专题15图形的变换综合问题（解析版）.doc

1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 15 图形的变换综合问题 【方法指导】【方法指导】 1.图形的平移：平移后，对应线 段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；平移后 ，对应 角相 等且对应角的两边分 别平行、方向相同； 平移不改变图形的形状和大小， 只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等 2.图形的旋转：在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角 度；注意 每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角， 旋转角都相等； 对应点到旋转中心 的距离相等 3.图形的轴对称：如果一个平面图形沿着一条直线折

2、叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对 称图形，这条直线叫做对称轴. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称 的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 4.图形的中心对称：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过 对称中心,并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等 . 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】翻折变换问题】翻折变换问题 1 （2019 秋苏州期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B，AB与CD相交于 点F，若

3、3AB ， 1 sin 2 CAB，则DF的长度是( ) A1 B2 C3 D3 【分析】 根据 1 sin 2 CAB可得30CAB， 根据翻折和矩形性质可得FAC是等腰三角形，30DAF， 再根据锐角三角函数即可求解 【解答】解： 1 sin 2 CAB 30CAB 折叠可知： 30FACBAC 四边形ABCD是矩形， / /DCAB，90D，3DCAB 30FCACAB ， FCFA，30DAF 3FAFCDCFDFD sin DF DAF AF 1 32 DF DF 解得1DF 所以DF的长为 1 故选：A 【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、解直角三角形，解决本题的关键是利用特殊

4、角的三角函数 【变式 1-1】 （2019 秋滨湖区期末）如图，等边三角形ABC的边长为 5，D、E分别是边AB、AC上的点， 将ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若2BF ，则BD的长是( ) A2 B3 C 21 8 D 24 7 【分析】根据折叠得出60DFEA ，ADDF，AEEF，设BDx，5ADDFx，求出 DFBFEC ，证DBFFCE，进而利用相似三角形的性质解答即可 【解答】解：ABC是等边三角形， 60ABC ，5ABBCAC， 沿DE折叠A落在BC边上的点F上， ADEFDE ， 60DFEA ，ADDF，AEEF， 设BDx，5ADDFx，CEy，5AEy

5、， 2BF ，5BC ， 3CF， 60C，60DFE， 120EFCFEC，120DFBEFC， DFBFEC ， CB ， DBFFCE， BDBFDF FCCEEF ， 即 25 35 xx yy ， 解得： 21 8 x ， 即 21 8 BD ， 故选：C 【变式 1-2】 （2019 秋赣榆区期末）如图，矩形ABCD中，6AB ，12BC ，如果将该矩形沿对角线BD折 叠，那么图中阴影部分BED的面积是( ) A18 B22.5 C36 D45 【分析】根据折叠的性质得到CBDEBD ，而CBDBDE，则EBDEDB，得BEED，然后 设DEx，则12AEx，在Rt ABE中，利用

6、勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x，最后根据三 角形的面积公式计算即可 【解答】解：将该矩形沿对角线BD折叠， CBDEBD ， 而CBDBDE ， EBDEDB， BEED， 6AB ，12BC 设DEx，则12AEx， 在Rt ABE中， 222 ABAEBE，即 222 6(12) xx， 解得： 15 2 x 1115 622.5 222 BED SDEAB 故选：B 【变式 1-3】 （2018 秋崇川区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处， 10AB ，5AD ，下列结论中正确的有( ) AFC是等腰三角形 ADF的面积是 75 8 点B与点E关

7、于AC对称 若直线AD与直线CE交于点G，那么直线FG垂直平分AC A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据折叠和矩形的性质即可证明AFC是等腰三角形； 根据勾股定理可求得DF的长进而得结论正确； 根据线段垂直平分线的判定可证得AC是BE的垂直平分线，得结论正确； 根据三角形全等证明EGDG，从而得GAGC，又FAFC，可得GF是AC的垂直平分线，得结论 正确 【解答】解：如图所示： 四边形ABCD为矩形 / /DCAB， FCACAB ， 由折叠可知： FACCAB ， FCAFAC ， FAFC， AFC是等腰三角形 正确； 设DFx，则10FCFAx，5AD ， 在Rt AD

