专题12四边形的几何综合问题（解析版）（苏科版）.doc

1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 12 四边形的几何综合问题 【方法指导】【方法指导】 1.平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、 角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分 别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的 2.菱形的性质与判定： 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有 一组邻边相等”，因而就增加

2、了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法菱形的四条边都相等， 菱 形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别 是两条对角线所在直线 3.矩形的性质与判定： 关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其 特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等同时平行四边形的性质矩形也都具有 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题 4.正方形： 正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角 线平分一组对角

3、；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】平行四边形的计算与证明】平行四边形的计算与证明 【例 1】 （2019宿豫区模拟）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 BC、 AD 于点 E、F，G、H 分别是 OB、OD 的中点求证： （1）OEOF； （2）四边形 GEHF 是平行四边形 【分析】 （1）由“AAS”证明AOECOF，可得 OEOF； （2）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形 G

4、EHF 是平行四边形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC，OAOC，OBOD DACBCA，且 OAOC，AOECOF AOECOF（ASA） OEOF （2）OBOD，G、H 分别是 OB、OD 的中点 GOOH，且 OEOF 四边形 GEHF 是平行四边形 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定 和性质是本题的关键 【变式 1-1】 （2019亭湖区二模）已知点 E、F 分别是ABCD 的边 BC、AD 的中点 （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 BC10，BAC90，求AECF 的周长 【

5、分析】 （1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到 AECEBC5，推出四边形 AECF 是菱形，于是得到结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， 点 E、F 分别是ABCD 的边 BC、AD 的中点， AF AD，CEBC， AFCE，AFCE， 四边形 AECF 是平行四边形； （2）解：BC10，BAC90，E 是 BC 的中点 AECEBC5， 四边形 AECF 是菱形， AECF 的周长4520 【变式 1-2】 （2019海门市一模）如图，ABCD 中，点 E 是 BC 边的一点，延长 AD 至点 F，使

6、DFC DEC 求证：四边形 DECF 是平行四边形 【分析】由平行四边形的性质可得 ADBC，可得ADEDEC，可证 DECF，可得结论 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC ADEDEC，且DFCDEC ADEDFC DECF，且 DFBC 四边形 DECF 是平行四边形 【变式 1-3】 （2019建邺区一模） 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， 分别以 AB， CD 为边向外作等边ABE 和CDF，连接 AF，CE求证：四边形 AECF 为平行四边形 【分析】由平行四边形的性质可得 ABCD，ADBC，ABCADC，由等边三角形的性质可得 BE EAABCDCFDF，

7、EBACDF60，由“SAS”可证ADFCBE，可得 ECAF，由 两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形 AECF 为平行四边形 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD，ADBC，ABCADC ABE 和CDF 是等边三角形 BEEAABCDCFDF，EBACDF60 ADFEBC，且 ADBC，BEDF ADFCBE（SAS） ECAF，且 AECF 四边形 AECF 为平行四边形 【类型【类型 2 2】菱形的计算与证明】菱形的计算与证明 【例 2】 （2019海门市二模）如图，在 RtABC 中，ACB90，D、E 分别是 AB、AC 的中点，过 C 作 CFAB 交

8、 DE 延长线于点 F，连接 AF、DC 求证： （1）DEFE； （2）四边形 ADCF 是菱形 【分析】 （1）由“AAS”可证AEDCEF，可得 DEEF； （2）由直角三角形的性质可得 CDAD，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形 ADCF 是平行四边形，即可证四边形 ADCF 是菱形 【解答】 （1）证明：CFAB， DACACF， 又AEEC，AEDCEF， AEDCEF（AAS） ， DEEF （2）ACB90，D 是 AB 的中点， CDAD DEEF，AEEC 四边形 ADCF 是平行四边形 又ADCD 四边形 ADCF 是菱形 【点评】本题考查了菱形的判定和性质

9、，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些 性质进行推理是本题的关键 【变式 2-1】 （2019兴化市二模）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BC 于点 E， ABC 的平分线交 AD 于点 F （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）若 AE6，BF8，平行四边形 ABCD 的面积是 36，求 AD 的长 【分析】 （1）由平行四边形的性质和角平分线的性质可证 BABEAF，即可证四边形 ABEF 是菱形； （2）由菱形的性质和勾股定理可求 BE5，由菱形的面积公式可求 AH，由平行四边形的面积公式 可求 AD 的长 【解答】证明： （1）四边

