2006年高考.山东卷.理科数学试题及详细解答.doc

1、 绝密启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修 II） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（共 60 分） 注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后， 再选其他答案标号，不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+

2、B）=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，P(AB)=P(A)P(B) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符 合题目要求的选项. （1）定义集合运算：AB=zz= xy(x+y)，xA，yB ，设集合 A=0，1 ，B=2，3 ，则集 合 AB 的所有元素之和为 （A）0 （B）6 （C）12 （D）18 （2）函数 y=1+ax(00,q： 2 1 2 x x 0,0,00,q： 2 1 2 x x 0x5 或 x4，q： 2 1 2 x x 0x2 或1x1 或 x2，借助图形知选 A （9）已知集合 A=5,B=

3、1,2,C=1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系 中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ A ） (A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36 解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为 113 233 C C A36，但集合 B、C 中有相同元素 1，由 5，1， 1 三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为 36333 个，选 A （10） 已知 2 n i x x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 14 3 ,其中 2 i=1， 则展开式中常 数项是（ A ） (A)45i (B) 45i (C) 45 (D)45 解： 第三项的系数为 2 n C， 第

4、五项的系数为 4 n C， 由第三项与第五项的系数之比为 14 3 可得 n10， 则 2 10 110( )() rrr r i TCx x 40 5 2 10 () r rr i C x ， 令 405r0， 解得 r8， 故所求的常数项为 88 10 () i C 45，选 A （11）某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 须满足约束条件 .112 , 932 ,22115 x yx yx 则 z=10x+10y 的最大值是（C ） (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解：画出可行域： 易得 A（5.5，4.5）且当直线 z10x10y 过 A 点时， z

5、 取得最大值，此时 z90，选 C x y 2x3y9 2x11 5x11y22 C B A O （12）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2,DAB=60 ,E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分 别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 PDCE 三棱锥的外接球的体积为（ C ） (A) 27 34 (B) 2 6 (C) 8 6 (D) 24 6 （12 题图） 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为 1，故外接球半径为 6 4 ，外接球的体积为 3 466 () 348 ，选 C 绝密启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数

6、学（必修+选修 II） 注意事项： 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 得分 评卷人 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分分，共，共 16 分分.答案须填在题中横线上答案须填在题中横线上. （13）若 1 lim1, () n a nnan 则常数 2 . 解： P E D C O 11 limlimlim( 11) () 1 212 nnn nana annnana n a a （14）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则 22 12 yy的

7、最 小值是 32 . 解：显然 12 ,x x0，又 22 12 yy4（ 12 xx）8 12 x x，当且仅当 12 4xx时取等号，所以所求 的值为 32。 （15）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的 中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 . （15 题图） 解：易证 B1平面 AC1，过 A 点作 AGCD，则 AG平面 B1DC，于是ADG 即ADC 为直线 AD 与平面 B1DC 所成角，由平面几何知识可求得它 的正弦值为 4 5 。 （16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. 将函数 y=1x的图

8、象按向量 y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y=x 圆 x2+y2+4x-2y+1=0 与直线 y=x 2 1 相交，所得弦长为 2 若 sin(+)= 2 1 ，sin()= 3 1 ,则 tancot=5 如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1，P 为底面 ABCD 内一动点，P 到平面 AA1D1D 的距离与到直 线 CC1的距离相等，则 P 点的轨迹是抛物线的一部分. 解：错误，得到的图象对应的函数表达式应为 y|x2| 错误，圆心坐标为（2，1） ，到直线 y=x 2 1 的距离为 4 5 5 半径 2，故圆与直线相离， 正确，sin(+)= 2 1 sin

9、coscossin sin()sincoscossin 3 1 两式相加，得 2 sincos 5 6 ， A1B1 C1 D A C B G 两式相减，得 2 cossin 1 6 ，故将上两式相除，即得 tancot=5 正确，点 P 到平面 AD1的距离就是点 P 到直线 AD 的距离， 点 P 到直线 CC1就是点 P 到点 C 的距离，由抛物线的定义 可知点 P 的轨迹是抛物线。 （16 题图） 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )sin ()(0,0,0) 2 f xAxA ，且(

