专题14 圆的切线有关证明问题（解析版）（苏科版）.doc

1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题专题 14 14 圆的切线有关证明问题圆的切线有关证明问题 【方法指导】【方法指导】 1. 判断直线和圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d 直线 l 和O 相交dr直线 l 和O 相切d=r 直线 l 和O 相离dr 2. 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆 心；直线过切点；直线与圆的切线垂直 3

2、.切线的判定： （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2）在应用判定定理时注意： 切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线 切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线 的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确 指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交 点，作半径，证垂直” 4.切线长

3、定理： （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线 的夹角切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个 端点分别是圆外一点和切点，可以度量 （3）切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证 明求解问题中经常用到 5.三角形的内切圆和内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做 圆的外切三角形三

4、角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点 （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形 （3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分 这个内角 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】直线和圆的位置关系】直线和圆的位置关系 【例 1】 （2019 秋邗江区校级期中）直线 l 与半径为 r 的O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 3，则 r 的取 值范围是（ ） Ar3 Br3 Cr3 Dr3 【分析】直线和圆有三种位置关系：已知O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离是 d，当 dr 时， 直线 l

5、 和O 相切，当 dr 时，直线 l 和O 相交，当 dr 时，直线 l 和O 相离，根据以上内容 得出即可 【解析】直线 l 与半径为 r 的O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 3， r3， 故选：C 【方法小结】 此题考查的是直线与圆的位置关系， 根据圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系解答 若 dr，则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 【变式 1-1】 （2018常州模拟）半径为 10 的O 和直线 l 上一点 A，且 OA10，则直线 l 与O 的位置关 系是（ ） A相切 B相交 C相离 D相切或相交 【分析】分两种情况求解：OAl；OA

6、 不垂直 l根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定 【解析】若 OAl，则圆心 O 到直线 l 的距离就是 OA 的长，等于半径，所以直线 l 与O 相切； 若 OA 与直线 l 不垂直，根据垂线段最短，圆心 O 到直线 l 的距离小于 5，即小于半径，所以直线 l 与O 相交 故选：D 【变式 1-2】 （2019宜兴市一模）如图，在直角ABC 中，C90，BC3，AC4，D、E 分别是 AC、 BC 上的一点，且 DE3若以 DE 为直径的圆与斜边 AB 相交于 M、N，则 MN 的最大值为（ ） A B2 C D 【分析】根据题意有 C、O、G 三点在一条直线上 OG 最小，MN 最大

7、，根据勾股定理求得 AB，根据三 角形面积求得 CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得 MN 的最大值 【解析】取 DE 的中点 O，过 O 作 OGAB 于 G，连接 OC， 又CO1.5， 只有 C、O、G 三点一线时 G 到圆心 O 的距离最小， 此时 OG 达到最小 MN 达到最大 作 CFAB 于 F， G 和 F 重合时，MN 有最大值， C90，BC3，AC4， AB5， ACBCABCF， CF， OG， MG， MN2MG， 故选：C 【类型【类型 2 2】切线的性质问题切线的性质问题 【例 2】 （2019宿豫区模拟）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，

8、BAC2ABC，过 点 B 的切线交 AC 的延长线于点 D，若O 的半径为 1，则 CD 长为（ ） A3 B4 C2 D 【分析】根据圆周角定理和BAC2ABC，求得ABC30，解直角三角形求得 AC1，BC， 由切线的性质得出ABD90，根据射影定理即可求得 【解析】AB 是O 的直径， ACB90， BAC+ABC90， BAC2ABC， ABC30， ACAB1，BCAB， BD 是O 的切线， ADDB， ABD90， BC2ACCD， CD3， 故选：A 【变式 2-1】 （2019灌南县二模）如图，菱形 ABCD 的边 AB5，面积为 20，BAD90，O 与边 AB、 AD