10、形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAEAEB， BAD 的平分线交 BC 于点 E， DAEBAE， BAEBEA， BABE， 同理：ABAF AFBE， 又AFBE， 四边形 ABEF 是平行四边形， ABAF， 四边形 ABEF 是菱形 （2）如图，过 A 作 AHBE， 四边形 ABEF 是菱形， AOEOAE3，BOFOBF4，AEBF， BE5， S菱形ABEFAEBF6824， BEAH24， AH， S平行四边形ABCDADAH36， AD 【变式 2-2】 （2019江都区二模）如图，在四边形 ABCD 中，BAC90，E 是 BC 的中点，ADBC， AEDC，E

11、FCD 于点 F （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若 AB5，AC12，求 EF 的长 【分析】 （1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可 【解答】 （1）证明：ADBC，AEDC， 四边形 AECD 是平行四边形， BAC90，E 是 BC 的中点， AECEBC， 四边形 AECD 是菱形； （2）解：过 A 作 AHBC 于点 H，如图所示 BAC90，AB5，AC12， BC13， ABC 的面积BCAHABAC， AH， 点 E 是 BC 的中点，四边形 AECD 是菱形， CDCE， SAECDCEAHCDEF， EF

12、AH 【变式 2-3】 （2019宿迁模拟）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 ACBD 交于点 O， AC 平分BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 ABOE2，求线段 CE 的长 【分析】 （1）先判断出OABDCA，进而判断出DACDAC，得出 CDADAB，即可得出结 论； （2）先判断出 OEOAOC，再求出 OB1，根据相似三角形的性质即可得出结论 【解析】 （1）ABCD， OABDCA， AC 为DAB 的平分线， OABDAC， DCADAC， CDADAB， ABCD，

13、四边形 ABCD 是平行四边形， ADAB， ABCD 是菱形； （2）四边形 ABCD 是菱形， OAOC，BDAC， CEAB， OEOAOC2， OB1， AOBAEC90， OABEAC， AOBAEC， ， ， CE 【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角 平分线的定义，勾股定理，判断出 OEOAOC 是解本题的关键 【类型【类型 3 3】矩形的计算与证明】矩形的计算与证明 【例 3】 （2019丹阳市一模）已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DEAC，AE BD （1）求证：四边形 AODE 是矩形

14、； （2）若 AB2，BCD120，求四边形 AODE 的面积 【分析】 （1）根据菱形的性质得出 ACBD，再根据平行四边形的判定定理得四边形 AODE 为平行四边 形，由矩形的判定定理得出四边形 AODE 是矩形； （2） 证明ABC 是等边三角形， 得出 OA1， 由勾股定理得出 OB， 由菱形的性质得出 ODOB， 即可求出四边形 AODE 的面积 【解答】 （1）证明：DEAC，AEBD， 四边形 AODE 是平行四边形， 在菱形 ABCD 中，ACBD， AOD90， 四边形 AODE 是矩形； （2）解：BCD120，ABCD， ABC18012060， ABBC2， ABC 是

15、等边三角形， OA21， 在菱形 ABCD 中，ACBD 由勾股定理 OB， 四边形 ABCD 是菱形， ODOB， 四边形 AODE 的面积OAOD 【变式 3-1】 （2019建湖县二模）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCADC，对角线 AC、BD 交于点 O，AOBO，DE 平分ADC 交 BC 于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB2，求OEC 的面积 【分析】 （1）证出BADBCD，得出四边形 ABCD 是平行四边形，得出 OAOC，OBOD，证出 ACBD，即可解决问题； （2）作 OFBC 于 F求出 EC、OF 即可解决问题；

16、 【解答】 （1）证明：ADBC， ABC+BAD180，ADC+BCD180， ABCADC， BADBCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD， OAOB， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形 （2）解：作 OFBC 于 F，如图所示 四边形 ABCD 是矩形， CDAB2，BCD90，AOCO，BODO，ACBD， AOBOCODO， BFFC， OFCD1， DE 平分ADC，ADC90， EDC45， 在 RtEDC 中，ECCD2， OEC 的面积ECOF1 【变式 3-2】 （2019延边州二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 做 DEAB 于

