专题01数与式问题 (解析版)(苏科版).doc
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1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案(苏科版)(苏科版) 专题专题 0101 数与式问题数与式问题 【方法指导】【方法指导】 1.实数运算: (1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又 可以进行开方运算,其中正实数可以开平方 (2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加 减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行 (3)实数大小比较:任意两个实数都可以比较大小正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切 负实数,两个负实数绝对值大的
2、反而小利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两 个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小 2.整式的化简求值: 先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值有乘方、乘除的混合运算中, 要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似 常涉及到整体思想和乘法公式的灵活应用 3.因式分解 (1)因式分解的方法:提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等 (2)实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围(可用无理数的形式来表示) ,一些式子在有 理数的范围内无法分解因式,可是在实数范围内就可以继续分解因式 (3)因式分解是研究代数式
3、的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具 体做法是:根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入 4.分式的化简求值问题: 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果 要化成最简分式或整式分式化简求值时需注意的问题 (1)化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤, 代入求值的模式一般为“当时,原式=” (2) 代入求值时, 有直接代入法, 整体代入法等常用方法 解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法 当 未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原
4、式中的各分式都有意义,且除数不能为 0 5.二次根式的计算: (1)在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“,多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“ (2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式 (3)在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往 往能事半功倍 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】实数综合计算】实数综合计算 【例 1】 (2019苏州)计算: ()2+|2|(2)0 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案 【解析】原式3+214 方法小结:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型解
5、决此类题目的关键是熟 记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 【变式 1-1】 (2019宿迁)计算: ( ) 1(1)0+|1 | 【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案 【解析】原式211 【变式 1-2】 (2019连云港)计算(1)2( ) 1 【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解 【解析】原式2+2+33 方法小结:本题考查了实数的运算法则,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及 负整数指数幂 【变式 1-3】 (2019盐城)计算:|2|+(sin36)0
6、tan45 【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算,然后根据实数的运算法 则求得计算结果, 【解析】原式2+12+12 【类型【类型 2 2】 :】 :整式的化简求值整式的化简求值 【例 2】 (2019南京)计算(x+y) (x2xy+y2) 【分析】根据多项式乘以多项式的法则,可表示为(a+b) (m+n)am+an+bm+bn,计算即可 【解析】 (x+y) (x2xy+y2) , x3x2y+xy2+x2yxy2+y3, x3+y3 故答案为:x3+y3 方法小结:本题主要考查多项式乘以多项式的法则注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项 【变式 2-1
7、】 (2019建湖县二模)先化简,再求值: (x3)2+2(x2) (x+7)(x+2) (x2) ,其中 x2+2x 30 【分析】原式利用完全平方公式,平方差公式,以及多项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简 结果,求出方程的解得到 x 的值,代入计算即可求出值 【解析】原式x26x+9+2x2+10x28x2+42x2+4x15, 由 x2+2x30,得到 x2+2x3, 则原式2(x2+2x)156159 【变式 2-2】 (2019宜兴市二模) (1)计算: (3)0() 2tan30 (2)化简: (2ab)2(ab) (4ab) 【分析】 (1)根据零指数幂,负整数指数幂,特
