2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷(A卷)解析版.docx

1、2021年湖南省长沙市四大名校高考数学猜题试卷（A卷）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 若，则A. B. C. D. 3. 一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下.佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，层为八角鼓腹锥顶状，层呈葫芦状，层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为A. 第5行，呈葫芦状B. 第6行，呈葫芦状C. 第7行，呈宝瓶状D. 第8行，呈宝瓶状4. 一

2、次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言.这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名.发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有种.A. 36B. 48C. 72D. 1205. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是A. 是奇函数B. 的图象关于直线对称C. 的周期是D. 在区间上单调递减6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最

3、薄镜片和最厚镜片的同学分别为A. 甲同学和乙同学B. 丙同学和乙同学C. 乙同学和甲同学D. 丙同学和甲同学7. 有两条互相垂直的直线和，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上.点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值.那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为A. 椭圆，焦距长为B. 椭圆，焦距长为C. 双曲线，焦距长为D. 双曲线，焦距长为8. 设函数f：满足，且对，都有令集合，则集合A中的元素个数为A. 2020B. 2021C. 4040D. 40429. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为

4、检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是A. 如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B. 如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C. 如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D. 如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10. 设实数a、b、c满足，则下列不等式成立的是A. B. C. D. 11. 设正方体的棱长为1，点F在线段上运动，则下列说法正确的是A. 若点F为线段的中点时，B. 若点F与点A重合时，异面直线CF与所成角的大小为C. 若时，二面角的正切值为D. 若F与点重合时，三棱锥外接球的

5、表面积为12. 已知函数，若关于x的方程的解，则实数a的可能取值为A. B. C. 0D. 113. 已知平面向量，设，_ .14. 已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值_ .15. 已知等比数列中，则满足成立的最大正整数n的值为_ .16. 双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则内切圆半径的最大值为_ .17. 已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且求数列的通项公式；设且，求数列的前n项和的最值.18. 某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水

6、滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，千米千米.用表示；现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知，问最少应准备多少千米管道结果可用根式表示19. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，E为PC中点.设平面平面，证明：；求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.20. 核酸检测是诊断新冠病毒的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是在进行核酸检测时，可以逐个检测，

7、也可以将几个样本混合在一起检测.检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测.假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；若，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义不要求证明附：，21. 已知抛物线C：的

8、焦点为F，点在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等.求抛物线C的方程；过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧.证明：当直线l与x轴不平行时，；过点A，B分别作抛物线C的切线，与相交于点D，求与的面积之积的取值范围.22. 已知函数当时，求函数的单调区间；当时，求证：总存在唯一的极小值点，且答案和解析1.【答案】C【解析】解：，故选：利用绝对值不等式的解法求出集合B，然后求交集即可本题考查绝对值不等式的解法，交集的运算，属于基础题2.【答案】D【解析】解：故选：利用复数的运算法则即可得出本题考查了复数的运算法则，考

9、查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】C【解析】解：，编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状故选：由，进而得到答案本题考查了归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题4.【答案】B【解析】解：先排高一年级学生，有种排法，若高一年级学生中间有高三学生，有种排法，若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法故选：先排高一年级学生，再分高一年级学生中间有高三学生或高一学生中间无高三学生，问题得以解决本题考查了分步和分类计数原理，考查了运算求解能力，属于基础题5.【答案】A【解析】解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，的图象关于原点对称，不关于直线对称，故

10、B错误；的最小值个周期为，故C错误；显然，在区间上单调递增，故D错误，故选：由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题6.【答案】C【解析】解：因为，又，所以，又，所以，故，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄故选：先利用指数式的运算比较三个折射率的大小，然后由镜片的折射率越高，镜片越薄进行分析判断，即可得到答案本题考查了合情推理的实际应用问题，主要考查了数值大小的比较，考查了运算与化归能力，属于基础题7.【答案】B【解析】解：此题为椭圆规画椭圆的原理在两条互相垂直的直线和

11、上建立平面直角坐标系，当点P在第一象限时，设AB与X轴的夹角为，则P的坐标为，从而可知，点P在椭圆上，点P的轨迹是四分之一个椭圆，当点P在其它几个象限或坐标轴上时，点P的坐标满足方程，所以点P的轨迹是一个椭圆，焦距长为故选：判断轨迹的图形形状，然后转化求解椭圆方程，推出焦距即可本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题8.【答案】D【解析】解：令，则有，又，从而集合A中，可化为即，必定为一奇一偶若t为偶数时，t的取值可以为，共有2021个若为偶数时，同理也有2021个集合A中的元素个数共有个故选：根据条件求出解析式，再把集合A中，化为，进而求解结论本题主要考查了抽象函数及