9、都相切，AO2，则O 的半径长等于（ ） A B C D 【分析】连接 AC，BD，OE，根据菱形的性质、勾股定理分别求出 AM，BM，根据切线的性质得到OEA 90，证明AOEABM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【解析】连接 AC，BD，OE， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AMCM，BMDM， O 与边 AB、AD 都相切， 点 O 在 AC 上， 设 AMx，BMy， BAD90， xy， 由勾股定理得，x2+y225， 菱形 ABCD 的面积为 20， xy5， ， 解得，x2，y， O 与边 AB 相切， OEA90， OEABMA，OAEBAM， AOEABM

10、， ，即， 解得，OE， 故选：D 【变式 2-2】 （2019昆山市二模）如图，O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 BC，AD，过点 C 的 切线与 AB 的延长线交于点 F，若D65，则F 的度数等于（ ） A30 B35 C40 D45 【分析】连接 OC，根据切线的性质得到OCF90，根据圆周角定理得到ABCD65，根据 等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可 【解析】连接 OC， CF 是O 的切线， OCF90， 由圆周角定理得，ABCD65， OCOB， OCBABC65， BOC180656550， F90BOC40， 故选：C 【方法小结】本题考查的是切线

11、的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关 键 【类型【类型 3 3】切线长定理】切线长定理 【例 3】 （2019宜兴市二模）如图，PA、PB 切O 于点 A、B，PA10，CD 切O 于点 E，交 PA、PB 于 C、 D 两点，则PCD 的周长是（ ） A10 B18 C20 D22 【分析】根据切线长定理得出 PAPB10，CACE，DEDB，求出PCD 的周长是 PC+CD+PD PA+PB，代入求出即可 【解析】PA、PB 切O 于点 A、B，CD 切O 于点 E， PAPB10，CACE，DEDB， PCD 的周长是 PC+CD+PD PC+AC+DB+PD

12、PA+PB 10+10 20 故选：C 【变式 3-1】 （2019鼓楼区校级模拟）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 外一点，CA、CD 是O 的切 线，A、D 为切点，连接 BD、AD若ACD48，则DBA 的大小是（ ） A32 B48 C60 D66 【分析】根据切线长定理可知 CACD，求出CAD，再证明DBACAD 即可解决问题 【解析】CA、CD 是O 的切线， CACD， ACD48， CADCDA66， CAAB，AB 是直径， ADBCAB90， DBA+DAB90，CAD+DAB90， DBACAD66， 故选：D 【变式 3-2】 （2019 秋阜宁县期中）如图，O

13、 为ABC 的内切圆，AC10，AB8，BC9，点 D，E 分 别为 BC，AC 上的点，且 DE 为O 的切线，则CDE 的周长为（ ） A9 B7 C11 D8 【分析】设 AB，AC，BC 和圆的切点分别是 P，N，M根据切线长定理得到 NCMC，QEDQ所以 三角形 CDE 的周长即是 CM+CN 的值，再进一步根据切线长定理由三角形 ABC 的三边进行求解即可 【解析】设 AB，AC，BC 和圆的切点分别是 P，N，M，CMx，根据切线长定理，得 CNCMx，BMBP9x，ANAP10x 则有 9x+10x8， 解得：x5.5 所以CDE 的周长CD+CE+QF+DQ2x11 故选：

14、C 【类型【类型 4 4】三角形的内切圆问题】三角形的内切圆问题 【例 4】 （2019 秋兴化市期末）如图，ABC 周长为 20cm，BC6cm，圆 O 是ABC 的内切圆，圆 O 的 切线 MN 与 AB、CA 相交于点 M、N，则AMN 的周长为 cm 【分析】根据切线长定理得到 BFBE，CFCD，DNNG，EMGM，ADAE，然后利用三角形的 周长和 BC 的长求得 AE 和 AD 的长，从而求得AMN 的周长 【解析】圆 O 是ABC 的内切圆，圆 O 的切线 MN 与 AB、CA 相交于点 M、N， BFBE，CFCD，DNNG，EMGM，ADAE， ABC 周长为 20cm，B

