2006年高考.山东卷.文科数学试题及详细解答.doc

1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学（必修文科数学（必修+选修）选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页.第卷 3 至 10 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷（共 60 分） 注意事项： 1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上， 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+

2、B)=P(A)P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A,B) P(A)=P(B) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，选择 一个符合题目要求的选项。 （1） 定义集合运算：AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合 A (0,1),B (2,3), 则集合 AB 的所有元素之和为 (A) 0 (B)6 (C)12 (D)18 (2)设 1 2 3 2,2 ( )( (2) log (1)2. x ex f xf f xx ， 则的值为 ， (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 （3）函数的反函数的图象大致是) 10(1 2

3、 aay (A) (B) (C) (D) (4)设向量 a=(1,3),b=(2,4),若表示向量 4a、3b2a,c 的有向线段首尾相接能构成 三角形，则向量 c 为 (A)（1，1） (B)（1， 1） (C) （4，6） (D) （4，6） （5）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)f(x)，则 f(6) 的值为 (A) 1 (B)0 (C)1 (D)2 （6）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 A= 3 ,a=3,b=1，则 c= (A)1 (B)2 (C) 31 (D) 3 （7） 在给定双曲线中， 过焦点垂直于实轴的弦长为2， 焦点到相应

4、准线的距离为 2 1 ， 则该双曲线的离心率为 (A) 2 2 (B)2 (C) 2 (D)22 （8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 (A)13 (B)13 (C)133 (D)19 （9）设 p 2 2,xxq 0 1 2 x x 0，则 p 是 q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知( x x 1 2 ) n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 14 3 ， 则展开式中常 数项是 (A)1 (B)1 (C)45 (D)45 （11）已知集集合 A=5 ，B=1，2，C1，3，4 ，从这三个集合中各取一 个元素构

5、成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)33 (B)34 (C)35 (D)36 （12）已知 x 和 y 是正整数，且满足约束条件 . 72 , 2 ,10 x yx yx 则 z=2x+3y 的最小值是 (A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学（必修文科数学（必修+选修）选修） 第卷（共 90 分） 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答案须填在

6、题中横线上。 （13）某学校共有师生 2400 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是 . （14）设 n S为等差数列 n a的前 n 项和， 4 S14，30SS 710 ，则 9 S . （15） 已知抛物线xy4 2 ， 过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(),(), 2211 yxByx、两 点，则 y 2 2 1 1 y的最小值是 （16）如图，在正三棱柱 ABC- 111 CBA中，所有棱长均为 1，则点 B1到平面 ABC1的 距离为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，

7、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分 12 分） 设函数 f(x)= 32 23(1)1,1.xaxa其中 ()求 f(x)的单调区间； () 讨论 f(x)的极值. （18） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)A 2 sin ()(00 0) 2 xA ， ， ，且 y=f(x)的最大值为 2，其图 象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点（1，2）. ()求； ()计算 f(1)+f(2)+f(2008). （19） （本小题满分 12 分） 盒中装着标有数字 1，2，3，4 的卡片各 2 张，从盒中任意任取 3 张，每张卡片被抽出 的可能性都相等，求：

8、()抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率； ()抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念； ()抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率. (20) （本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形， ABDC,ACBD,AC 与 BD 相交于 点 O，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO=2,PO=2,PBPD. ()求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值； ()求二面角 PABC 的大小； ()设点 M 在棱 PC 上，且, PM MC 问为何值时，PC平面 BMD. （21） （本小题满分 12 分） 已知椭圆的

9、中心在坐标原点 O， 焦点在 x 轴上， 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正 方形，两准线间的距离为 l. ()求椭圆的方程； ()直线l过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当AOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程. （22） （本小题满分 14 分） 已知数列 n a中， 11 1 2 2 nn anaa 、点（ 、）在直线 y=x 上，其中 n=1,2,3. ()令 是等比数列；求证数列 nnnn baab, 1 1 ()求数列 的通项； n a ()设分别为数列、 nn TS 、 n a n b的前 n 项和,是否存在实数，使得数列 nn ST n 为等差数列？若存