8、F中， 222 5(10)xx，解得 15 4 x ， 111575 5 2248 ADF SDF AD ADF的面积为 75 8 正确； ABAE，CBCE， AC是BE的垂直平分线， 点B与点E关于AC对称 正确； 如图：延长AD和CE交于点G，连接GF， FDFE，FGFG， Rt GDFRt GEF(HL)， GDGE，又ADCE， GAGC，FDFE， FG是AC的垂直平分线， 正确 故选：D 【类型【类型 2 2】对称：最短路径问题】对称：最短路径问题 【例 2】 （2019 秋金坛区期中）如图，已知45MON，点A、B在边ON上，3OA ，点C是边OM上 一个动点，若ABC周长的

9、最小值是 6，则AB的长是( ) A 1 2 B 3 4 C 5 6 D1 【分析】作点A关于OM的对称点D，连接BD交OM于点C，此时ABC的周长最小，再根据勾股定理 即可求解 【解答】解：如图： 作点A关于OM的对称点D，连接BD，交OM于点C， ACDC，此时ABC周长最小， ABC周长为：ACBCABDCBCABBDAB， 6BDAB， 45MON， 根据对称性：45DOC，3ODOA， 90DOB， 在Rt DOB中，6BDAB，3OBAB， 根据勾股定理，得 222 OBODBD 即 222 (3)3(6)ABAB 1AB 故选：D 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的

10、关键是准确画图找到动点C 【变式 2-1】 （2019 秋邳州市期中）如图，在ABC中，ACBC，90ACB，点D在BC上，6BD ， 2CD ，点P是AB上的动点，则PCPD的最小值是( ) A7 B8 C9 D10 【分析】过点B作D BBC，且6BD ，连接 CD 交AB于点P，由“SAS”可证BPDBPD ，可得 DPDP，可得PCPD的最小值为D C，由勾股定理可求解 【解答】解：如图，过点B作D BBC，使6BD ，连接 CD 交AB于点P ACBC，90ACB， 45ABC，且BDBC 45D BPDBP ，且6BD BD ，BPBP ()BPDBPD SAS DPDP CPDP

11、CPD P PCPD的最小值为D C， 6BD ，2CD 8BC， 2222 8610DCBCD B PCPD的最小值为 10 故选：D 【变式 2-2】 （2019 秋江都区期中）如图，在等腰三角形ABC中，13ABAC，10BC ，D是BC边上 的中点，12AD ，M，N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是( ) A10 B 60 13 C12 D 120 13 【分析】作BHAC，垂足为H，交AD于M点，过M点作M NAB ，垂足为N，则BMM N 为 所求的最小值，根据勾股定理求出AD，再根据面积不变求出BH即可 【解答】解：如图，作BHAC，垂足为H，交AD于M点，过M点作

12、M NAB ，垂足为N，则 BMM N 为所求的最小值 ABAC，D是BC边上的中点， AD是BAC的平分线， M HM N ， BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短） ， 13ABAC，10BC ，D是BC边上的中点， ADBC， 12AD ， 11 22 ABC SACBHBCAD ， 1310 12BH， 解得： 120 13 BH ， 故选：D 【类型【类型 3 3】点的坐标对称问题】点的坐标对称问题 【例 3】 （2019 秋苏州期末）在平面直角坐标系中，点(2, 5)关于y轴对称的点的坐标为( ) A(2,5) B( 2, 5) C(2，5 ) D( 2,5) 【分析】平面直

13、角坐标系中任意一点( , )P x y，关于y轴的对称点的坐标是(, )x y，即关于纵轴的对称点， 纵坐标不变，横坐标变成相反数 【解答】解：关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数 点(2, 5)关于y轴对称的点的坐标是( 2, 5) 故选：B 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的 坐标之间的关系是解题关键 【变式 3-1】 （2019 秋金乡县期中）已知：点(1,3)A m与点(2,1)Bn关于x轴对称，则 2019 ()mn的值为( ) A0 B1 C1 D 2019 3 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，

14、纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答 案 【解答】解：点(1,3)A m与点(2,1)Bn关于x轴对称， 12m ，13n ， 3m，2n ， 2019 ()1mn， 故选：B 【变式 3-2】 （2019 秋海陵区校级期中）已知点(1,23)P aa关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范 围是( ) A 3 2 a B1a C 3 1 2 a D 3 2 a 【分析】根据题意确定点P在四象限，再利用第四象限内点的坐标符号可得a的取值范围 【解答】解：点(1,23)P aa关于x轴的对称点在第一象限， 点P在四象限， 10 230 a a ， 解得： 3 1 2 a ， 故选：C 【类

