2001年全国高中数学联合竞赛试卷.doc

1、 二一年全国高中数学联合竞赛题二一年全国高中数学联合竞赛题 （10 月 4 日上午 8：009：40） 题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人 学生注意：学生注意：1、本试卷共有三大题（、本试卷共有三大题（15 个小题） ，全卷满分个小题） ，全卷满分 150 分。分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。、不能使用计算器。 一、一、 选择题（本题满分选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分） 本题共有本题共有 6 个小是题，每题均给出（个小是题，每题均

2、给出（A） （） （B） （） （C） （） （D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不 论是否写在括号内） ，一律得论是否写在括号内） ，一律得 0 分。分。 1、已知 a 为给定的实数，那么集合 M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定 2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题 2：长方体中

3、，必存在到各棱距离相等的点； 命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0， 2 ）上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 4、如果满足ABC=60，AC=12，BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是 （A）k=83 （B）0a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中 应如何选取电阻，才能使该

4、组件总电阻值最小？证明你的结论。 A B C D E F 二一年全国高中数学联合竞赛加试试题二一年全国高中数学联合竞赛加试试题 （10 月 4 日上午 10：0012：00） 学生注意：学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分、本试卷共有三大题，全卷满分 150 分。分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。、不能使用计算器。 一、 （本题满分一、 （本题满分 5050 分）分） 如图：ABC 中，O 为外心，三条高 AD、BE、CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于 点 M，FD 和 AC 交于点 N。求证： （1）OBDF，OCDE； （2）OHMN。 二、 （本题满分二、 （本题满分 5050 分）分） 设 xi0(I=1,2,3,n)且12 11 2 njk jk n i i xx j k x，求 n i i x 1 的最大值与最小值。 三、 （本题满分三、 （本题满分 5050 分）分） 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方 形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。 A B C D m n