15、C6cm， AEAD4， AMN 的周长为 AM+MG+NG+ANAM+ME+AN+NDAE+AD448， 故答案为：8 【方法小结】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得 AE 和 AD 的长，难度不大 【变式 4-1】（2019 秋秦淮区期末） RtABC 中， C90， AC5， BC12， 则ABC 的内切圆半径为 【分析】设 AB、BC、AC 与O 的切点分别为 D、F、E；易证得四边形 OECF 是正方形；那么根据切线 长定理可得：CECF（AC+BCAB） ，由此可求出 r 的长 【解析】如图： 在 RtABC，C90，AC5，BC12， 根

16、据勾股定理 AB13， 四边形 OECF 中，OEOF，OECOFCC90， 四边形 OECF 是正方形， 由切线长定理，得：ADAE，BDBF，CECF， CECF（AC+BCAB） ， 即：r（5+1213）2 故答案为：2 【变式 4-2】 （2019高淳区二模）如图，ABC 的内切圆O 分别与三角形三边相切于点 D、E、F，若 DFE55，则A 【分析】 连接 OD、 OE； 由圆周角定理可求得DOE 的度数； 在四边形 ADOE 中， ADOAEO90， 由此可求出A 的度数 【解析】连接 OD，OE，如图所示： 则ADOAEO90； 由圆周角定理知，DOE2DFE110； A360

17、ADOAEODOE70 故答案为：70 【类型【类型 5 5】圆的有关切线的计算与证明问题】圆的有关切线的计算与证明问题 【例 5】如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为的中点过点 D 作直线 AC 的垂线，垂足为 E， 连接 OD （1）求证：ADOB； （2）DE 与O 有怎样的位置关系？请说明理由 【分析】 （1）连接 OC，由 D 为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据平行线的判定定理得到 AEOD，根据平行线的性质得到 ODDE，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OC， D 为的中点， ， BODBOC， BACBOC， ADOB； （2）解：D

18、E 与O 相切， 理由：ADOB， AEOD， DEAE， ODDE， DE 与O 相切 【方法小结】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的 判定定理是解题的关键 【变式 5-1】 （2019淮安）如图，AB 是O 的直径，AC 与O 交于点 F，弦 AD 平分BAC，DEAC，垂 足为 E （1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径为 2，BAC60，求线段 EF 的长 【分析】 （1）欲证明 DE 是O 的切线，只要证明ODE90即可； （2）过 O 作 OGAF 于 G，得到 AF2AG，根据直角三角形的性质得到 A

19、GOA1，得到 AF2， 推出四边形 AODF 是菱形，得到 DFOA，DFOA2，于是得到结论 【解析】 （1）直线 DE 与O 相切， 连结 OD AD 平分BAC， OADCAD， OAOD， OADODA， ODACAD， ODAC， DEAC，即AED90， ODE90，即 DEOD， DE 是O 的切线； （2）过 O 作 OGAF 于 G， AF2AG， BAC60，OA2， AGOA1， AF2， AFOD， 四边形 AODF 是菱形， DFOA，DFOA2， EFDBAC60， EFDF1 【变式 5-2】 （2019泰州）如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 为O 的直径

20、，D 为的中点，过点 D 作 DEAC，交 BC 的延长线于点 E （1）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径为 5，AB8，求 CE 的长 【分析】 （1）连接 OC，由 AC 为O 的直径，得到ADC90，根据，得到 ADCD，根据 平行线的性质得到CDEDCA45，求得ODE90，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到 ADCD5，由圆周角定理得到ABC90，求得 BC6，根据相似三角 形的性质即可得到结论 【解析】 （1）DE 与O 相切， 理由：连接 OD， AC 为O 的直径， ADC90， D 为的中点， ， ADCD， ACD45， OA 是 AC 的

21、中点， ODC45， DEAC， CDEDCA45， ODE90， DE 与O 相切； （2）O 的半径为 5， AC10， ADCD5， AC 为O 的直径， ABC90， AB8， BC6， BADDCE， ABDCDE45， ABDCDE， ， ， CE 【达标检测】【达标检测】 1 （2019苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为 A，连接 AO、BO，BO 与O 交于点 C，延长 BO 与O 交于点 D，连接 AD若ABO36，则ADC 的度数为（ ） A54 B36 C32 D27 【答案】D 【解析】AB 为O 的切线， OAB90， ABO36， AOB90ABO54， OAO

