专题10三角形的综合问题（原卷版）（苏科版）.doc

1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 10 三角形的综合问题 【方法指导】【方法指导】 1.全等三角形解决问题的常见技巧： （1）全等三角形的判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形） （2）作辅助线构造全等三角形 把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律 证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明 2.等腰三角形解题技巧： （1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

2、重要手段 （2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中 线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决 问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析 3.等边三角形常用方法与思路： （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质 为证明线段、角相等提供了便利条件同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质， 解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用 （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30

3、角的直 角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等 （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般 三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个 60 的角判定 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】三角形有关角的综合计算】三角形有关角的综合计算 【例 1】 （2019泉山区模拟）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合） （1）如图 1，若90MON，OBA、OAB的平分线交于点C，则ACB ； （2）如图 2，若MONn ，OBA、OAB的平分线交于点

4、C，求ACB的度数； （3）如图 2，若MONn ，AOB的外角ABN、BAM的平分线交于点D，求ACB与ADB之间 的数量关系，并求出ADB的度数； （4）如图 3，若80MON，BC是ABN的平分线，BC的反向延长线与OAB的平分线交于点E试 问：随着点A、B的运动，E的大小会变吗？如果不会，求E的度数；如果会，请说明理由 【变式 1-1】 （2019沭阳县模拟）探究与发现： 如图 1 所示的图形，像我们常见的学习用品 圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图” ，那么在这一个 简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图” ，试探究BD

5、C与A、B、C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： 如图 2，把一块三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若 50A，则ABXACX 40 ； 如图 3，DC平分ADB，EC平分AEB，若50DAE，130DBE，求DCE的度数； 如图 4，ABD，ACD的 10 等分线相交于点 1 G、 2 G 、 9 G，若140BDC， 1 77BGC，求A 的度数 【变式 1-2】 （2019 春海安市期末）如图，已知BE是ABC的角平分线，CP是ABC的外角ACD的平 分线延长BE，BA分别交CP于点F，P （1）求证： 1

6、2 BFCBAC； （2）小智同学探究后提出等式：BACABCP 请通过推理演算判断“小智发现”是否正确？ （3）若2180BECP，求ACB的度数 【变式 1-3】 （2019 春高淳区校级模拟）ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作ODOB，交 边AB于点D （1）如图 1， 若40ABC，则AOC ，ADO ； 猜想AOC与ADO的关系，并说明你的理由； （2） 如图 2， 作ABC外角ABE的平分线交CO的延长线于点F 若105AOC，32F， 则AOD _ 【类型【类型 2 2】全等三角形的判定与性质】全等三角形的判定与性质 【例 2】（2019如皋市一模） 如图，A、B、C是

7、直线l上的三个点，DABDBEECBa ， 且B D B E （1）求证：ACADCE； （2）若120a ，点F在直线l的上方，BEF为等边三角形，补全图形，请判断ACF的形状，并说明理 由 【变式 2-1】 （2019碑林区校级模拟） 如图，四边形ABCD中，/ /ADBC，90A，CEBD，垂足为E， BEDA （1）求证：ABDECB ； （2）若45DBC，1BE ，求DE的长（结果精确到 0.01，参考数值：21.414，31.732) 【变式 2-2】 （2019灌南县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，/ /ADBC，ADBC，点F是AB的中 点，点E是BC边上的点，DEADB

8、E，DEF的周长为l （1）求证：DF平分ADE； （2）若FDFC，2AB ，3AD ，求l的值 【类型【类型 3 3】等腰三角形的有关计算与证明】等腰三角形的有关计算与证明 【例 3】 （2018 秋灌云县期末）如图，已知D是ABC的边BC上的一点，CDAB， （1）若BDABAD，60B，求C的大小； （2）若AE既是ABD的高又是角平分线，54B，求C的大小 【变式 3-1】 （2018 秋泗阳县期末） 已知， 在ABC中， 点D在BC上， 点E在BC的延长线上， 且BDBA， CECA （1）如图 1，若90BAC，45B，试求DAE的度数； （2）若90BAC，60B，则DAE的度

9、数为 （直接写出结果） ； （3）如图 2，若90BAC，其余条件不变，探究DAE与BAC之间有怎样的数量关系？ 【变式 3-2】 （2018 秋秦淮区期末）如图，在ABC中，ABAD，CBCE （1）当90ABC时（如图)，EBD ； （2）当(90)ABCn n 时（如图)，求EBD的度数（用含n的式子表示） 【类型【类型 4 4】等边三角形的有关计算与证明】等边三角形的有关计算与证明 【例 4】 （2019 春鼓楼区校级模拟）已知，ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延 长线上一点，且BDDE （1）如图 1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；

10、 （2）如图 2，若点D在AC的延长线上， （1）中的结论是否成立，请说明理由 【变式 4-1】（2018 秋泰兴市月考） 如图，ABC是等边三角形，BD是中线， 延长BC至点E， 使C E C D 取 BE中点F，连接DF （1）求证：BDDE； （2）延长ED交边AB于点G，试说明：DGDF 【变式 4-2】 （2019淮阴区模拟） 如图，ABC中，90ACB， 以AC为边在ABC外作等边三角形ACD， 过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE （1）说明：AECEBE； （2）若15ABcm，P是直线DE上的一点则当P在何处时，PBPC最小，并求出此时PBPC的值 【类型