15、型【类型 4 4】三视图问题】三视图问题 【例 4】 （2019溧水区二模）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是( ) A20 B30 C40 D50 【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积 【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为 5 和 4， 由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为 5 和 2， 因此这个长方体的长、宽、高分别为 5、2、4， 因此这个长方体的体积为42540 立方单位 故选：C 【点评】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题是由两种视图来推测整个 正方体的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现

16、，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高， 左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽 【变式 4-1】 （2019高邮市二模）我国古代数学家利用“牟合方盖“找到了球体体积的计算方法 “牟合方 盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何 体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是( ) 【分析】根据左视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出左视图为 2 个正方形以及一个圆的组合 体，进而得出答案即可 【解答】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱左视图是正方形， 得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为 1 列

17、，上边一个正方形，下边是正方形与圆的组合体 故选：A 【变式 4-2】 （2019建湖县二模）一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于( ) A36 2 cm B 2 24 cm C 2 18 cm D12 2 cm 【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，然后根据圆锥的侧面展开图为 一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解 【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm， 所以这个圆锥的侧面积 2 1 62318 () 2 cm 故选：C 【类型【类型 5 5】旋转的性质旋

18、转的性质 【例 5】 （2019崇川区校级三模）如图，P是半圆O上一点，Q是半径OA延长线上一点，1AQOA， 以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR，连接OR则线段OR的最大值为( ) A 3 2 2 B3 C 2 2 D1 【分析】将RQO绕点R顺时针旋转90，可得RPE，可得ERRO，90ERO，2PEOQ，由直 角三角形的性质可得2EORO，由三角形三边关系可得3EO POEP，即可求解 【解答】解：将RQO绕点R顺时针旋转90，可得RPE， ERRO，90ERO，2PEOQ 2EORO， 3EO POEP 23RO OR的最大值 3 2 2 故选：A 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直

19、角三角形的性质，全等三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是 本题的关键 【变式 5-1】 （2019南京模拟）在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,1)，将点A绕原点O旋转180得到 点A，则点A的坐标是( ) A( 1, 2) B(1, 2) C( 2, 1) D(2, 1) 【分析】根据中心旋转的性质解决问题即可 【解答】解：由题意点A与点A关于原点对称， (2,1)A， ( 2, 1)A ， 故选：C 【点评】本题考查坐标与图形的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型 【变式 5-2】 （2019海门市二模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图

20、 1 所示放置，直角顶点重合在 点O处，25AB ，17CD 保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转(090 )a，如图 2 所示当BD与CD在同一直线上（如图3)时，tan的值等于( ) A 7 25 B 8 25 C 7 24 D 17 25 【分析】如图 2 中，延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明AOCBOD 即可解决问题如图 3 中， 设ACx，在RT ABC中，利用勾股定理求出x，再根据三角函数的定义即可解决问题 【解答】解：如图 2 中，延长BD交OA于G，交AC于E 90AOBCOD ， AOCDOB ， 在AOC和BOD中， OAOB AOCBOD OCOD ，

21、 ()AOCBOD SAS ， ACBD，CAODBO ， 90DBOOGB， OGBAGE ， 90CAOAGE， 90AEG， BDAC， 如图 3 中，设ACx， BD、CD在同一直线上，BDAC， ABC是直角三角形， 222 ACBCAB， 222 (17)25xx， 解得7x ， 22 24BCABAC， 45ODCDBO ，45ABCDBO， ABC ， 7 tantan 24 AC ABC BC 故选：C 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解 题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题 【类型【类型 6 6

22、】有关旋转的综合问题】有关旋转的综合问题 【例 6】 （2019洛阳二模） 如图 1， 在R t A B C中，90ABC，4ABBC， 点D、E分别是边AB、AC 的中点，连接DE，将ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为，BD、CE所在直线相交所成的锐 角为 （1）问题发现当0 时， CE BD ； （2）拓展探究 试判断：当0360时， CE BD 和的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 （3）在ADE旋转过程中，当/ /DEAC时，直接写出此时CBE的面积 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断 （2）结论： CE BD 和的大小无变化如图 2 中

