x x x, 不 妨 设 1234 xxxx由 对 称 性 知 12 12xx 34 4xx所 以 1234 1 248xxxx 答案:-8 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想

21、和函数与方程的思想解答问题. 三、解答题：本大题共 6 分，共 74 分。 17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ 3 )+sin 2 x. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为ABC 的三个内角，若 cosB= 3 1 ，f( 3 C )= 4 1 ，且 C 为锐角，求 sinA. 解: （1）f(x)=cos(2x+ 3 )+sin 2 x.= 1 cos213 cos2 cossin2 sinsin2 33222 x xxx 所以函数 f(x)的最大值为1 3 2 ,最小正周期. （2）

22、 f( 3 C )= 132 sin 223 C = 4 1 ,所以 23 sin 32 C ,因为C为锐角,所以 2 33 C ,所以 2 C , 所以 sinA =cosB= 3 1 . 【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性 质以及三角形中的三角关系. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) （18） （本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， 底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点

23、。 （1） 证明：直线 EE1/平面 FCC1； （2） 求二面角 B-FC1-C 的余弦值。 解法一： （1）在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，取 A1B1的中点 F1， 连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD， 所以 CD= /A 1F1，A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又因为 E、E1分别是棱 AD、AA1的中点，所以 EE1/A1D， 所以 CF1/EE1，又因为 1 EE 平面 FCC1， 1 CF 平面 FCC1， 所以直线 EE1/平面 FCC1. （2）因为 AB=4, BC

24、=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OPC1F,垂足为 P,连接 BP,则OPB 为二面角 B-FC1-C 的一个平面角, 在BCF 为正三角形中,3OB ,在 RtCC1F 中, OPFCC1F, 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP , 在 RtOPF 中, 22 114 3 22 BPOPOB, 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP ,所

25、以二 面角 B-FC1-C 的余弦值为 7 7 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法二:（1）因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取 AF 的中点 M, E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 连接 DM,则 DMAB,所以 DMCD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴建立空间直角坐

26、标系, ,则 D（0,0,0）,A（3,-1,0）,F（3,1,0）,C（0,2,0）, C1（0,2,2）,E（ 3 2 , 1 2 ,0）,E1（3,-1,1）,所以 1 31 (,1) 22 EE ,( 3, 1,0)CF , 1 (0,0,2)CC 1 (3,1,2)FC 设平面CC1F的法向量 为( , , )nx y z则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取(1, 3,0)n ,则 1 31 131 00 22 n EE ,所以 1 nEE,所以直线 EE1/平面 FCC1. （ 2 ）(0,2,0)FB , 设 平 面 BFC1的 法 向 量 为 111

27、1 ( ,)nx y z, 则 1 11 0 0 n FB n FC 所 以 1 111 0 320 y xyz ,取 1 (2,0, 3)n ,则 1 2 13 0032n n , 2 |1 ( 3)2n , 22 1 |20( 3)7n , 所以 1 1 1 27 cos, 7|27 n n n n n n ,由图可知二面角B-FC1-C为锐角,所以二面角B-FC1-C 的余弦值为 7 7 . 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想 象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. (19)(本小题满分 12 分) 在某校组织的一次篮球定

28、点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次， 某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q2，该同学选择先在 A 处投一球，以 后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求 q 2的值； （2） 求随机变量的数学期望 E; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （3） 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概 率的大小。

29、 解:（1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25,( )0.75P A , P(B)= q2, 2 ( )1P Bq . 根据分布列知: =0 时 2 2 ()( ) ( ) ( )0.75(1)P ABBP A P B P Bq=0.03,所以 2 10.2q， q 2=0.2. （2）当=2 时, P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP )()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75 q 2( 2 1 q)2=1.5 q2( 2 1 q)=0.24 当=3 时, P2 = 2 2 ()( ) (

30、) ( )0.25(1)P ABBP A P B P Bq=0.01, 当=4 时, P3= 2 2 ()( ) ( ) ( )0.75P ABBP A P B P Bq=0.48, 当=5 时, P4=()()()P ABBABP ABBP AB 222 ( ) ( ) ( )( ) ( )0.25(1)0.25P A P B P BP A P Bqqq=0.24 所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望0 0.032 0.243 0.014 0.485 0.243.63E （3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过

31、3 分的概率为()P BBBBBBBB ()()()P BBBP BBBP BB 22 222 2(1)0.896q qq; 该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 【命题立意】 :本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率 知识解决问题的能力. （20） （本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 已知对任意的nN ，点( ,) n n S，均在函数 (0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上. （1）求 r 的值；

32、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （11）当 b=2 时，记 2 2 ( l o g1) () nn banN 证明：对任意的nN ，不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解:因为对任意的nN ,点( ,) n n S， 均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常数的图像上. 所以得 n n Sbr,当1n 时, 11 aSbr,当2n 时, 111 1 ()(1) nnnnn nnn aSSbrbrbbbb ,又因为 n a为等比数列,所以 1r ,公比为b, 1 (1) n n abb （2）当 b=2 时， 11 (1)2 nn n abb ,

33、 1 22 2(log1)2(log 21)2 n nn ban 则 121 2 n n bn bn ,所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 下面用数学归纳法证明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立. 当1n 时,左边= 3 2 ,右边=2,因为 3 2 2 ,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立.则 当1nk时,左边= 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk

34、 bbbbkk bbbbkk 22 23(23)4(1)4(1) 11 1(1) 1(1) 1 224(1)4(1)4(1) kkkk kkk kkkk 所以当1nk时,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n S求 n a的基本题型,并运用 数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. （21） （本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾 处理厂， 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关

35、， 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的 总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成 反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k , 当垃圾处理厂建在的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. （1）将 y 表示成 x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对 城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城

36、A 的距离;若不存在，说明理由。 解:（1）如图,由题意知 ACBC, 22 400BCx, 22 4 (020) 400 k yx xx 其中当10 2x 时，y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 (020) 400 yx xx 设 22 ,400mx nx,则400mn, 49 y mn ,所以 494914911 ()13()(1312) 40040040016 mnnm y mnmnmn 当且仅当 49nm mn 即 240 160 n m 时取”=”. 下面证明函数 49 400 y mm 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函

37、数. A B C x 设 00）过 M（2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆 E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点, 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任

38、意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAOB, 设 该 圆 的 切 线 方 程 为ykxm解 方 程 组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm,即 222 (1 2)4280kxkmxm , 则= 222222 164(1 2)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 1 21 21 2 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB,需使 1212 0

39、x xy y,即 222 22 288 0 1 21 2 mmk kk ,所以 22 3880mk, 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km,所以 2 2 2 38 m m ,所以 2 8 3 m ,即 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r ,所求的圆为 22 8 3 xy,此时圆的 切线ykxm都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足 OAOB,综上, 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB. 【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的 位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数 问题以及方程的根与系数关系.