17、E，点 F 在边 CD 上， DFBE，连接 AF、BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF3，BE5，AF 平分DAB，求平行四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）先求出四边形 BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出 DE 长，即可得出答案 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， DFBE， 四边形 BFDE 是平行四边形， DEAB， DEB90， 四边形 BFDE 是矩形； （2）AF 平分DAB， DAFFAB， 平行四边形 ABCD， ABCD， FABDFA， DFADAF， ADDF5， 在

18、RtADE 中，DE， 平行四边形 ABCD 的面积ABDE4832， 【类型【类型 4 4】四边形综合问题】四边形综合问题 【例 4】 （2019桓台县二模）已知，正方形 ABCD，EAF45， （1）如图 1，当点 E，F 分别在边 BC，CD 上，连接 EF，求证：EFBE+DF； （2）如图 2，点 M，N 分别在边 AB，CD 上，且 BNDM，当点 E，F 分别在 BM，DN 上，连接 EF， 请探究线段 EF，BE，DF 之间满足的数量关系，并加以证明； （3）如图 3，当点 E，F 分别在对角线 BD，边 CD 上，若 FC2，则 BE 的长为 【分析】 （1） 如图 1 中，

19、 将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90， 得ABG， 想办法证明EAGEAF （SAS） （2）结论：EF2BE2+DF2，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABH， （如图 2）证明过程跟（1） 类似，证得EAHEAF，把 EF 转化到 EH，然后利用 BNDM 证明四边形 BMDN 为平行四边形得 ABEFDM，得EBHABH+ABEADF+MDN90，由 EH2BE2+BH2得 EF2 BE2+DF2 （3）作ADF 的外接圆O，连接 EF、EC，过点 E 分别作 EMCD 于 M，ENBC 于 N（如图 3） 想 办法证明 EFFC，即可推出封门村吗，证明 ENCM 即可 【解析

20、】 （1）证明：如图 1 中，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABG， ADFABG， AFAG，DFBG，DAFBAG， 正方形 ABCD， DBADABE90，ABAD， ABGD90，即 G、B、C 在同一直线上， EAF45， DAF+BAE904545， EAGBAG+BAEDAF+BAE45， 即EAGEAF， EAGEAF（SAS） ， EGEF， BE+DFBE+BGEG， EFBE+DF （2）结论：EF2BE2+DF2， 理由：将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABH， （如图 2） ADFABH， AFAH，DFBH，DAFBAH，ADFABH， EAF45

21、， DAF+BAE904545， EAHBAH+BAEDAF+BAE45， 即EAHEAF， EAHEAF（SAS） ， EHEF， BNDM，BNDM， 四边形 BMDN 是平行四边形， ABEMDN， EBHABH+ABEADF+MDNADM90， EH2BE2+BH2， EF2BE2+DF2， （3）作ADF 的外接圆O，连接 EF、EC，过点 E 分别作 EMCD 于 M，ENBC 于 N（如图 3） ADF90， AF 为O 直径， BD 为正方形 ABCD 对角线， EDFEAF45， 点 E 在O 上， AEF90， AEF 为等腰直角三角形， AEEF， ABECBE（SAS）

22、 ， AECE， CEEF， EMCF，CF2， CMCF1， ENBC，NCM90， 四边形 CMEN 是矩形 ENCM1， EBN45， BEEN 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股 定理，圆周角定理，等腰三角形性质，其中（1） （2）里运用转化思想是解题关键，为半角模型的常规题 型第（3）问作为填空题可用特殊位置得到答案，证明过程关键条件是正方形对角线，利用两个 45 角联想到四点共圆，再利用圆周角定理得到AEF 为等腰直角三角形 【变式 4-1】 （2019灌南县二模）正方形 ABCD 的边长为 1，点 O 是 BC

23、边上的一个动点（与 B，C 不重合） ， 以 O 为顶点在 BC 所在直线的上方作MON90 （1）当 OM 经过点 A 时， 请直接填空：ON （可能，不可能）过 D 点： （图 1 仅供分析） 如图 2，在 ON 上截取 OEOA，过 E 点作 EF 垂直于直线 BC，垂足为点 F，作 EHCD 于 H，求证： 四边形 EFCH 为正方形； 如图 2，将中的已知与结论互换，即在 ON 上取点 E（E 点在正方形 ABCD 外部） ，过 E 点作 EF 垂 直于直线 BC，垂足为点 F，作 EHCD 于 H，若四边形 EFCH 为正方形，那么 OE 与 OA 是否相等？请 说明理由； （2）

