2013年全国高中数学联合竞赛加试题及解答.doc

1、 20132013 年全国高中数学联合竞赛加试年全国高中数学联合竞赛加试 一、 （本题满分一、 （本题满分 40 分）分）如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E、F 为线段AB上 两点，满足AEEFFB.连接PEPF、并延长，与圆分别相交于点CD、.求证： EF CDAC BD 二、 （本题满分二、 （本题满分 4040 分）分）给定正整数, u v.数列 n a定义如下： 1 auv，对整数1m ， 2 21 , . mm mm aau aav 记 12 1,2, mm Saaam. 证明：数列 n S中有无穷多项是完全平方数. 三、 （本题满分三、 （本题满分 50 分分）一次考试共

2、有m道试题，n个学生参加，其中,2m n为给定的整数. 每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答 对的学生得零分.每个学生得总分为其m道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为 12n ppp，求 1n pp得最大可能值. A B C D E F P P F E D C B A 四、 （本题满分四、 （本题满分 5050 分）分）设, n k为大于 1 的整数，2kn .证明：存在2k个不被n整除的整数， 若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n整除. 20132013 年全国高中数学联合竞赛加试年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标

3、准试题参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分，标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、 （本题满分一、 （本题满分 40 分）分）如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E、F 为线段AB上 两点，满足AEEFFB.连接PEPF、并延长，与圆分别相交于点C

4、D、.求证： EF CDAC BD 证明 连接 AD，BC，CF，DE.由于 AE=EF=FB，从而 sin =2 sin BCBCEBCPBE ACACEACPAE 点 到直线的距离 点 到直线的距离 . 1 10 分 同样 sin =2 sin ADADFAPDAF BDBDFBPDBF 点 到直线的距离 点 到直线的距离 . 2 另一方面，由于 A B C D E F P P F E D C B A BCEBCPBDPBDF ， ACEACPADPADF ， 故将 1，,2两式相乘可得4 BC AD AC BD ，即 4BC ADAC BD 3 30 分 由托勒密定理 AD BCAC B

5、DAB CD 4 故由 3，4得 3AB CDAC BD, 即 EF CDAC BD. 40 分 二、 （本题满分二、 （本题满分 4040 分）分）给定正整数, u v.数列 n a定义如下： 1 auv，对整数1m ， 2 21 , . mm mm aau aav 记 12 1,2, mm Saaam.证明：数列 n S中有无穷多项是完全平方数. 证明 对正整数n，有 111 12345 212221 nnn Saaaaaaa 1122 2121 nn uvauavauavauav 21 22 n n uvS ， 10 分 所以 12 112 212121 2222 22 nnn nnn

6、SuvSuvuvS 2 12 21 2 22 n n uvS 11 122 nn nuvuv 1 2nuv n . 20 分 设2kuvq， 其中k是非负整数，q是奇数.取 2 nq l， 其中l为满足1 mod2lk 的任意正整数，此时 2 2 21 21 2 n kq l Sq l ，注意到q是奇数，故 2 22 111110 mod2kq lklkkk k ， 所以， 21 n S 是完全平方数.由于l有无穷多个，故数列 n S中有无穷多项是完全平方数. 40 分 三、 （本题满分三、 （本题满分 50 分分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中,2m n为给定的整数. 每道题的得分

7、规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答 对的学生得零分.每个学生得总分为其m道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为 12n ppp，求 1n pp得最大可能值. 解解 对任意的1,2,km，设第k题没有答对者有 k x人，则第k题答对者有 k nx人， 由得分规则知，这 k nx个人在第k题均得到 k x分.设n个学生得得分之和为 S，则有 2 1111 nmmm ikkkk ikkk psxnxnxx . 因为每一个人在第k道题上至多得 k x分，故 1 1 m k k px . 10 分 由于 21 pp，故有 231 11 n n pppSp p nn

8、 .所以 1 111 2 111 2 111 21 11 n mmm kkk kkk SpnS pppp nnn n xnxx nn 2 11 1 2 1 mm kk kk xx n . 20 分 由柯西不等式得 2 2 11 1 mm kk kk xx m ， 于是 2 1 11 2 1 1 2 1 1 11 1 mm nkk kk m k k ppxx m n xm nm n m n 1m n. 40 分 另一方面，若有一个学生全部答对，其他1n个学生全部答错，则 11 1 11 m n k pppnm n . 综上所述， 1n pp的最大值为1m n. 50 分 四、 （本题满分四、 （

9、本题满分 5050 分）分）设, n k为大于 1 的整数，2kn .证明：存在2k个不被n整除的整数， 若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n整除. 证明证明 先考虑n为 2 的幂的情形. 设2 ,1 r nr，则rk.取 3 个 1 2r及23k 个 1，显然这些数均不被n整除.将这2k个 数任意分成两组，则总有一组中含 2 个 1 2r，它们的和为2r，被n整除. 10 分 现在设n不是 2 的幂，取2k个数为 2221 1, 1, 2, 2 , 2,1,2,2 ,2 kk ， 因为n不是 2 的幂，故上述2k个数均不被n整除. 20 分 若可将这些数分成两组，使得每一组中任意

10、若干个数的和均不能被n整除.不妨设 1 在 第一组，由于（-1）+1=0，被n整除，故两个-1 必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n 整除，故 2 在第一组，进而推出-2 在第二组. 现归纳假设1,2,2l均在第一组，而1, 1, 2, 2l 均在第二组，这里12lk ，由 于 1 112220 ll ，被n整除，故 1 2l在第一组，从而 1 2l在第二组. 故由数学归纳法可知， 22 1,2,2 ,2k在第一组， 22 1, 1, 2, 2 , 2k 在第二组.最后，由于 21 112220 kk ， 被n整除，故 1 2k在第一组.因此 21 1,2,2 ,2k均在第一组，由正整数的二进制表示可知，每 一个不超过21 k 的正整数均可表示为 21 1,2,2 ,2k中若干个数的和，特别地，因为 21 k n，故第一组中有若干个数的和为n，当然被n整除，矛盾！ 因此，将前述2k个整数任意分成两组，则总有一组中有若干个数之和被n整除. 50 分