8、殊角的三角函数值进行计算,再求出即可; (2)先算乘法,再合并同类项即可 【解析】 (1)原式14 3; (2)原式4a24ab+b24a2+ab+4abb2 ab 【变式 2-3】 (2019江都区一模) (1)计算:2cos45+|1|(2019)0 (2)化简: (2+a) (2a)+a(a1) 【分析】 (1)先算三角函数值,去绝对值,根式化简和零指数,然后分数约分和去括号,最后合并同类 二次根式 (2)是整式加减乘除混合运算,平方差公式,再单项式多项式,最后合并同类项 【解析】 (1)原式2(1)21 121 0 (2)原式22a2+a2a 4a 方法小结:第(1)题考查了学生对实数
9、运算的基本运算能力是否具有方向性,同时求三角函数值、零指 数,无理数的估算,去绝对值、二次根式化简等放到实数运算中,让一部分学生计算中不知道怎样处理, 这给课堂提出了更高的要求;第(2)考查了整式的运算,学生只要理解整式运算顺序,才会计算此题, 同时平方差公式的运用既体现多项式多项式的法则通法通解,也体现了该公式特殊性两个小题放在 一起,既可以类比学习从熟悉的实数运算到式的运算,又为梯度式教学设计提供一个很好的教学素材模 式 【类型【类型 3 3】 :因式分解】 :因式分解 【例 3】 (2019苏州)因式分解:x2xy 【分析】直接提取公因式 x,进而分解因式即可 【解析】x2xyx(xy)
10、 故答案为:x(xy) 方法小结:此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键 【变式 3-1】 (2019南京)分解因式(ab)2+4ab 的结果是 【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而合并同类项,再利用公式法分解因式得出答案 【解析】 (ab)2+4ab a22ab+b2+4ab a2+2ab+b2 (a+b)2 故答案为: (a+b)2 【变式 3-2】 (2019无锡)分解因式 4x2y2的结果是( ) A (4x+y) (4xy) B4(x+y) (xy) C (2x+y) (2xy) D2(x+y) (xy) 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解析】4
11、x2y2(2x+y) (2xy) 故选:C 【变式 3-3】 (2019广陵区校级二模)下列多项式因式分解的结果不含 a1 的是( ) Aa21 Ba2a Ca2a2 Da41 【分析】各项分解得到结果,即可作出判断 【解析】A、原式(a+1) (a1) ,不符合题意; B、原式a(a1) ,不符合题意; C、原式(a2) (a+1) ,符合题意; D、原式(a2+1) (a+1) (a1) ,不符合题意, 故选:C 方法小结:此题考查了因式分解十字相乘法,以及提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键 【类型【类型 4 4】 :分式的】 :分式的化简求值化简求值 【例 4】 (201
12、9南通)先化简,再求值: (m),其中 m2 【分析】先化简分式,然后将 m 的值代入计算 【解析】原式 m2+2m, 当 m2 时, 原式m(m+2) (2) (2+2) 22 【变式 4-1】 (2019淮安)先化简,再求值:(1) ,其中 a5 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,代入计算即可 【解析】(1) () a+2, 当 a5 时,原式5+27 【变式 4-2】 (2019苏州)先化简,再求值:(1) ,其中,x3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将 x 的值代入计算可得 【解析】原式() , 当 x3 时, 原式 【变式 4-3】 (2019盐城)
13、【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜, 两人每次买菜的单价相同,例如: 第一次 菜价 3 元/千克 质量 金额 甲 1 千克 3 元 乙 1 千克 3 元 第二次: 菜价 2 元/千克 质量 金额 甲 1 千克 2 元 乙 1.5 千克 3 元 (1)完成上表; (2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价 (均价总金额总质量) 【数学思考】设甲每次买质量为 m 千克的菜,乙每次买金额为 n 元的菜,两次的单价分别是 a 元/千克、 b 元/千克,用含有 m、n、a、b 的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价、,比较、的大 小,并说明理由 【知识迁移】某船在相
14、距为 s 的甲、乙两码头间往返航行一次在没有水流时,船的速度为 v,所需时间 为 t1;如果水流速度为 p 时(pv) ,船顺水航行速度为(v+p) ,逆水航行速度为(vp) ,所需时间为 t2请借鉴上面的研究经验,比较 t1、t2的大小,并说明理由 【分析】 (1)金额单价质量可求第二次甲的金额与乙的质量; (2)利用均价总金额总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价; 【数学思考】分别表示出、,然后求差,把分子配方,利用偶次方的非负性可得答案; 【知识迁移】分别表示出、,然后求差,判断分式的值总小于等于 0,从而得结论 【解析】 (1)212(元) ,321.5(元/千克) 故答案为
15、2;1.5 (2)甲两次买菜的均价为: (3+2)22.5(元/千克) 乙两次买菜的均价为: (3+3)(1+1.5)2.4(元/千克) 甲两次买菜的均价为 2.5(元/千克) ,乙两次买菜的均价为 2.4(元/千克) 【数学思考】, 0 【知识迁移】t1,t2 t1t2 0pv t1t20 t1t2 【类型【类型 5 5】 :】 :代数代数计算计算的创新的创新考法考法 【例 5】 (2019宿迁模拟)若 2019 个数 a1、a2、a3、a2019满足下列条件:a12,a2|a1+5|,a3 |a2+5|,a2019|a2018+5|,则 a1+a2+a3+a2019( ) A5040 B5
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