10、 )yf x的最大值为 2，其图象相 邻两对称轴间的距离为 2，并过点（1,2）. （I）求 （II）计算(1)(2)(2008)fff. 解： （I） 2 sin ()cos(22 ). 22 AA yAxx ( )yf x的最大值为 2，0A. 2,2. 22 AA A 又其图象相邻两对称轴间的距离为 2，0， 1 2 ()2,. 2 24 22 ( )cos(2 )1 cos(2 ) 2222 f xxx . ( )yf x过(1,2)点， cos(2 )1. 2 22, 2 kkZ 22, 2 kkZ , 4 kkZ 又0, 2 4 . （II）解法一： 4 ， 1 cos()1 si

11、n. 222 yxx (1)(2)(3)(4)2 1 0 14ffff . 又( )yf x的周期为 4，20084 502 ， (1)(2)(2008)4 5022008.fff 解法二： 2 ( )2sin () 4 f xx 22 3 (1)(3)2sin ()2sin ()2, 44 ff 22 (2)(4)2sin ()2sin ()2, 2 ff (1)(2)(3)(4)4.ffff 又( )yf x的周期为 4，20084 502 ， (1)(2)(2008)4 5022008.fff 18 （本小题满分 12 分）设函数( )(1)ln(1)f xaxax，其中1a ，求( )

12、f x的单调区 间. 解：由已知得函数( )f x的定义域为( 1,) ，且 1 ( )(1), 1 ax fxa x （1）当10a 时， ( ) 0,fx 函数( )f x在( 1,) 上单调递减， （2）当0a时，由 ( ) 0,fx 解得 1 .x a ( ) fx、( )f x随x的变化情况如下表 x 1 ( 1,) a 1 a 1 (,) a ( ) fx 0 + ( )f x 极小值 从上表可知 当 1 ( 1,)x a 时， ( ) 0,fx 函数( )f x在 1 ( 1,) a 上单调递减. 当 1 (,)x a 时， ( ) 0,fx 函数( )f x在 1 (,) a

13、上单调递增. 综上所述： A B C A1 V B1 C1 当10a 时，函数( )f x在( 1,) 上单调递减. 当0a时，函数( )f x在 1 ( 1,) a 上单调递减，函数( )f x在 1 (,) a 上单调递增. 19 （本小题满分 12 分） 如图，已知平面 111 A BC平行于三棱锥VABC的底面 ABC， 等边 1 ABC所在的平面与底面 ABC 垂直，且ACB=90 ，设2 ,ACa BCa （1）求证直线 11 BC是异面直线 1 AB与 11 AC的公垂线； （2）求点 A 到平面 VBC 的距离； （3）求二面角A VBC的大小。 解法 1： （）证明：平面 1

14、11 ABC平面ABC， 1111 /,/BCBC ACAC BCAC 1111 BCAC 又平面 1 ABC平面ABC，平面 1 ABC平面ABCAC， BC平面 1 ABC， 1 BCAB 111 BCAB， 又 11111 ACBCC， 1111 BCABB. 11 BC为 1 AB与 11 AC的公垂线. （）解法 1：过 A 作 1 ADBC于 D， 1 ABC为正三角形， D 为 1 BC的中点. BC平面 1 ABC BCAD， 又 1 BCBCC， AD平面VBC， 线段 AD 的长即为点 A 到平面VBC的距离. 在正 1 ABC中， 33 23 22 ADACaa. 点 A

