2017年全国高中联合竞赛竞赛一试（A卷）数学试题.doc

1、 20172017 年全国数学联合竞赛一试（年全国数学联合竞赛一试（A A 卷）卷） 试试 题题 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 8 8 分分, ,共共 6 64 4 分分. . 1.设)(xf是定义在R上的函数，对任意实数x有1)4()3(xfxf.又当70 x时， )9(log)( 2 xxf，则)100(f的值为_. 2.若实数yx,满足1cos2 2 yx，则yxcos的取值范围是_. 3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1 109 22 yx ，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积

2、的最大值为_. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是_. 5.正三棱锥ABCP中，21APAB，,过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余 弦值为_. 6.在平面直角坐标系xOy中，点集1 , 0 , 1,yxyxK，在K中随机取出三个点，则这三点中存在两 点之间距离为5的概率为_. 7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若ABCA， 3 的面积为3， 则ANAM 的最小值为_. 8.设两个严格递增的正整数数列 n a， n b满足：2017 1010 ba，对任意正整数n，有 nnn aaa 12 ， nn bb2

3、1 ，则 11 ba 的所有可能值为_. 二、解答题二、解答题 （本大题共（本大题共 3 3 小题，满分小题，满分 5656 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 9. 设mk,为实数，不等式1 2 mkxx对所有bax,成立.证明：22ab. 10.设 321 ,xxx是非负实数，满足1 321 xxx，求 53 53 32 1321 xx xxxx的最小值和最大值. 11.设复数 21,z z满足0)Re(, 0)Re( 21 zz，且2)Re()Re( 2 2 2 1 zz（其中)Re(z表示复数z的实部）. （1）求)Re( 2

4、1z z的最小值； （2）求 2121 22zzzz的最小值. 20172017 年全国数学联合竞赛一试年全国数学联合竞赛一试（A A 卷）卷） 答答 案案 一、填空题一、填空题 1.答案： 2 1 . 解：由条件知，)( )7( 1 )14(xf xf xf ，所以 2 1 4log 1 )5( 1 )2()714100(_100( 2 f fff. 2.答案：13, 1. 解：由于3 , 1cos21 2 yx，故3, 3x； 由 2 1 cos 2 x y 可知，1) 1( 2 1 2 1 cos 2 2 x x xyx.因此当1x时，yxcos有最小值1 （这时y可以取 2 ） ； 当

5、3x时，yxcos有最大值13（这时y可以取） .由于1) 1 2 1 2 x（ 的值域是13, 1，从而yxcos的取值范围是13, 1. 3.答案： 2 113 解：易知) 10(),03(， FA.设P的坐标是） 2 , 0(),sin10,cos3(，则 cos31 2 1 sin103 2 1 OFPOAPOAPE SSS )sin( 2 113 )sincos10 2 3 （. 其中 10 10 arctan.当10arctan时，四边形OAPF面积的最大值为 2 113 . 4.答案：75. 解：考虑平稳数abc. 若, 0b则 1 , 0, 1 ca，有 2 个平稳数. 若1b

6、，则 2 , 1 , 0,2 , 1ca，有632个平稳数. 若82b，则1, 1,bbbca，有63337个平稳数. 若9b，则9 , 8, ca，有422个平稳数. 综上可知，平稳数的个数是7546362. 5.答案： 10 53 . 解：设PCAB,的中点分别为MK,则易证平面ABM就是平面.由中线长公式知 2 3 2 4 1 )12( 2 1 4 1 )( 2 1 2222222 PCACAPAM, 所以 2 5 2 1 2 3 2 22 AKAMKM. 又易知直线PC在平面上的射影是直线MK，而 2 3 1KCCM，,所以 10 53 5 4 3 1 4 5 2 cos 222 MC