10、在，试求出.若不存在,则说明理由。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷山东卷) 文科数学答案文科数学答案 一、选择题一、选择题 1、D 2、C 3、A 4、D 5、B 6、B 7、C 8、C 9、A 10、D 11、A 12、B 二、填空题二、填空题 13、150 14、54 15、32 16、 21 7 四、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，选择 一个符合题目要求的选项。 （1） 定义集合运算： AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合 A 0,1 ,B 2,3 , 则集合 AB 的所有元

11、素之和为（D） (A) 0 (B)6 (C)12 (D)18 解：当 x0 时，z0，当 x1，y2 时，z6，当 x1，y3 时，z12，故所有元素 之和为 18，选 D (2)设 1 2 3 2,2 ( )( (2) log (1)2. x ex f xf f xx ， 则的值为 ， （ C ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解：f（f（2） ）f（1）2，选 C （3）函数1(01) x yaa 的反函数的图象大致是（A ） (A) (B) (C) (D) 解：函数 y=1+ax(0a1)的反函数为log (1) a yx，它的图象是函数logayx向右 移动 1 个单位得到，

12、选 A (4)设向量 a=(1,3),b=(2,4),若表示向量 4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构 成三角形，则向量 c 为（D ） (A)（1，1） (B)（1， 1） (C) （4，6） (D) （4，6） 解：4a（4，12） ，3b2a（8，18） ，设向量 c（x，y） ，依题意，得 4a （3b2a）c0，所以 48x0，1218y0，解得 x4，y6，选 D （5）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)f(x)，则 f(6) 的值为（ B ） (A) 1 (B)0 (C)1 (D)2 解：因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）0，又 f（

13、x4）f（x2） f（x） ，故函数 f（x）的周期为 4，所以 f（6）f（2）f（0）0，选 B （6）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 A= 3 ,a=3,b=1，则 c=（ B ） (A)1 (B)2 (C) 31 (D) 3 解：由正弦定理可得 sinB 1 2 ，又 ab，所以 AB，故 B30，所以 C90，故 c2， 选 B （7） 在给定双曲线中， 过焦点垂直于实轴的弦长为2， 焦点到相应准线的距离为 2 1 ， 则该双曲线的离心率为（ C ） (A) 2 2 (B)2 (C) 2 (D)22 解：不妨设双曲线方程为 22 22 1 xy ab （

14、a0，b0） ，则依题意有 22 21 2 2 ba c ac 且， 据此解得 e2，选 C （8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ C ） (A)13 (B)13 (C)133 (D)19 解：设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为 1 2 a，它的外接球的半径为 3 2 a，故 所求的比为 133，选 C （9）设 p 2 2,xxq 0 1 | 2 x x 0，则 p 是 q 的（A ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解：p： 2 2xx 01x2，q： 1 | 2 x x 0x2 或1x2，故选 A (10)已知( x

15、 x 1 2 ) n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 14 3 ， 则展开式中常 数项是（ D ） (A)1 (B)1 (C)45 (D)45 解：第三项的系数为 2 n C，第五项的系数为 4 n C，由第三项与第五项的系数之比为 14 3 可得 n 10，则 2 10 110 1 ()() rrr r TCx x 40 5 2 10 ( 1) r rr C x ，令 405r0，解得 r8，故所求的 常数项为 88 10 ( 1) C45，选 D （11）已知集集合 A=5 ，B=1，2，C1，3，4 ，从这三个集合中各取一 个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为

16、（ A ） (A)33 (B)34 (C)35 (D)36 解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为 113 233 C C A36，但集合 B、C 中有相同元素 1， 由 5，1，1 三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为 36333 个，选 A （12）已知 x 和 y 是正整数，且满足约束条件 10, 2, 27. xy xy x 则 z2x3y 的最小值是 （ B ） (A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5 解：画出可域：如图所示 易得 B 点坐标为（6，4）且当直线 z2x3y 过点 B 时 z 取最大值，此时 z24，点 C 的坐标为（3.5，1.5） ，过点

17、C 时取得最小值， 但 x，y 都是整数，最接近的整数解为（4，2） ， 故所求的最小值为 14，选 B 三、解答题 17解：由已知得 ( ) 6(1)fxx xa， 令 ( ) 0fx ，解得 12 0,1xxa. （）当1a 时， 2 ( )6fxx，( )f x在(,) 上单调递增 当1a 时， ( ) 61fxx xa ， ( ), ( )fxf x随x的变化情况如下表： x (,0) 0 (0,1)a 1a (1,)a ( ) fx + 0 0 ( )f x 极大值 极小值 x y 2x3y0 xy10 2x7 xy2 B A O C 从上表可知，函数( )f x在(,0)上单调递增