23、，延长CE交AB于点O，交BD于K证明DABEAC， 即可解决问题 （3）分两种情形：当点E在线段AB上时，当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中， 90B，BABC， 45A ，2ACAB， 点D、E分别是边AB、AC的中点， 1 2 BDAB， 1 2 ECAC， 2 EC DB ，45， 故答案为2，45 （2）结论： CE BD 和的大小无变化 理由：如图 2 中，延长CE交AB于点O，交BD于K 2AEAD，2ACAB， 2 AEAC ADAB ， AEAD ACAB ， DAEBAC ， DABEAC ， DABEAC， 2 ECAC BDAB

24、 ，OBKOCA ， BOKCOA ， 45BKOCAO ， CE BD 和的大小无变化 （3）当点E在线段AB上时， 1 4(42 2)84 2 2 BCE S ， 当点E在线段BA的延长线上时， 1 4(42 2)84 2 2 BCE S 综上所述，BCE的面积为84 2或84 2 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的 面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压 轴题 【变式 6-1】 （2019常州二模）如图，将矩形ABCD绕点D旋转90得到矩形A B C D ，其中点A、B、C 分

25、别对应点 A 、 B 、 C ，此时，点 A 落在CD边上，点 C 在AD延长线上连接AC、BD相交于点O， 连接A C 、B D相交于点 O ，连接 OO （1）直接写出OO D ； （2）将OO D绕点O旋转，使点D与点A重合，得OEA，点 O 对应点E，连接O E交AC于点M求 证：M为 AC 中点 【分析】 （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质得到AEO D，由矩形性质得O CO D ，于是得到AEO C ，由旋转可知O D 90OOAE 由矩形性质O C DO D 90CODA ，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）将矩形ABCD绕点D旋转90得

26、到矩形A B C D ， 90ODO ，DODO， ODO是等腰直角三角形， 45OO D， 故答案为：45； （2）由旋转得AEO D，由矩形性质得O CO D ， AEO C ， 由旋转可知O D 90OOAE 由矩形性质O C DO D 90CODA ， 90MAEOAD， 又ODAOAD ， O C DMAE ， O MCEMA ， AEM()COM AAS ， AMMC 即M是AC中点 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键 【变式 6-2】 （2019徐州一模）将一副直角三角尺按图 1 摆放，其中90C，90EDF，60B， 4

27、5F，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，4 3BCcm （1）求DG的长； （2） 如图 2 将D E F绕点D按顺时针方向旋转， 直角边DF经过点C， 另一直角边DE与AC相交于点H， 分别过点H，D作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N猜想HM与CN之间的数量关系，并证明； （3）如图 3，在旋转的过程中，若DEF两边DE，DF与ABC两边AC，BC分别交于K、T两点，则 KT的最小值为 【分析】 （1）解直角三角形求出AB，再在Rt ADG中，根据tan30DGAD计算即可解决问题 （2）利用相似三角形的性质解决问题即可 （3）证明K，D，T，C四点共圆，推出

28、KT是该圆的直径，易知当CD是该圆的直径时，KT的长最短 【解答】解： （1）如图 1 中， 在Rt ABC中，90C，4 3BC ，30CAB 28 3ABBC， DF垂直平分线段AB， 4 3ADDB， 在Rt ADG中， 3 tan304 34 3 DGAD （2）结论：3CNHM 理由：如图 2 中， 90ACB，ADDB， CDDADB， 60B， BDC是等边三角形， 60DCBCDB ， 90ACBCDH ， 30MDHHCD ， 3CDDH， 60DHMDCN ，90DMHDNC ， DMHDNC， 3 NCCD HMDH ， 3CNHM （3）如图 3 中，连接CD 90KC

29、TKDT ， 180KCTKDT， K，D，T，C四点共圆， KT是该圆的直径， KT CD， 当KTCD时，KT的长最短，此时 1 4 3 2 KTCDAB 【达标检测】【达标检测】 1 （2019南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ） A球 B圆锥 C圆柱 D棱柱 【解析】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱 故选：C 2 （2019徐州）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（ ） 【解析】解： D 不是轴对称图形， 故选：D 3 （2019常州）若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC 与ABC的周长的比为（ ） A

