2009年全国高中数学联合竞赛试题.doc

1、 2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题 （考试时间：10 月 11 日上午 800920） 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分把答案填在横线上 1若函数 2 1 x f x x ，且 ( ) ( ) n n fxf f ff x，则 (99) 1f 2 已知直线L：90xy和圆M： 22 228810xyxy ， 点A在直线L上，B、 C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围 为 3在坐标平面上有两个区域M和N，M为： 0 2 y yx yx N是随t变化的区域，它由不等 式1txt 所确定，t的取值范围是01t ，设M和N的公共面积

2、是函数 f t，则 f t 4 使不等式 1111 2007 12213 a nnn 对一切正整数n都成立的最小正整数a 的值为 5椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OP OQ的 最小值为 6若方程lg2lg1kxx仅有一个实根，那么k的取值范围是 7 一个由若干行数字组成的数表， 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和， 最后一行仅有一个数，第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8某车站每天 800900，9001000 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机 的，且两者到站的时间是相互独

3、立的，其规律为 到站时刻 810 910 830 930 850 950 概率 1 6 1 2 1 3 一旅客 820 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分） 二、解答题：本大题共 3 小题，共 44 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 1 （本小题满分 14 分）设直线l：ykxm（其中k，m为整数）与椭圆 22 1 1612 xy 交 于不同两点A，B，与双曲线 22 1 412 xy 交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得 向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 2 （本小题满分 15 分）已知p，q（0q ）是实数，方程 2 0xpxq

4、有两个实根， ，数列 n a满足 1 ap， 2 2 apq， 12nnn apaqa （n3，4，） （I）求数列 n a的通项公式（用，表示） ； （II）若1p ， 1 4 q ，求 n a的前n项和 3 （本小题满分 15 分）求函数2713yxxx的最大值和最小值 2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） （考试时间：10 月 11 日上午 9401210） 一、如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB ）的外接圆上弧BC、AC的 中点 过点C作PC/MN交圆于P点，I为ABC的内心， 连接PI并延长交圆于T （I）求证：当MP MTNP NT； （II）在弧AB（不含点C

5、）上任取一点Q（QA，T，B） ，记AQC，QCB的 内心分别为 1 I， 2 I，求证：Q， 1 I， 2 I，T四点共圆 二、求证不等式： 2 1 1 1ln 12 n k k n k ，n1，2， 三、设k，l是给定的两个正整数求证：有无穷多个正整数mk，使得 k m C与l互素 T I P N M A B C Q 四、在非负数构成3 9数表 111213141516171819 212223242526272829 313233343536373839 xxxxxxxxx Pxxxxxxxxx xxxxxxxxx 中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为 1， 172839 0

6、xxx， 27 x， 37 x， 18 x， 38 x， 19 x， 29 x均大于 1如果P的前三列构成的数表 111213 212223 313233 xxx Sxxx xxx 满足下面的性质（O） ：对于数表P中的任意一列 1 2 3 k k k x x x （k 1，2，9）均存在某个 i1，2，3使得min iki xu 1 i x， 2i x， 3i x 求证： （I）最小值min i u 1 i x， 2i x， 3i x，i 1，2，3 一定取自数表S的不同列 （II）存在数表P中的唯一的一列 1 * 2 * 3 * k k k x x x ，*k 1，2，3 使得3 3数表 11121 * 21222 * 31323 * k k k xxx Sxxx xxx 仍然具有性质（O） ，即对于数表P中的任意一列 1 2 3 k k k x x x （k 1，2，9）均存在某个 i1，2，3使得min iki xu 1 i x， 2i x， *ik x