15、 到平面VBC的距离为3a. 解法 2：取 AC 中点 O 连结 1 BO，则 1 BO平面ABC，且 1 BO=3a. 由（）知 1 BCBC，设 A 到平面VBC的距离为 x， 11 BABCA BB C VV ， 即 11 1111 3232 BC AC BOBC BC x，解得3xa. 即 A 到平面VBC的距离为3a. 则 11 | cos,|dABAB n 1 1 1 | cos| | | AB n AB ABn 2 3 3 . 2 a a 所以，A到平面VBC的距离为3a. (III)过D点作DHVB于H，连AH，由三重线定理知AHVB AHD是二面角A VB C的平面角。 在R

16、t AHD中， 1 11 1 3. B DDH ADaB DHB BC BCB B 1 1 5 . 5 B D BC DHa B B tan15 AD AHD DH 。 arctan 15AHD。 所以，二面角A VB C的大小为 arctan15. 解法二： 取AC中点O连 1 BO,易知 1 OB 底面ABC，过O作直线/OEBC交ABE于。 取O为空间直角坐标系的原点， 1 ,OE OC OB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系。则 1 (0,0), ( , ,0), (0, ,0),(0,0, 3 )AaB a aCaBa。 （I）(,0,0)BCa ， 1 (

17、0, , 3 )ABaa， 1 (,0,0) (0, , 3 )0BC ABaaa ， 1 BCAB。 1 BCAB 又 11111 /,BCBC BCAB 由已知 11 ,/BCAC ACAC。 11 BCAC， 而 111111 /,BCBCBCAC。 又 111, BCAB与 11 AC显然相交， 11 BC是 111 ABAC与的公垂线。 （II）设平面VBC的一个法向量( , , )nx y z， 又 1 (0, 3 )CBaa 由 1 ( , , ) (,0,0)0 ( , , ) (0, 3 )0 x y zanBC x y zaanCB 取1z 得 (0, 3,1),n 点A到

18、平面VBC的距离，即 1 AB在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值。 1 (0, , 3 )ABaa，设所求距离为d。 则 11 cosdABAB n 1 1 1 AB n AB ABn 2 3 3 2 a 所以，A 到平面 VBC 的距离为3a. （III）设平面VAB的一个法向量 111 ( ,),mx y z 1 mAB 1 0m AB 11 30ayaz 由 mAB 0m AB 11 20axay 取 1 1z (2 3,3,1),m 1 cos,. | |4 m n m n mn 二面角A VB C为锐角， 所以，二面角A VB C的大小为 1 arccos. 4 20 （本小题满

19、分 12 分） 袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求： （1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量 的概率分布和数学期望； （3）计分介于 20 分到 40 分之间的概率。 解： （I）解法一： “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则 3111 5222 3 10 2 ( ) 3 CCCC P A C 解法二： “一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A” ， “一次取出的 3 个小球

20、上有两个数 字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为 121 528 3 10 1 ( ) 3 CCC P B C 所以 12 ( )1( )1 33 P AP B . （II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5. 2112 2222 3 10 1 (2); 30 CCCC P C 2112 4242 3 10 2 (3); 15 CCCC P C 2112 6262 3 10 3 (4); 10 CCCC P C 2112 8282 3 10 8 (5); 15 CCCC P C 所以随机变量的概率分布为 2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15 因此的数学

21、期望为 123813 2345 301510153 E （） “一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为C，则 2313 ( )(“3“4“)(“3“)(“4“) 151030 P CPPP或 21 （本小题满分 12 分） 双曲线 C 与椭圆 22 1 84 xy 有相同的焦点，直线3yx为 C 的一条渐近线。 （1）求双曲线 C 的方程； （2）过点(0,4)P的直线l，交双曲线 C 于 A、B 两点，交x轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重 合） ，当 12 PQQAQB，且 12 8 3 时，求Q点的坐标。 解： （）设双曲线方程为 22 22 1 xy ab 由椭

