2007年全国高中数学联合竞赛加试及解答.doc

1、 2007 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午 10：0012：00） 一、 （本题满分 50 分）如图，在锐角ABC 中，ABAC，AD 是边 BC 上的高，P 是线段 AD 内一点。过 P 作 PEAC，垂足为 E，做 PFAB，垂足为 F。O1、O2分别是BDF、CDE 的外心。求证：O1、O2、E、F 四点共圆的充要条件为 P 是ABC 的垂心。 二、 （本题满分 50 分）如图，在 7 8 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。 如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取 出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线

2、（横、竖、斜方向）上依次相连。问 最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。 O2 O1 F E P D A BC 三、 （本题满分 50 分）设集合 P=1，2，3，4，5，对任意 kP 和正整数 m，记 f(m， k)= 5 1 1 1 i i k m，其中a表示不大于 a 的最大整数。求证：对任意正整数 n，存在 kP 和正整数 m，使得 f(m，k)=n。 2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、 （本题满分 50 分）如图，在锐角ABC 中，ABAC，AD 是边 BC 上的高，P 是线段 AD 内一点。过 P 作 PEAC，垂足为 E，作 PFAB，垂足为 F。O1

3、、O2分别是BDF、CDE 的外心。求证：O1、O2、E、F 四点共圆的充要条件为 P 是ABC 的垂心。 证明：连结 BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为 PDBC，PFAB，故 B、D、P、F 四 点共圆，且 BP 为该圆的直径。又因为 O1是BDF 的外心，故 O1在 BP 上且是 BP 的中点。 同理可证 C、 D、 P、 E 四点共圆， 且 O2是的 CP 中点。 综合以上知 O1O2BC， 所以PO2O1= PCB。因为 AF AB=AP AD=AE AC，所以 B、C、E、F 四点共圆。 充分性：设 P 是ABC 的垂心，由于 PEAC，PFAB，所以 B、O1、P、

4、E 四点共 线，C、O2、P、F 四点共线，FO2O1=FCB=FEB=FEO1，故 O1、O2、E、F 四点共 圆。 必要性：设 O1、O2、E、F 四点共圆，故O1O2E+EFO1=180 。 由于PO2O1=PCB=ACBACP，又因为 O2是直角CEP 的斜边中点，也就是CEP B O2 O1 F E P D A BC 的外心，所以PO2E=2ACP。因为 O1是直角BFP 的斜边中点，也就是BFP 的外心， 从而PFO1=90BFO1=90ABP。因为 B、C、E、F 四点共圆，所以AFE=ACB， PFE=90ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180 得 (ACBACP)+2A

5、CP+(90ABP)+(90ACB)=180 ，即ABP=ACP。又因为 ABAC，ADBC，故 BDCD。设 B是点 B 关于直线 AD 的对称点，则 B在线段 DC 上且 BD=BD。连结 AB、PB。由对称性，有ABP=ABP，从而ABP=ACP，所以 A、P、 B、C 四点共圆。由此可知PBB=CAP=90ACB。因为PBC=PBB， 故PBC+ACB=(90ACB)+ACB=90 ，故直线 BP 和 AC 垂直。由题设 P 在边 BC 的高上，所以 P 是ABC 的垂心。 二、 （本题满分 50 分）如图，在 7 8 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。 如果两个棋子所在的

6、小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取 出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问 最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。 解：最少要取出 11 个棋子，才可能满足要求。其原因如下： 如果一个方格在第 i 行第 j 列，则记这个方格为(i，j)。 第一步证明若任取 10 个棋子， 则余下的棋子必有一个五子连珠， 即五个棋子在一条直线 （横、 竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出 10 个棋子，使余下的棋子没有一个五子 连珠。如图 1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出 一个棋子。这

7、样，10 个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也 不会分布在其他角上的阴影部分。第 1、2 行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1， 5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出 2 个棋子。在第 1、2、3 列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4， 1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、 (4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出 3 个棋子

8、。这样，在这些区域 内至少已取出了 10 个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于、 这 4 个棋子至多被取出 2 个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。 图 1 图 2 第二步构造一种取法，共取走 11 个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图 2，只要取出有 标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述，最少要取走 11 个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。 三、 （本题满分 50 分）设集合 P=1，2，3，4，5，对任意 kP 和正整数 m，记 f(m， k)= 5 1 1 1 i i k m， 其中a表示不大于 a 的最大整数。 求证： 对任意正整数 n，

9、存在 kP 和正整数 m，使得 f(m，k)=n。 证明：定义集合 A=1km|mN*，kP，其中 N*为正整数集。由于对任意 k、iP 且 ki， 1 1 i k 是无理数，则对任意的 k1、k2P 和正整数 m1、m2，11 2211 kmkm当 且仅当 m1=m2，k1=k2。由于 A 是一个无穷集，现将 A 中的元素按从小到大的顺序排成一个 无穷数列。对于任意的正整数 n，设此数列中第 n 项为1km。下面确定 n 与 m、k 的关 系。若11 1 kmim，则 1 1 1 i k mm。由 m1是正整数可知，对 i=1，2，3，4，5， 满足这个条件的 m1的个数为 1 1 i k m。从而 n= 5 1 1 1 i i k m=f(m，k)。因此对任意 nN*，存在 mN*，kP，使得 f(m，k)=n。