专题06一次函数的图象性质问题(解析版)(苏科版).doc
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1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 06 一次函数的图象性质问题 【方法指导】【方法指导】 一次函数的具体知识点有: 1.一次函数 的相关概 念 (1)概念:一般来说,形如 ykxb(k0)的函数叫做一次函数特别地,当 b 0 时,称为正比例函数 (2)图象形状:一次函数 ykxb 是一条经过点(0,b)和(-b/k,0)的直线. 特别地,正比例函数 ykx 的图象是一条恒经过点(0,0)的直线. 2.一次函数 的性质 k ,b 符号 k0, b0 K0, b0 K0, b=0 k0 k0, b0 k0, b0 大致 图象 经 过
2、 象限 一、 二、 三 一、三、 四 一、三 一、二、 四 二、三、 四 二、四 图 象 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 3.一次函数 与坐标轴 交点坐标 (1)交点坐标:求一次函数与 x 轴的交点,只需令 y=0,解出 x 即可;求与 y 轴的 交点,只需令 x=0,求出y 即可.故一次函数 ykxb(k0)的图象与 x 轴的交点 是 b k,0 ,与 y 轴的交点是(0,b); (2)正比例函数 ykx(k0)的图象恒过点(0,0) 4.确定一次 函数表达 式的条件 (1)常用方法:待定系数法,其一般步骤为: 设:设函数表达式为 ykxb(k0); 代:将已知点的
3、坐标代入函数表达式,解方程或方程组; 解:求出 k 与 b 的值,得到函数表达式 (2)常见类型: 已知两点确定表达式;已知两对函数对应值确定表达式; 平移转化型:如已知函数是由 y=2x 平移所得到的,且经过点(0,1) ,则可 设要求函数的解析式为 y=2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可. 5.一次函数 图象的平 移 规律:一次函数图象平移前后 k 不变,或两条直线可以通过平移得到,则可知 它们的 k 值相同. 若向上平移 h 单位,则 b 值增大 h;若向下平移 h 单位,则 b 值减小 h. 6.一次函数 与方程 一元一次方程 kx+b=0 的根就是一次函数 y=kx+b(k、b
4、 是常数,k0)的图象 与 x 轴交点的横坐标. 7.一次函数 与方程组 二元一次方程组 11 12 yk xb yk xb 的解两个一次函数 y=k1x+b1 和 y=k2x+b2图象 的交点坐标. 8.一次函数 与不等式 (1)函数 y=kx+b 的函数值 y0 时,自变量 x 的取值范围就是不等式 kx+b0 的解集 (2)函数 y=kx+b 的函数值 y0 时,自变量 x 的取值范围就是不等式 kx+b0 的解集 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】一次函数的性质和性质的应用一次函数的性质和性质的应用 【例 1】 (2019 春如皋模拟)已知函数 y(2m+1)x+m3 (
5、1)若这个函数的图象经过原点,求 m 的值 (2)若这个函数的图象不经过第二象限,求 m 的取值范围 【分析】 (1)将原点坐标(0,0)代入解析式即可得到 m 的值; (2) 分两种情况讨论: 当 2m+10, 即 m,函数解析式为: y,图象不经过第二象限; 当 2m+1 0,即 m,并且 m30,即 m3;综合两种情况即可得到 m 的取值范围 【解析】 (1)将原点坐标(0,0)代入解析式,得 m30,即 m3, 所求的 m 的值为 3; (2)当 2m+10,即 m,函数解析式为:y,图象不经过第二象限; 当 2m+10,即 m,并且 m30,即 m3,所以有m3; 所以 m 的取值范