22、D， ADCOAD， AOBADC+OAD， ADCAOB27； 故选：D 2 （2019无锡）如图，PA 是O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交O 于点 B，若P40，则B 的 度数为（ ） A20 B25 C40 D50 【答案】B 【解析】连接 OA，如图， PA 是O 的切线， OAAP， PAO90， P40， AOP50， OAOB， BOAB， AOPB+OAB， BAOP5025 故选：B 3 （2019灌南县二模）如图，菱形 ABCD 的边 AB5，面积为 20，BAD90，O 与边 AB、AD 都相 切，AO2，则O 的半径长等于（ ） A B C D 【答案】D 【解

23、析】连接 AC，BD，OE， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AMCM，BMDM， O 与边 AB、AD 都相切， 点 O 在 AC 上， 设 AMx，BMy， BAD90， xy， 由勾股定理得，x2+y225， 菱形 ABCD 的面积为 20， xy5， ， 解得，x2，y， O 与边 AB 相切， OEA90， OEABMA，OAEBAM， AOEABM， ，即， 解得，OE， 故选：D 4 （2019镇江一模）已知ABC 的三边长分别是 4，5，6，则ABC 的内切圆半径是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】如图所示： 设 AC4，BC5，AB6，作 ADBC 于 D，

24、设 BDx，则 CD5x， 由勾股定理得：AD2AB2BD2AC2CD2， 62x242（5x）2， 解得：x， BD， AD， ABC 的面积BCAD5， ABC 的内切圆半径； 故选：B 5 （2019南京）如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，点 C、D 在O 上若P102，则A+ C 【答案】219 【解析】连接 AB， PA、PB 是O 的切线， PAPB， P102， PABPBA（180102）39， DAB+C180， PAD+CPAB+DAB+C180+39219， 故答案为：219 6 （2019宿迁）直角三角形的两条直角边分别是 5 和 12，则它的内切圆半径为

25、 2 【答案】2 【解析】直角三角形的斜边13， 所以它的内切圆半径2 故答案为 2 7 （2018连云港）如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，OC 交 AB 于点 P，已知 OAB22，则OCB 【答案】44 【解析】连接 OB， BC 是O 的切线， OBBC， OBA+CBP90， OCOA， A+APO90， OAOB，OAB22， OABOBA22， APOCBP68， APOCPB， CPBAPO68， OCB180686844， 故答案为：44 8 （2019高淳区二模）如图，ABC 的内切圆O 分别与三角形三边相切于点 D、E、F，若DFE55，

26、 则A 【答案】70 【解析】连接 OD，OE，如图所示： 则ADOAEO90； 由圆周角定理知，DOE2DFE110； A360ADOAEODOE70 故答案为：70 9 （2019盐城）如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的O 分 别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NEAB，垂足为 E （1）若O 的半径为 ，AC6，求 BN 的长； （2）求证：NE 与O 相切 【解析】 （1）连接 DN，ON O 的半径为 ， CD5 ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线， BDCDAD5， AB10， BC8 CD 为直径 CND90，

27、且 BDCD BNNC4 （2）ACB90，D 为斜边的中点， CDDADBAB， BCDB， OCON， BCDONC， ONCB， ONAB， NEAB， ONNE， NE 为O 的切线 10 （2019扬州）如图，AB 是O 的弦，过点 O 作 OCOA，OC 交 AB 于 P，CPBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）已知BAO25，点 Q 是上的一点 求AQB 的度数； 若 OA18，求的长 【解答】 （1）证明：连接 OB， OAOB， OABOBA， PCCB， CPBPBC， APOCPB， APOCBP， OCOA， AOP90， OAP+APO90， CBP+ABO