24、当点 O 在射线 BC 上且 OM 不过点 A 时，设 OM 交边 BA 的延长线于 G，且 OG2在 ON 上存在 点 P，过 P 点作 PK 垂直于直线 BC，垂足为点 K，使得 SPKOSOBG，连接 GP，则当 BO 为何值时， 四边形 PKBG 的面积最大？最大面积为多少？ 【分析】 （1）若 ON 过点 D 时，则在OAD 中不满足勾股定理，可知不可能过 D 点； 由条件可先判断四边形 EFCH 为矩形，再证明OFEABO，可证得结论； 结论：OAOE如图 21 中，连接 EC，在 BA 上取一点 Q，使得 BQBO，连接 OQ证明AQO OCE（ASA）即可 （2）由条件可证明P

25、KOOBG，利用相似三角形的性质可求得 OP2，可求得POG 面积为定值 及PKO 和OBG 的关系，只要CGB 的面积有最大值时，则四边形 PKBG 的面积就最大，设 OBa， BGb，由勾股定理可用 b 表示出 a，则可用 a 表示出OBG 的面积，利用二次函数的性质可求得其最 大值，则可求得四边形 PKBG 面积的最大值 【解析】 （1）若 ON 过点 D，则 OAAB，ODCD， OA2AD2，OD2AD2， OA2+OD22AD2AD2， AOD90，这与MON90矛盾， ON 不可能过 D 点， 故答案为：不可能； 如图 2 中，EHCD，EFBC， EHCEFC90，且HCF90

26、， 四边形 EFCH 为矩形， MON90， EOF90AOB， 在正方形 ABCD 中，BAO90AOB， EOFBAO， 在OFE 和ABO 中， ， OFEABO（AAS） ， EFOB，OFAB， 又 OFCF+OCABBCBO+OCEF+OC， CFEF， 四边形 EFCH 为正方形； 结论：OAOE 理由：如图 21 中，连接 EC，在 BA 上取一点 Q，使得 BQBO，连接 OQ ABBC，BQBO， AQOC， QAOEOC，AQOECO135， AQOOCE（ASA） ， AOOE （2）如备用图， POKOGB，PKOOBG， PKOOBG， SPKOSOBG， （）2，

27、 OP1， SPOGOGOP121， 设 OBa，BGb，则 a2+b2OG24， b， SOBGaba， 当 a22 时，OBG 有最大值 1，此时 SPKOSOBG， 四边形 PKBG 的最大面积为 1+1 当 BO 为时，四边形 PKBG 的面积最大，最大面积为 【达标检测】【达标检测】 1 （2019无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A内角和为 360 B对角线互相平分 C对角线相等 D对角线互相垂直 【解析】矩形和菱形的内角和都为 360，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分， 矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等， 故选：C 2 （2019连

28、云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中C120若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ） A18m2 B18m2 C24m2 Dm2 【解析】如图，过点 C 作 CEAB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形，CDAEx，DCECEB90， 则BCEBCDDCE30，BC12x， 在 RtCBE 中，CEB90， BEBC6x， ADCEBE6x，ABAE+BEx+6xx+6， 梯形 ABCD 面积 S（CD+AB） CE（xx+6） （6x）x2+3x+18（x 4）2+24， 当 x4 时，S最大24 即 CD 长为 4m

29、 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24m2； 故选：C 3 （2019苏州）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AC4，BD16，将ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移，得到ABO当点 A与点 C 重合时，点 A 与点 B之间的距离为（ ） A6 B8 C10 D12 【解析】四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOOCAC2，OBODBD8， ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移，得到ABO，点 A与点 C 重合， OCOA2，OBOB8，COB90， AOAC+OC6， AB10； 故选：C 4 （2019淮安）若一个多边形的内角和是 540，则该多边形