18、；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上 单调递增. （）由（）知， 当1a 时，函数( )f x没有极值. 当1a 时，函数( )f x在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值 3 1 (1)a. 18 解： （I） 2 sin ()cos(22 ). 22 AA yAxx ( )yf x的最大值为 2，0A. 2,2. 22 AA A 又其图象相邻两对称轴间的距离为 2，0， 1 2 ()2,. 2 24 22 ( )cos(2 )1 cos(2 ) 2222 f xxx . ( )yf x过(1,2)点， cos(2 )1. 2 x 22, 2 xkkZ 22, 2 kkZ , 4 k

19、kZ 又0, 2 4 . （II）解法一： 4 ， 1 cos()1 sin. 222 yxx (1)(2)(3)(4)2 1 0 14ffff . 又( )yf x的周期为 4，20084 502 ， (1)(2)(2008)4 5022008.fff 解法二： 2 ( )2sin () 4 f xx 22 3 (1)(3)2sin ()2sin ()2, 44 ff 22 (2)(4)2sin ()2sin ()2, 2 ff (1)(2)(3)(4)4.ffff 又( )yf x的周期为 4，20084 502 ， (1)(2)(2008)4 5022008.fff 19 解： （I）

20、“抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A，由题意 1221 2626 3 8 9 ( ) 14 C CC C P A C （II） “抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B，则 21 26 3 8 3 ( ) 28 C C P B C （III） “抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C， “抽出的 3 张卡片上有两个数字 相同”的事件记为 D，由题意，C 与 D 是对立事件，因为 121 436 3 8 3 ( ) 7 C C C P D C 所以 34 ( )1()1 77 P CP D . 20解法一： PO平面ABCD， POBD 又,2

21、,2PBPD BOPO， 由平面几何知识得：1,3,6ODPDPB （） 过D做/DEBC交于AB于E， 连结PE， 则P D E或其补角为异面直线PD与BC 所成的角， 四边形ABCD是等腰梯形， 1,2,OCODOBOAOAOB 5,2 2,2BCABCD 又/ABDC 四边形EBCD是平行四边形。 5,2EDBCBECD E是AB的中点，且2AE 又6PAPB， PEA为直角三角形， 22 622PEPAAE 在PED中，由余弦定理得 222 3542 15 cos 215235 PDDEPE PDE PD DE 故异面直线 PD 与BC所成的角的余弦值为 2 15 15 （）连结OE，

22、由（）及三垂线定理知，PEO为二面角 PAB C的平面角 2 sin 2 PO PEO PE ， 0 45PEO 二面角PAB C的大小为 0 45 （）连结,MD MB MO， PC 平面,BMD OM 平面BMD， PCOM 又在Rt POC中， 3,1,2PCPDOCPO， 2 33 , 33 PMMC， 2 PM MC 故2时，PC 平面BMD 解法二： PO平面ABCD POBD 又PBPD，2,2BOPO， 由平面几何知识得： 1,2ODOCBOAO 以O为原点，,OA OB OP分别为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为 (0,0,0)O，(2,0,0)A

23、，(0,2,0)B，( 1,0,0)C ，(0, 1,0)D，(0,0,2)P （）(0, 1,2)PD ， ( 1, 2,0)BC ， 3,5,2PDBCPD BC。 cos, PD BC PD BC PD BC 2 15 15 。 故 直 线PD与BC所 成 的角 的余 弦 值为 2 15 15 （ ） 设 平 面PAB的 一 个 法 向 量 为 ( , , )nx y z， 由于( 2,2,0)AB ，( 2,0, 2)AP ， 由 0 0 n AB n AP 得 2 xy zx 取(1,1, 2)n ，又已知平面 ABCD 的一个法向量(0,0,1)m ， 2 cos, 2 m n m

24、 n m n 又二面角PAB C为锐角， 所求二面角PAB C的大小为45 （）设 00 (,0,)M xy，由于,P M C三点共线， 00 22zx， PC 平面BMD， OMPC 00 ( 1,0,2) (,0,)0xz 00 20xz 由（1） （2）知： 0 2 3 x ， 0 2 3 z 。 22 (,0,) 33 M 2 PM MC 故2时，PC 平面BMD。 21解：设椭圆方程为 22 22 1() xy abc ab （）由已知得 2 222 2 4 bc a c abc 2 2 2 2 1 1 a b c 所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （） 解法一： 由题意知直