6、围为m3 【方法小结】本题考查了一次函数 ykx+b(k0,k,b 为常数)的性质它的图象为一条直线,当 k 0,图象经过第一,三象限,y 随 x 的增大而增大;当 k0,图象经过第二,四象限,y 随 x 的增大而 减小;当 b0,图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方;当 b0,图象过坐标原点;当 b0,图象与 y 轴的交 点在 x 轴的下方同时考查了分类讨论的思想在函数中的运用 【变式 1-1】 (2019玄武区校级模拟) 已知一次函数 ykx+b, 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小, 且 kb0, 则函数 ykx+b 的图象大致是( ) 【分析】 根据 一次函数的性质得到 k0,而
7、kb0,则 b0,所以一次函数 ykx+b 的图象经过第二、四象限,与 y 轴的交点在 x 轴上方 【解析】一次函数 ykx+b,y 随着 x 的增大而减小, k0, 一次函数 ykx+b 的图象经过第二、四象限; kb0, b0, 图象与 y 轴的交点在 x 轴上方, 一次函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限 故选:A 【方法小结】本题考查了一次函数的图象:一次函数 ykx+b(k、b 为常数,k0)是一条直线,当 k 0,图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大;当 k0,图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而 减小;图象与 y 轴的交点坐标为(0,b) 【变式 1-2】
8、 (2019常州校级模拟)已知一次函数 ykx+b,函数值 y 随自变量 x 的增大而减小,且 kb0, 则函数 ykx+b 的图象大致是( ) 【分析】根据一次函数的性质得到 k0,而 kb0,则 b0,所以一次函数 ykx+b 的图象经过第二、 四象限,与 y 轴的交点在 x 轴上方 【解析】一次函数 ykx+b,y 随着 x 的增大而减小, k0, 一次函数 ykx+b 的图象经过第二、四象限; kb0, b0, 图象与 y 轴的交点在 x 轴上方, 一次函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限 故选:C 【变式 1-3】 (2019邳州市模拟)已知函数 y(2m+1)x+m3 (1
9、)若函数图象经过原点,求 m 的值; (2)若函数的图象平行直线 y3x3,求 m 的值; (3)若这个函数是一次函数,且 y 随着 x 的增大而减小,求 m 的取值范围 【分析】 (1)令 x0,y0 求出值即可; (2)根据互相平行的两条直线斜率相等求出 m 的值即可; (3)根据一次函数的性质求出 m 的取值范围 【解析】 (1)函数 y(2m+1)x+m3 的图象经过原点, 当 x0 时 y0,即 m30,解得 m3; (2)函数 y(2m+1)x+m3 的图象与直线 y3x3 平行, 2m+13,解得 m1; (3)这个函数是一次函数,且 y 随着 x 的增大而减小, 2m+10,解
10、得 m 【方法小结】本题考查的是一次函数的性质,熟知一次函数 ykx+b(k0)中,当 k0 时 y 随 x 的增 大而减小是解答此题的关键 【类型【类型 2 2】 :一次函数与方程不等式】 :一次函数与方程不等式 【例2】(2019春崇川区校级模拟) 已知直线y3x+b与直线ykx+1在同一坐标系中交于点, 则关于 x 的方程3x+bkx+1 的解为 x 【分析】根据两个一次函数组成的方程的解就是两函数图象的交点可得答案 【解析】直线 y3x+b 与直线 ykx+1 在同一坐标系中交于点, 关于 x 的方程3x+bkx+1 的解为 x3, 故答案为:3 【方法小结】此题主要考查了一次函数与一
11、元一次方程的关系,关键是掌握凡是函数图象经过的点必能 满足解析式 【变式 2-1】(2019 春京口区校级模拟) 已知一次函数 ykx+b 与 ymx+n 的图象如图所示, 若 kx+bmx+n, 则 x 的取值范围为 x3 【分析】kx+bmx+n 表示在 x 轴的上方,且 ymx+n 的图象在 ykx+b 的图象的上边部分自变量的取值 范围,根据图象即可直接求解 【解析】kx+bmx+n,则 x 的取值范围是:x3 故答案是:x3 【方法小结】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系,根据图象观察,得出结论认真体会一次 函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系 【变式 2-2】 (
