2002年全国高中数学联合竞赛试卷.doc

1、 二二年全国高中数学联合竞赛题二二年全国高中数学联合竞赛题 （10 月 13 日上午 8：009：40） 题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人 学生注意：学生注意：1、本试卷共有三大题（、本试卷共有三大题（15 个小题） ，全卷满分个小题） ，全卷满分 150 分。分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。、不能使用计算器。 一、一、 选择题（本题满分选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分） 本题共有本题共有 6 个小是题，每题均给出（个小是题，每题

2、均给出（A） （） （B） （） （C） （D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不 论是否写在括号内） ，一律得论是否写在括号内） ，一律得 0 分。分。 1、 函数 f(x)=) 32(log 2 2 1 xx的单调递增区间是 (A) (-，+) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+) 2、 若实数 x, y 满足(x+5)2+(y12)2=1

3、42，则 x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 3、 函数 f(x)= 221 xx x (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 4、 直线1 34 yx 椭圆1 916 22 yx 相交于 A，B 两点，该圆上点 P，使得PAB 面积等于 3，这样的点 P 共有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 5、 已知两个实数集合 A=a1, a2, , a100与 B=b1, b2, , b50， 若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个 元素都有

4、原象，且 f(a1)f(a2)f(a100)，则这样的映射共有 (A) 50 100 C (B) 50 90 C (C) 49 100 C (D) 49 99 C 6、 由曲线 x2=4y, x2= 4y, x=4, x= 4 围成图形绕 y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为 V1， 满足 x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2，则 (A) V1= 2 1 V2 (B) V1= 3 2 V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2 二、二、 填空题（本题满分填空题（本题满分 5 54 4 分，每小题分，

5、每小题 9 9 分）分） 本题共有本题共有 6 6 小题，要求直接将答案写在横线上。小题，要求直接将答案写在横线上。 7、 已知复数 Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为 60，则 21 21 zz zz = 。 8、 将二项式 n x x) 2 1 ( 4 的展开式按 x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中 x 的指数 是整数的项共有 个。 9、 如图，点 P1,P2,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同 一平面上的四点组(Pl, Pi, Pj, Pk)(lAC，点 O 是外心，两条高 BE、CF 交于 H 点，点 M、N 分别在线段 BH、

6、HF 上，且满足 BM=CN， 求 OH NHMH 的值。 二、 （本题满分二、 （本题满分 5050 分）分） 实数 a,b,c 和正数使得 f(x)=x3+ax2+bx+c 有三个实根 x1,x2,x3，且满足 x2x1=, x3 2 1 (x1+x2) 求 3 3 9272 abca 的最大值。 三、 （本题满分三、 （本题满分 5050 分）分） 在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察 A1,A2,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场 90 分钟) 都上场， 假设在比赛的任何时刻， 这些队员中有且仅有一人在场上， 并且 A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以 分钟为单位)均被 7 整除， A5,A6,A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整除， 如果每场换人次数不限， 那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。 B A C E F O H K M N