7、KM KCMCKM KMC, 故棱PC与平面所成角的余弦值为 10 53 . 6.答案： 7 4 . 解：易知K中有 9 个点，故在K中随机取出三个点的方式数为84 3 9 C种. 将K中的点按下图标记为0, 821 ， AAA，其中有 8 对点之间的距离为5.由对称性，考虑取 41 AA，两点的情况，则剩下的一个点有 7 种取法，这样有5687个三点组（不计每组中三点 的次序） .对每个KiAi),8 , 2 , 1(中恰有 53,ii AA两点与之距离为5（这里下标按模 8 理解） ， 因而恰有8 , 2 , 1, 53i iAAA ii ，这 8 个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组

8、个数为 48856，进而所求概率为 7 4 84 48 . 7.答案：13. 解：由条件知，ACABANACABAM 4 1 4 3 , 2 1 ,故 ACABACABACABACABANAM43 8 1 4 1 4 3 2 1 22 . 由于ACABAACABS ABC 4 3 sin 2 1 3,所以4 ACAB,进一步可得 2cosAACABACAB,从而)432( 8 1 22 ACABACABANAM 13 2 1 4 3 ACABACAB. 当 4 4 32 3 2 ACAB，时，ANAM 的最小值为13. 8.答案：13,20. 解：由条件可知： 121 ,baa均为正整数，且

9、21 aa . 由于 11 9 10 51222017bbb，故3 , 2 , 1 1 b，反复运用 n a的递推关系知 455667788910 5835232aaaaaaaaaaa 122334 21341321813aaaaaa， 因此34mod251221 1110101 bbbaa， 而18342113，故有 34mod262132113 1111 bbaa. 另一方面，注意到 21 aa ，有 1121 512213455baaa，故 11 55 512 ba . 当1 1 b时，分别化为 55 512 ),34(mod26 11 aa，无解. 当2 1 b时，分别化为 55 10

10、24 ).34(mod52 11 aa，得到唯一的正整数 18 1 a，此时20 11 ba. 当3 1 b时，分别化为 55 1536 ).34(mod78 11 aa，得到唯一的正整数 10 1 a，此时13 11 ba. 综上所述， 11 ba 的所有可能值为 13,20. 二、解答题二、解答题 9.证明：令 baxmkxxxf, 2 ，则 1 , 1xf.于是 , 1 2 mkaaaf , 1 2 mkbbbf 1 222 2 m ba k baba f 由+2知， 4 2 2 2 2 ba fbfaf ba ，故22ab. 10.解：由柯西不等式 2 3 3 2 211 32 132

11、1 5 5 3 3 53 53 x x x xxx xx xxxx 1 2 321 xxx， 当0, 0, 1 321 xxx时不等式等号成立，故欲求的最小值为 1. 因为 3 2 1321 32 1321 3 5 553 5 1 53 53x x xxxx xx xxxx 2 3 2 1321 3 5 553 4 1 5 1 x x xxxx 2 321 6 3 14 6 20 1 xxx 5 9 666 20 1 2 321 xxx， 当 2 1 , 0, 2 1 321 xxx时不等式等号成立，故欲求的最大值为 5 9 . 11.解： （1）对2 , 1k，设),(Ryxiyxz kkk

12、kk .由条件知2)Re(, 0)Re( 222 kkkkk zyxzx. 因此 2121221121 )(Re()Re(yyxxiyxiyxzz 2)2()2(2 212121 2 2 2 1 yyyyyyyy. 又当2 21 zz时，2)Re( 21 zz.这表明，)Re( 21z z的最小值为 2. （2）对2 , 1k，将 k z对应到平面直角坐标系xOy中的点),( kkk yxP，记 2 P是 2 P关于x轴的对称点，则 21,P P均位于双曲线2: 22 yxC的右支上. 设 21 FF，分别是C的左、右焦点，易知)02(),02( 21 ， FF . 根据双曲线的定义，有2222 2 21 22111 FPFPFPFP，,进而得 21212121 2222zzzzzzzz 2424 212 221 211 211 PPFPFPPPFPFP, 等号成立当且仅当 2 F位于线段 21P P上（例如，当izz22 21 时， 2 F恰是 21P P的中点）. 综上可知， 2111 22zzzz的最小值为24.