30、2：1 B1：2 C4：1 D1：4 【解析】解：ABCABC，相似比为 1：2， ABC 与ABC的周长的比为 1：2 故选：B 4 （2019宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A20 B15 C12 D9 【解析】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长6，底面半径3， 由图得，母线长5， 侧面面积6515 故选：B 5 （2019南京）如图，ABC是由ABC 经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC 经过怎样的图形 变化得到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和 1 次轴对称；2 次旋转；2 次轴对称其中所有 正确结论的序号是（ ） A B C

31、 D 【解析】解：先将ABC 绕着 BB 的中点旋转 180，再将所得的三角形绕着点 B旋转 180，即可得到 ABC； 先将ABC 沿着 BC 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着 BC的垂直平分线翻折，即可得到 ABC； 故选：D 6 （2019徐州）如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 处的仰角为 45，测得该建筑底部 C 处的俯 角为 17若无人机的飞行高度 AD 为 62m，则该建筑的高度 BC 为 m （参考数据：sin170.29，cos170.96，tan170.31） 【解析】解：作 AEBC 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形， ECAD62， 在 RtAEC

32、中，tanEAC， 则 AE200， 在 RtAEB 中，BAE45， BEAE200， BC200+62262（m） ， 则该建筑的高度 BC 为 262m， 故答案为：262 7 （2019镇江）将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置（如图） ，使得点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H，则 HD （结果保留根号） 【解析】解：四边形 ABCD 为正方形， CD1，CDA90， 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置，使得点 D 落在对角线 CF 上， CF，CFDE45， DFH 为等腰

33、直角三角形， DHDFCFCD1 故答案为1 8 （2019河南）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且 BEa连接 AE，将 ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 或 【解析】解：分两种情况： 当点 B落在 AD 边上时，如图 1 四边形 ABCD 是矩形， BADB90， 将ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 AD 边上， BAEBAEBAD45， ABBE， a1， a； 当点 B落在 CD 边上时，如图 2 四边形 ABCD 是矩形， BADBCD90，ADBCa 将ABE 沿 AE 折叠

34、，点 B 的对应点 B落在 CD 边上， BABE90，ABAB1，EBEBa， DB，ECBCBEaaa 在ADB与BCE 中， ， ADBBCE， ，即， 解得 a1，a2（舍去） 综上，所求 a 的值为 或 故答案为 或 9 （2019淮安）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，H 是 AB 的中点，将CBH 沿 CH 折叠，点 B 落在矩形内点 P 处，连接 AP，则 tanHAP 【解析】解：如图，连接 PB，交 CH 于 E， 由折叠可得，CH 垂直平分 BP，BHPH， 又H 为 AB 的中点， AHBH， AHPHBH， HAPHPA，HBPHPB， 又HAP+HPA+H

35、BP+HPB180， APB90， APBHEB90， APHE， BAPBHE， 又RtBCH 中，tanBHC， tanHAP， 故答案为： 10 （2019宿迁）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE1，F 为 AB 边上的一个动点， 连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为 【解析】解：由题意可知，点 F 是主动点，点 G 是从动点，点 F 在线段上运动，点 G 也一定在直线轨 迹上运动 将EFB 绕点 E 旋转 60，使 EF 与 EG 重合，得到EFBEHG 从而可知EBH 为等边三角形，点 G 在垂直于 HE 的

36、直线 HN 上 作 CMHN，则 CM 即为 CG 的最小值 作 EPCM，可知四边形 HEPM 为矩形， 则 CMMP+CPHEEC1 故答案为 11 （2019扬州）如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋转 45至四边形 ABCD的位置，若 AB 16cm，则图中阴影部分的面积为 cm2 【解析】解：由旋转的性质得：BAB45，四边形 ABCD四边形 ABCD， 则图中阴影部分的面积四边形ABCD的面积+扇形ABB的面积四边形ABCD的面积扇形ABB的面 积32； 故答案为：32 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 12 （2019南通）如图，矩形 ABCD 中，AB2，A

37、D4E，F 分别在 AD，BC 上，点 A 与点 C 关于 EF 所在的直线对称，P 是边 DC 上的一动点 （1）连接 AF，CE，求证四边形 AFCE 是菱形； （2）当PEF 的周长最小时，求的值； （3）连接 BP 交 EF 于点 M，当EMP45时，求 CP 的长 【解析】证明： （1）如图：连接 AF，CE，AC 交 EF 于点 O 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ADBC，ADBC AEOCFO，EAOFCO， 点 A 与点 C 关于 EF 所在的直线对称 AOCO，ACEF AEOCFO，EAOFCO，AOCO AEOCFO（AAS） AECF，且 AECF 四边形 AF