30、的边数是 【解析】设这个多边形的边数是 n， 则（n2） 180540， 解得 n5， 故答案为：5 5 （2019南通）如图，ABCD 中，DAB60，AB6，BC2，P 为边 CD 上的一动点，则 PBPD 的最小值等于 3 【解析】如图，过点 P 作 PEAD，交 AD 的延长线于点 E， ABCD EDPDAB60， sinEDP EPPD PBPDPB+PE 当点 B，点 P，点 E 三点共线且 BEAD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为 BE， sinA BE3 故答案为 3 6 （2019徐州）如图，A、B、C、D 为一个外角为 40的正多边形的顶点若 O 为正多边形的中心，

31、则 OAD 【解析】连接 OB、OC， 多边形的每个外角相等，且其和为 360， 据此可得多边形的边数为：， AOB， AOD403120 OAD 故答案为：30 7 （2019徐州）如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，M、N 分别为 BC、OC 的中点若 MN4，则 AC 的长为 【解析】M、N 分别为 BC、OC 的中点， BO2MN8 四边形 ABCD 是矩形， ACBD2BO16 故答案为 16 8 （2019常州）如图，在矩形 ABCD 中，AD3AB3，点 P 是 AD 的中点，点 E 在 BC 上，CE2BE， 点 M、N 在线段 BD 上若PMN 是等腰三角形且底

32、角与DEC 相等，则 MN 【解析】分两种情况： MN 为等腰PMN 的底边时，作 PFMN 于 F，如图 1 所示： 则PFMPFN90， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，BCAD3AB3，AC90， ABCD，BD10， 点 P 是 AD 的中点， PDAD， PDFBDA， PDFBDA， ，即， 解得：PF， CE2BE， BCAD3BE， BECD， CE2CD， PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等，PFMN， MFNF，PNFDEC， PFNC90， PNFDEC， 2， MFNF2PF3， MN2NF6； MN 为等腰PMN 的腰时，作 PFBD 于 F，如图 2 所

33、示： 由得：PF，MF3， 设 MNPNx，则 FN3x， 在 RtPNF 中， （ ）2+（3x）2x2， 解得：x，即 MN； 综上所述，MN 的长为 6 或； 故答案为：6 或 9 （2019无锡）如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，D 为边 AB 上一动点（B 点除外） ，以 CD 为 一边作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE 面积的最大值为 【解析】过点 C 作 CGBA 于点 G，作 EHAB 于点 H，作 AMBC 于点 M ABAC5，BC4， BMCM2， 易证AMBCGB， ， 即 GB8， 设 BDx，则 DG8x， 易证EDHDCG（AAS） ， EHDG8x，

34、 SBDE， 当 x4 时，BDE 面积的最大值为 8 故答案为 8 10 （2019扬州）如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF，M、N 分别是 DC、DF 的中点，连接 MN若 AB7，BE5，则 MN 【解析】连接 CF， 正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，AB7，BE5， GFGB5，BC7， GCGB+BC5+712， 13 M、N 分别是 DC、DF 的中点， MN 故答案为： 11 （2019淮安）已知：如图，在ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点求证：BEDF 【解答】

35、证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， 点 E、F 分别是ABCD 边 AD、BC 的中点， DEAD，BFBC， DEBF， 四边形 BFDE 是平行四边形， BEDF 12 （2019宿迁）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC2，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 BEDF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）求线段 EF 的长 【解答】 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB4，BC2， CDAB4，ADBC2，CDAB，DB90， BEDF， CFAE4， AFCE， AFCFCEAE， 四边形 AECF 是菱形； （2）解：过 F 作 FHAB

36、于 H， 则四边形 AHFD 是矩形， AHDF，FHAD2， EH1， EF 13 （2019扬州）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分DAB，已知 CE6，BE8，DE10 （1）求证：BEC90； （2）求 cosDAE 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB，ADBC，DCAB， DEAEAB， AE 平分DAB， DAEEAB， DAEDEA ADDE10， BC10，ABCDDE+CE16， CE2+BE262+82100BC2， BCE 是直角三角形，BEC90； （2）解：ABCD， ABEBEC90， AE8， cosDAEcosEAB 14

37、 （2019连云港）如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O （1）求证：OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 【解答】 （1）证明：ABAC， BACB， ABC 平移得到DEF， ABDE， BDEC， ACBDEC， OEOC， 即OEC 为等腰三角形； （2）解：当 E 为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形， 理由是：ABAC，E 为 BC 的中点， AEBC，BEEC， ABC 平移得到DEF， BEAD，BEAD