22、圆 22 1 84 xy 求得两焦点为( 2,0),(2,0)， 对于双曲线:2C c，又3yx为双曲线C的一条渐近线 3 b a 解得 22 1,3ab， 双曲线C的方程为 2 2 1 3 y x （）解法一： 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。 设l的方程： 11 4, ( ,)ykxA x y， 22 (,)B xy 则 4 (,0)Q k 1 PQQA 111 44 (, 4)(,)xy kk 1 111 111 1 44 44 () 4 4 x kkx kk yy 11) (,A x y在双曲线C上， 2 1 2 11 11616 ()10 k 2222 11 16 163216

23、0. 3 kk 222 11 16 (16)32160. 3 kk 同理有： 222 22 16 (16)32160. 3 kk 若 2 160,k则直线l过顶点，不合题意. 2 160,k 12 , 是二次方程 222 16 (16)32160. 3 kxxk的两根. 12 2 328 163k 2 4k， 此时0,2k . 所求Q的坐标为( 2,0). 解法二： 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程， 1122 4, ( ,), (,)ykxA x yB xy，则 4 (,0)Q k . 1 PQQA， Q分PA的比为 1 . 由定比分点坐标公式得 1 1 11 11 11 1

24、 11 44 (1) 1 44 0 1 x x kk y y 下同解法一 解法三： 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程： 1122 4, ( ,), (,)ykxA x yB xy，则 4 (,0)Q k . 12 PQQAQB， 111222 444 (, 4)(,)(,)xyxy kkk . 1122 4yy ， 1 1 4 y ， 2 2 4 y ， 又 12 8 3 ， 12 112 3yy 即 1212 3()2yyy y 将4ykx代入 2 2 1 3 y x 得 222 (3)2448 30kyyk 2 30k，否则l与渐近线平行。 2 1212 22 24483

25、, 33 k yyy y kk 。 2 22 24483 32 33 k kk 2k ( 2,0)Q 解法四： 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设l的方程：4ykx， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 则 4 (,0)Q k 1 PQQA, 111 44 (, 4)(,)xy kk 。 1 1 1 4 4 4 4 k kx x k 同理 1 2 4 4kx 12 12 448 443kxkx . 即 2 1212 25 ()80k x xk xx。 （*） 又 2 2 4 1 3 ykx y x 消去 y 得 22 (3)8190kxkx. 当 2 30k时，则直线

26、 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 2 30k。 由韦达定理有： 12 2 12 2 8 3 19 3 k xx k x x k 代入（*）式得 2 4,2kk 所求 Q 点的坐标为( 2,0)。 22 （本小题满分 14 分） 已知 1 2a ，点 1 (,) nn a a 在函数 2 ( )2f xxx的图象上，其中1,2,3,n （1）证明数列lg(1) n a是等比数列； （2）设 12 (1)(1)(1) nn Taaa，求 n T及数列 n a的通项； （3）记 11 2 n nn b aa ，求数列 n b的前n项 n S，并证明 2 1 31 n n S T 解： （）由已

27、知 2 1 2 nnn aaa ， 2 1 1(1) nn aa 1 2a 1 1 n a ，两边取对数得 1 lg(1)2lg(1) nn aa ， 即 1 lg(1) 2 lg(1) n n a a lg(1) n a是公比为 2 的等比数列. （）由（）知 1 1 lg(1)2lg(1) n n aa 1 12 2lg3lg3 n n 1 2 13 n n a （*） 12 (1)(1) n Taa n (1+a ) 012 222 333 n-1 2 3 2 1 2 2 3 n-1 +2 = n 2 -1 3 由（*）式得 1 2 31 n n a （） 2 10 2 nn aaa 1 (2) nnn aaa 1 1111 () 22 nnn aaa 1 112 2 nnn aaa 又 11 2 n nn b aa 1 11 2() n nn b aa 12n Sbb n +b 12231 111111 2 () nn aaaaaa + 11 11 2() n aa 1 22 11 31,2,31 nn nn aaa 2 2 1 31 n n S 又 21 3 n n T 2 1 31 n n S T .