12、2018 秋垣曲县期末)如图,已知直线 yax+b 和直线 ykx 交于点 P(4,2) ,则关于 x, y 的二元一次方程组的解是 【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案 【解析】直线 yax+b 和直线 ykx 交点 P 的坐标为(4,2) , 关于 x,y 的二元一次方程组组的解为 故答案为 【类型【类型 3 3】 :一次函数图象上点的坐标特征一次函数图象上点的坐标特征 【例 3】 (2019 春海陵区校级期末)如图,直线 y13x+4 交 x 轴、y 轴于点 A、C,直线 y2x+4 交 x 轴、 y 轴于点 B、C,点 P(m,2)是ABC 内部(包括
13、边上)的一点,则 m 的最大值与最小值之差为( ) A B6 C D 【分析】由于 P 的纵坐标为 2,故点 P 在直线 y2 上,要求符合题意的 m 值,则 P 点为直线 y2 与题 目中两直线的交点,此时 m 存在最大值与最小值,故可求得 【解答】解点 P(m,2)是ABC 内部(包括边上)的一点, 故点 P 在直线 y2 上,如图所示, 观察图象得:当 P 为直线 y2 与直线 y2的交点时,m 取最大值; 当 P 为直线 y2 与直线 y1的交点时,m 取最小值; y2x+4 中令 y2,则 x6, y13x+4 中令 y2,则 x, m 的最大值为 6,m 的最小值为 则 m 的最大
14、值与最小值之差为:6() 故选:D 【方法小结】本题考查一次函数的性质,要求符合题意的 m 值,关键要理解当 P 在何处时 m 存在最大值 与最小值,由于 P 的纵坐标为 2,故作出直线 y2 有助于判断 P 的位置 【变式 3-1】 (2019无锡二模)在平面直角坐标系中,已知 A、B、C、D 四点的坐标依次为(0,0) 、 (6,0) , (8,6) , (2,6) ,若一次函数 ymx8m+6 的图象将四边形 ABCD 的面积分成 1:3 两部分,则 m 的 值为( ) A B 或 C 或 D 或 1 【分析】由已知点可以判断四边形 ABCD 是平行四边形,再由将四边形 ABCD 的面积
15、分成 1:3 两部分, 可知分割两部分分别是四边形和三角形,进而可知分成的三角形面积为 9,当 ymx8m+6 与 AB 相交 时,一次函数经过点(3,0) ;当 ymx8m+6 与 AD 相交时,一次函数经过点(1,3) 【解析】A、B、C、D 四点的坐标依次为(0,0) 、 (6,0) , (8,6) , (2,6) , ABCD6,ABCD, 四边形 ABCD 是平行四边形, 四边形 ABCD 的面积是 36, 将四边形 ABCD 的面积分成 1:3 两部分, 分成的三角形面积为 9, 当 ymx8m+6 与 AB 相交时, 一次函数经过点(3,0) , m; 当 ymx8m+6 与 A
16、D 相交时, 直线 AD 的解析式为 y3x, 一次函数的纵坐标是 3, 一次函数经过点(1,3) , m; 故选:B 【方法小结】本题考查一次函数图象上点的特征,平行四边形的性质;能够判断四边形 ABCD 是平行四 边形,一次函数 ymx8m+6 分的两部分图形分别是四边形和三角形是解题的关键 【变式 3-2】 (2019 春海州区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y2x5 的图象经过正方 形 OABC 的顶点 A 和 C,则正方形 OABC 的面积为( ) A9 B10 C12 D13 【分析】过点 C 作 CMx 轴于点 M,过点 A 做 ANy 轴于点 N,易得OCMOAN