25、线l的斜率存在， 设直线l的方程为 1122 2, ( ,), (,)ykxA x yB xy 由 2 2 2 1 2 ykx x y ，消去 y 得关于 x 的方程： 22 (1 2)860kxkx 由直线l与椭圆相交于 A、B 两点， 22 06424(1 2)0kk 解得 2 3 2 k 又由韦达定理得 12 2 12 2 8 12 6 12 k xx k xx k 222 12121 2 |1|1()4ABkxxkxxx x 2 2 2 1 1624 1 2 k k k 原点O到直线l的距离 2 2 1 d k 22 22 116242 2 23 | 21 21 2 AOB kk SA

26、B d kk . 解法 1：对 2 2 1624 1 2 k S k 两边平方整理得： 24222 44(4)240S kSkS（*） 0S ， 2222 2 2 2 2 16(4)4 4(24)0, 4 0 24 0 4 SSS S S S S 整理得： 2 1 2 S 又0S ， 2 0 2 S 从而 AOB S的最大值为 2 2 S ， 此时代入方程（*）得 42 428490kk 14 2 k 所以，所求直线方程为：14240xy. 解法 2：令 2 23(0)mkm， 则 22 23km 2 2 22 22 4 42 m S m m m 当且仅当 4 m m 即2m时， max 2

27、2 S 此时 14 2 k . 所以，所求直线方程为14240y 解法二：由题意知直线 l 的斜率存在且不为零. 设直线 l 的方程为 1122 2, ( ,), (,)ykxA x yB xy， 则直线 l 与 x 轴的交点 2 (,0)D k ， 由解法一知 2 3 2 k 且 12 2 12 2 8 12 6 12 k xx k xx k ， 解法 1： 1212 11 2 | | |22| 22 AOB SODyykxkx k = 12 |xx 22 2 1 2 ()4xxx x 2 2 1624 1 2 k k 2 2 2 2 23 1 2 k k . 下同解法一. 解法 2： AO

28、BPOBPOA SSS 21 1 2 | 2 xx 21 |xx 2 2 2 2 23 1 2 k k 下同解法一. 22解： （I）由已知得 11 1 ,2, 2 nn aaan 221 3313 ,11, 4424 aaa 又 1 1, nnn baa 121 1, nnn baa 11 11 2111 (1)1 11 222 . 1112 nnnn nnn nnnnnnn ananaa baa baaaaaa n b是以 3 4 为首项，以 1 2 为公比的等比数列. （II）由（I）知， 1 3131 ( ), 4222 n n n b 1 31 1, 22 nn n aa 21 31

29、 1, 22 aa 32 2 31 1, 22 aa 1 1 31 1, 22 nn n aa 将以上各式相加得： 1 21 3 111 (1)(), 2 222 n n aan 1 1 1 11 (1) 31313 22 1(1)(1)2. 1 22222 1 2 n n nn aannn 3 2. 2 n n an （III）解法一： 存在2，使数列 nn ST n 是等差数列. 12 12 111 3()(12)2 222 nn n Saaann 11 (1) (1) 22 32 1 2 1 2 n n n n 22 1333 3(1)3. 2222 nn nnnn 12 1 31 (1

30、) 3133 42 (1). 1 2222 1 2 n nn nn Tbbb 数列 nn ST n 是等差数列的充要条件是,( nn ST AnBA n 、B是常数) 即 2 , nn STAnBn 又 2 1 3333 3() 2222 nn nn nn ST 2 31 3(1)(1) 222n nn 当且仅当10 2 ，即2时，数列 nn ST n 为等差数列. 解法二： 存在2，使数列 nn ST n 是等差数列. 由（I） 、 （II）知，22 nn abn (1) 22 2 n n n STn (1) 22 2 nn nn n n nTT ST nn 32 2 n n T n 又 12 1 31 (1) 3133 42 (1) 1 2222 1 2 n nn nn Tbbb 1 3233 () 222 nn n STn nn 当且仅当2时，数列 nn ST n 是等差数列.