38、CE 是平行四边形，且 ACEF 四边形 AFCE 是菱形； （2）如图，作点 F 关于 CD 的对称点 H，连接 EH，交 CD 于点 P，此时EFP 的周长最小， 四边形 AFCE 是菱形 AFCFCEAE， AF2BF2+AB2， AF2（4AF）2+4， AF AECF DE 点 F，点 H 关于 CD 对称 CFCH ADBC （3）如图，延长 EF，延长 AB 交于点 N，过点 E 作 EHBC 于 H，交 BP 于点 G，过点 B 作 BOFN 于点 O， 由（2）可知，AECF，BFDE EHBC，AABC90 四边形 ABHE 是矩形 ABEH2，BHAE FH1 EF， A

39、DBC BFNAEN BN3，NF AN5，NE NN，BONA90 NBONEA BO，NO EMPBMO45，BOEN OBMBMO45 BOMO MEENNOMO ABEH BNMGEM EG GHEHEG EHCD BGHBPC CP 13 （2019徐州）如图，将平行四边形纸片 ABCD 沿一条直线折叠，使点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 G 处， 折痕为 EF求证： （1）ECBFCG； （2）EBCFGC 【解析】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， 由折叠可得，AECG， BCDECG， BCDECFECGECF， ECBFCG； （2）四边形 AB

40、CD 是平行四边形， DB，ADBC， 由折叠可得，DG，ADCG， BG，BCCG， 又ECBFCG， EBCFGC（ASA） 14 （2019常州） 如图， 把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠， 点 C 落在点 C处， BC与 AD 相交于点 E （1）连接 AC，则 AC与 BD 的位置关系是 ； （2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论 【解析】解： （1）连接 AC，四边形 ABCD 平行四边形， ADBC，ADBC， ADBCBD， 由折叠知，BCBC，CBDCBD， ADBC，ADBCBD， BEDE， AECE， DAC（180AEC）90AEC， 同理：ADB90B

41、ED， AECBED， DACADB， ACBD， 故答案为：ACBD； （2）EB 与 ED 相等 由折叠可得，CBDCBD， ADBC， ADBCBD， EDBCBD， BEDE 15 （2019淮安）如图，在ABC 中，ABAC3，BAC100，D 是 BC 的中点 小明对图进行了如下探究：在线段 AD 上任取一点 P，连接 PB将线段 PB 绕点 P 按逆时针方向旋转 80，点 B 的对应点是点 E，连接 BE，得到BPE小明发现，随着点 P 在线段 AD 上位置的变化，点 E 的位置也在变化，点 E 可能在直线 AD 的左侧，也可能在直线 AD 上，还可能在直线 AD 的右侧 请你帮

42、助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点 E 在直线 AD 上时，如图所示 BEP 50 ； 连接 CE，直线 CE 与直线 AB 的位置关系是 ECAB （2）请在图中画出BPE，使点 E 在直线 AD 的右侧，连接 CE试判断直线 CE 与直线 AB 的位置关 系，并说明理由 （3）当点 P 在线段 AD 上运动时，求 AE 的最小值 【解析】解： （1）如图中， BPE80，PBPE， PEBPBE50， 结论：ABEC 理由：ABAC，BDDC， ADBC， BDE90， EBD905040， AE 垂直平分线段 BC， EBEC， ECBEBC40， ABAC，BAC100， A

43、BCACB40， ABCECB， ABEC 故答案为 50，ABEC （2）如图中，以 P 为圆心，PB 为半径作P AD 垂直平分线段 BC， PBPC， BCEBPE40， ABC40， ABEC （3）如图中，作 AHCE 于 H， 点 E 在射线 CE 上运动，点 P 在线段 AD 上运动， 当点 P 运动到与点 A 重合时，AE 的值最小，此时 AE 的最小值AB3 16 （2019南京一模）已知，如图，在ABC 中，ACB90，B60，BC2，MON30 （1）如图 1，MON 的边 MOAB，边 ON 过点 C，求 AO 的长； （2）如图 2，将图 1 中的MON 向右平移，MON 的两边分别与ABC 的边 AC、BC 相交于点