17、;由 CMON, OMON;设点 C 坐标(a,b) ,可求得 A(2a5,a) ,则 a3,可求 OC,所以正方形面积 是 10 【解析】过点 C 作 CMx 轴于点 M,过点 A 做 ANy 轴于点 N, COM+MOAMOA+NOA90, NOACOM, 又因为 OAOC, RtOCMRtOAN(ASA) , OMON,CMAN, 设点 C (a,b) , 点 A 在函数 y2x5 的图象上, b2a5, CMAN2a5,OMONa, A(2a5,a) , a2(2a5)5, a3, A(1,3) , 在直角三角形 OCM 中,由勾股定理可求得 OA 正方形 OABC 的面积是 10,
18、故选:B 【类型【类型 4 4】 :】 :一次函数的几何变换问题一次函数的几何变换问题 【例 4】 (2019 春如皋市期中)直线 y3x+2 沿 y 轴向下平移 6 个单位,则平移后直线解析式为 【分析】由平移的规律可直接求得答案 【解析】直线 y3x+2 沿 y 轴向下平移 6 个单位长度后的函数解析式是 y3x+263x4, 故答案为:y3x4 【变式 4-1】 (2019鼓楼区二模)在平面直角坐标系中,将函数 y2x3 的图象先向右平移 2 个单位长度, 再沿 y 轴翻折,所得函数对应的表达式为 【分析】利用平移规律得出平移后关系式,再利用关于 y 轴对称的性质得出答案 【解析】将函数
19、 y2x3 的图象先向右平移 2 个单位长度,所得的函数是 y2(x2)3,即 y2x 7 将该函数的图象沿 y 轴翻折后所得的函数关系式 y2(x)7,即 y2x7 故答案为 y2x7 【变式 4-2】 (2018 秋邗江区校级期末)若直线 L1经过点(0,4) ,L2经过点(3,2) ,且 L1与 L2关于 x 轴对称,则 L1与 L2的交点坐标为 【分析】根据对称的性质得出两个点关于 x 轴对称的对称点,再根据待定系数法确定函数关系式,求出 一次函数与 x 轴的交点即可 【解析】直线 L1经过点(0,4) ,L2经过点(3,2) ,且 L1与 L2关于 x 轴对称, 两直线相交于 x 轴
20、上, 直线 L1经过点(0,4) ,L2经过点(3,2) ,且 l1与 l2关于 x 轴对称, 直线 L1经过点(3,2) ,L2经过点(0,4) , 把(0,4)和(3,2)代入直线 L1经过的解析式 ykx+b, 则, 解得:, 故直线 L1经过的解析式为:y2x+4, 可得 L1与 L2的交点坐标 L1与 L2与 x 轴的交点,解得:x2, 即 L1与 L2的交点坐标为(2,0) 故答案为(2,0) 【方法小结】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质,正确得出 l1与 l2的 交点坐标为 l1与 l2与 x 轴的交点是解题关键 【变式 43】 (2019 春常州期中
21、)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形 OABC 的边 OC 落在 x 轴的正 半轴上,且点 B(6,2) ,C(4,0) ,直线 y2x+1 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移,经过 6 秒该直线可将平行四边形 OABC 分成面积相等的两部分 【分析】首先连接 AC、BO,交于点 D,当 y2x+1 经过 D 点时,该直线可将OABC 的面积平分,然后 计算出过 D 且平行直线 y2x+1 的直线解析式,从而可得直线 y2x+1 要向下平移 6 个单位,进而可得 答案 【解析】连接 AC、BO,交于点 D,当 y2x+1 经过 D 点时,该直线可将OABC 的面积平分; 四边形
22、AOCB 是平行四边形, BDOD, B(6,2) ,点 C(4,0) , D(3,1) , 设 DE 的解析式为 ykx+b, 平行于 y2x+1, k2, 过 D(3,1) , DE 的解析式为 y2x5, 直线 y2x+1 要向下平移 6 个单位, 时间为 6 秒, 故答案为:6 【方法小结】此题主要考查了平行四边形的性质,以及一次函数,关键是正确掌握经过平行四边形对角 线交点的直线平分平行四边形的面积 【类型【类型 5 5】 :】 :一次函数的几何综合性问题一次函数的几何综合性问题 【例 5】 (2018 秋张家港市期末)如图,一次函数 yx+7 的图象与正比例函数 yx 的图象交于点
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