38、， ADEC，ADEC， 四边形 AECD 是平行四边形， AEBC， 四边形 AECD 是矩形 15 （2019泰州）如图，线段 AB8，射线 BGAB，P 为射线 BG 上一点，以 AP 为边作正方形 APCD， 且点 C、D 与点 B 在 AP 两侧，在线段 DP 上取一点 E，使EAPBAP，直线 CE 与线段 AB 相交于点 F（点 F 与点 A、B 不重合） （1）求证：AEPCEP； （2）判断 CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）求AEF 的周长 【解析】 （1）证明：四边形 APCD 正方形， DP 平分APC，PCPA， APDCPD45， AEPCEP（SAS

39、） ； （2）CFAB，理由如下： AEPCEP， EAPECP， EAPBAP， BAPFCP， FCP+CMP90，AMFCMP， AMF+PAB90， AFM90， CFAB； （3）过点 C 作 CNPB CFAB，BGAB， FCBN， CPNPCFEAPPAB， 又 APCP， PCNAPB（AAS） ， CNPBBF，PNAB， AEPCEP， AECE， AE+EF+AF CE+EF+AF BN+AF PN+PB+AF AB+CN+AF AB+BF+AF 2AB 16 16 （2019连云港）问题情境：如图 1，在正方形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点（不与点 B、C 重

40、合） ，垂直 于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N判断线段 DN、MB、EC 之间的数量关系， 并说明理由 问题探究：在“问题情境”的基础上 （1） 如图 2， 若垂足 P 恰好为 AE 的中点， 连接 BD， 交 MN 于点 Q， 连接 EQ， 并延长交边 AD 于点 F 求 AEF 的度数； （2）如图 3，当垂足 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时，连接 AN，将APN 沿着 AN 翻折，点 P 落 在点 P处，若正方形 ABCD 的边长为 4，AD 的中点为 S，求 PS 的最小值 问题拓展：如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点

41、 M、N 分别为边 AB、CD 上的点，将正方形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 BC恰好经过点 A，CN 交 AD 于点 F分别过点 A、F 作 AGMN， FHMN，垂足分别为 G、H若 AG，请直接写出 FH 的长 【解答】问题情境： 解：线段 DN、MB、EC 之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， ABEBCD90，ABBCCD，ABCD， 过点 B 作 BFMN 分别交 AE、CD 于点 G、F，如图 1 所示： 四边形 MBFN 为平行四边形， NFMB， BFAE， BGE90， CBF+AEB90， BAE+AEB90，

42、CBFBAE， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF（ASA） ， BECF， DN+NF+CFBE+EC， DN+MBEC； 问题探究： 解： （1）连接 AQ，过点 Q 作 HIAB，分别交 AD、BC 于点 H、I，如图 2 所示： 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABIH 为矩形， HIAD，HIBC，HIABAD， BD 是正方形 ABCD 的对角线， BDA45， DHQ 是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI， MN 是 AE 的垂直平分线， AQQE， 在 RtAHQ 和 RtQIE 中， RtAHQRtQIE（HL） ， AQHQEI， AQH+EQI90， AQE90

43、， AQE 是等腰直角三角形， EAQAEQ45，即AEF45； （2）连接 AC 交 BD 于点 O，如图 3 所示： 则APN 的直角顶点 P 在 OB 上运动， 设点 P 与点 B 重合时，则点 P与点 D 重合；设点 P 与点 O 重合时，则点 P的落点为 O， AOOD，AOD90， ODAADO45， 当点 P 在线段 BO 上运动时，过点 P 作 PGCD 于点 G，过点 P作 PHCD 交 CD 延长线于点 H， 连接 PC， 点 P 在 BD 上， APPC， 在APB 和CPB 中， APBCPB（SSS） ， BAPBCP， BCDMPA90， PCNAMP， ABCD， AMPPNC， PCNPNC， PCPN， APPN， PNA45， PNP90， PNH+PNG90， PNH+NPH90，PNG+NPG90， NPGPNH，PNGNPH， 由翻折性质得：PNPN， 在PGN 和NHP中， PGNNHP（ASA） ， PGNH，GNPH， BD 是正方形 ABCD 的对角线， PDG45， 易得 PGGD， GNDH， DHPH，