28、90， CBO90， BC 是O 的切线； （2）解：BAO25， ABO25，APO65， POBAPOABO40， AQB（AOP+POB）13065； AQB65， AOB130， 的长的长23 11 （2018徐州）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 外，ABC 的平分线与O 交于点 D，C90 （1）CD 与O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CDB60，AB6，求的长 【解析】 （1）相切理由如下： 连接 OD， BD 是ABC 的平分线， CBDABD， 又ODOB， ODBABD， ODBCBD， ODCB， ODCC90， CD 与O 相切； （2）若CDB60，

29、可得ODB30， AOD60， 又AB6， AO3， 12 （2019南通）如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，BC1，以边 AC 上一点 O 为圆心， OA 为半径的O 经过点 B （1）求O 的半径； （2）点 P 为劣弧 AB 中点，作 PQAC，垂足为 Q，求 OQ 的长； （3）在（2）的条件下，连接 PC，求 tanPCA 的值 【解析】 （1）作 OHAB 于 H 在 RtACB 中，C90，A30，BC1， AB2BC2， OHAB， AHHB1， OAAHcos30 （2）如图 2 中，连接 OP，PA设 OP 交 AB 于 H ， OPAB， AHO90， OAH

30、30， AOP60， OAOP， AOP 是等边三角形， PQOA， OQQAOA （3）连接 PC 在 RtABC 中，ACBC， AQQOAO QCACAQ， AOP 是等边三角形，PQOA， PQ1， tanACP 13如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为的中点过点 D 作直线 AC 的垂线，垂足为 E，连 接 OD （1）求证：ADOB； （2）DE 与O 有怎样的位置关系？请说明理由 【解答】 （1）证明：连接 OC， D 为的中点， ， BODBOC， BACBOC， ADOB； （2）解：DE 与O 相切， 理由：ADOB， AEOD， DEAE， ODDE， DE

31、 与O 相切 14 （2019镇江）如图，在ABC 中，ABAC，过 AC 延长线上的点 O 作 ODAO，交 BC 的延长线于点 D，以 O 为圆心，OD 长为半径的圆过点 B （1）求证：直线 AB 与O 相切； （2）若 AB5，O 的半径为 12，则 tanBDO 【解答】 （1）证明：连接 OB，如图所示： ABAC， ABCACB， ACBOCD， ABCOCD， ODAO， COD90， D+OCD90， OBOD， OBDD， OBD+ABC90， 即ABO90， ABOB， 点 B 在圆 O 上， 直线 AB 与O 相切； （2）解：ABO90， OA13， ACAB5， O

32、COAAC8， tanBDO； 故答案为： 15 （2019淮安）如图，AB 是O 的直径，AC 与O 交于点 F，弦 AD 平分BAC，DEAC，垂足为 E （1）试判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径为 2，BAC60，求线段 EF 的长 【解析】 （1）直线 DE 与O 相切， 连结 OD AD 平分BAC， OADCAD， OAOD， OADODA， ODACAD， ODAC， DEAC，即AED90， ODE90，即 DEOD， DE 是O 的切线； （2）过 O 作 OGAF 于 G， AF2AG， BAC60，OA2， AGOA1， AF2， AFO

33、D， 四边形 AODF 是菱形， DFOA，DFOA2， EFDBAC60， EFDF1 16 （2019苏州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧 BC 的中点，BC 与 AD、OD 分别交于 点 E、F （1）求证：DOAC； （2）求证：DEDADC2； （3）若 tanCAD，求 sinCDA 的值 【解析】 （1）因为点 D 是弧 BC 的中点， 所以CADBAD，即CAB2BAD， 而BOD2BAD， 所以CABBOD， 所以 DOAC； （2）， CADDCB， DCEDCA， CD2DEDA； （3）tanCAD，连接 BD，则 BDCD， DBCCAD，在 RtBDE 中，tanDBE， 设：DEa，则 CD2a， 而 CD2DEDA，则 AD4a， AE3a， 3， 而AECDEF， 即AEC 和DEF 的相似比为 3， 设：EFk，则 CE3k，BC8k， tanCAD， AC6k，AB10k， sinCDA