11、【类型 5 5】直角三角形的综合问题】直角三角形的综合问题 【例 5】 （2019 溧水校级模拟）已知ABC中，90A，ABAC，D为BC的中点 （1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BEAF求证：DEF为等腰直角三角形； （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么DEF是否仍为等腰 直角三角形？证明你的结论 【变式 5-1】 （2018 秋常熟市期末）如图，在Rt ABC中，90ACB，ACBC点D是边AC上一点， DEAB，垂足为E点F是BD的中点，连接CF，EF （1）求证：CFEF； （2）判断CF与EF的位置关系，并说明理由； （3）若30D

12、BE，连接AF，求AFE的度数 【变式 5-2】 （2019江都区校级模拟）如图所示，已知ABC是等腰直角三角形，90ABC，10AB ， D为ABC外的一点，连结AD、BD，过D作DHAB，垂足为H，DH的延长线交AC于E （1）如图 1，若BDAB，且 3 4 HB HD ，求AD的长； （2）如图 2，若ABD是等边三角形，求DE的长 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 4 小题）小题） 1 （2019徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A2，2，4 B5，6，12 C5，7，2 D6，8，10 2（2019扬州） 已知 n 是正整数， 若一个三角形的 3

13、边长分别是 n+2、 n+8、 3n， 则满足条件的 n 的值有 （ ） A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 3 （2019盐城）如图，点 D、E 分别是ABC 边 BA、BC 的中点，AC3，则 DE 的长为（ ） A2 B C3 D 4 （2018南通）如图，RtABC 中，ACB90，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，按下列步骤作图： 步骤 1：分别以点 C 和点 D 为圆心，大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； 步骤 2：作直线 MN，分别交 AC，BC 于点 E，F； 步骤 3：连接 DE，DF 若 AC4，BC2，则线段 DE 的长为（ ） A B C D

14、 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 5 （2019南通）如图，ABC 中，ABBC，ABC90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE CF，若BAE25，则ACF 度 6 （2019苏州）如图，扇形 OAB 中，AOB90P 为弧 AB 上的一点，过点 P 作 PCOA，垂足为 C， PC 与 AB 交于点 D若 PD2，CD1，则该扇形的半径长为 7 （2019南京）在ABC 中，AB4，C60，AB，则 BC 的长的取值范围是 8 （2019南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露 在杯子外面的部分至少有 cm

15、 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 9 （2019南通）如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过 池塘可以直接到达点 A 和 B 连接 AC 并延长到点 D， 使 CDCA 连接 BC 并延长到点 E， 使 CECB 连 接 DE，那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离为什么？ 10 （2019镇江）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，点 E、F 分别在 AD、BC 上，AECF，过点 A、C 分 别作 EF 的垂线，垂足为 G、H （1）求证：AGECHF； （2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由 11

16、（2019无锡）如图，在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别在 AB、AC 上，BDCE，BE、CD 相交于点 O （1）求证：DBCECB； （2）求证：OBOC 12.（2018无锡）如图，在ABC 中，ACB90，ACm，BCn，mn，点 P 是边 AB 上一点，连结 CP，将ACP 沿 CP 翻折得到QCP （1）若 m4，n3，且 PQAB，求 BP 的长； （2）连结 BQ，若四边形 BCPQ 是平行四边形，求 m 与 n 之间的关系式 13 （2018徐州）如图，将等腰直角三角形纸片 ABC 对折，折痕为 CD展平后，再将点 B 折叠在边 AC 上（不与 A、C 重合） ，折痕

17、为 EF，点 B 在 AC 上的对应点为 M，设 CD 与 EM 交于点 P，连接 PF已 知 BC4 （1）若 M 为 AC 的中点，求 CF 的长； （2）随着点 M 在边 AC 上取不同的位置， PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； 求PFM 的周长的取值范围 14 （2019扬州）如图，平面内的两条直线 l1、l2，点 A，B 在直线 l1上，点 C、D 在直线 l2上，过 A、B 两点分别作直线 l2的垂线，垂足分別为 A1，B1，我们把线段 A1B1叫做线段 AB 在直线 l2上的正投影，其 长度可记作 T（AB，CD）或 T，特别地线段 AC 在直线 l2上的正投影就是线段 A1C 请依据上述定义解决如下问题： （1）如图 1，在锐角ABC 中，AB5，T（AC，AB）3，则 T（BC，AB） ； （2）如图 2，在 RtABC 中，ACB90，T（AC，AB）4，T（BC，AB）9，求ABC 的面积； （3）如图 3，在钝角ABC 中，A60，点 D 在 AB 边上，ACD90，T（AD，AC）2，T（BC，AB） 6，求 T（BC，CD），