12、其应用，以及分类讨论思想的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题9.【答案】AD【解析】解：由题中数据可知，所以用系统抽样和分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，所以C错误无论利用哪种抽样方法，每个个体被抽到的机会均等，所以D正确故选：由题中数据可知，无论用系统抽样还是分层抽样，都不需要先剔除个体；利用系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，无论利用哪种抽样方法，每个个体被抽到的机会均等本题考查了抽样方法的选择与应用问题，是基础题10.【答案】BD【解析】解：，由-得，即，又，而，从而故选：两式作差可得b的范围，再利用作差法即可比较本题考查了不

13、等式的关系，考查了运算能力和求解能力，属于基础题11.【答案】ACD【解析】解：正方体中，易证，又，所以有面，当F为中点时，面，A正确；对于B，面，面，若F与重合时，异面直线CF与所成角为，B错误；对于C，当时，过F作，垂足为H，则，易证面，从而由，可得二面角的平面角为，C正确对于D，点F与重合时，三棱锥的外接球即正方体的外接球，其直径其表面积，D正确故选：通过直线与平面垂直的判断定理判断A的正误；求出异面直线所成角判断B；求出二面角的大小，判断C；求解外接球的表面积判断本题考查命题的真假的判断，空间几何体值的直线与直线，直线与平面的位置关系以及二面角等知识的应用，是中档题12.【答案】AB【

14、解析】解：易证，恒成立，所以C错误；令，若，则，则时，此时恒成立，显然D错误，对于A、B，当时，在上恒为正，故在上单调递增，又因为，在上存在唯一零点，；，在上单调递减，在上单调递增，而，故在上存在唯一零点，故A、B正确；故选：根据函数的单调性判断函数的零点，从而判断A，B，代入a的值，判断D，根据判断本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用，是中档题13.【答案】【解析】解：平面向量，故答案为：直接利用向量的坐标运算求解即可本题考查向量的基本运算，考查计算能力14.【答案】n可取6，8，9，10，11中任意一个值【解析】解：的展开式的通项为，若系数为有理数，则，且当时，；时，；时，；时

15、，6；时，r无解；时，8；时，6；时，10；时，8，时，6，所以，n可取6，8，9，10，11中的任意一个值，故答案为：n可取6，8，9，10，11中的任意一个值由题意利用二项展开式的通项公式，分类讨论，得出结论本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题15.【答案】3【解析】解：设等比数列的公比为q，由得，解得，又易得数列也是等比数列，其首项为，公比为，从而有故故答案为：利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.【答案】【解析】解：由题意得，过M、N向x轴作垂线，垂足分别为，设，则，所以有又，

16、有当且仅当时等号成立的内切圆半径，令，则，在上单调递减当时，r有最大值为故答案为：过M、N向x轴作垂线，垂足分别为，设，利用三角形的面积推出然后求解的内切圆半径的最大值即可本题考查双曲线的简单性质的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题17.【答案】解：设等比数列的首项为，公比为，由得，所以数列是首项为，公差为的等差数列方法一：当时，数列是首项为正的递减等差数列由，得，没有最小值当时，数列是首项为负的递增等差数列由，得，所以，没有最大值方法二：利用等差数列求和公式得当时，此时，没有最大值当时，此时，没有最小值【解析】直接利用数列的关系式的变换和等差数列的性质的应用求出数列的

17、首项和公比，进一步求出数列的通项公式；方法一：利用对数的运算和分类法的应用，及数列的单调性确定数列的最值；方法二：直接利用对数的运算和数列求和公式，进一步确定数列的最值本题考查的知识要点：数列的递推关系式，等比和等差数列的性质，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题18.【答案】解：连结BD，如图所示：在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得，所以，解得，所以用表示为因为，所以由可得，所以，由，所以中，由余弦定理得由，所以为等腰三角形所以，计算中，由余弦定理得解得；所以应准备千米的管道【解析】连结BD，利用余弦定理在中表示出BD，在中也表示出BD，建立等式求出与的关

18、系式；由题意求出角C和，利用余弦定理求出BD，判断为等腰三角形，利用三角恒等变换求出的余弦值，再计算AC的值本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题19.【答案】证明：因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面又平面从而平面平面已知为等边三角形，E为PC中点，所以，故平面平面，故平面由已知平面PBC，所以方法一：设DC中点为O，则，因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，由已知有，设平面PAD的法向量，因为，所以，令，则，设平面PBC的法向量，令，则，因为，所以所以平面PAD和平面PBC所成

19、二面角的余弦值为方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线过E设，垂足为连结由知平面PBC，所以，从而平面所以，故是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角由已知易得，且，由知为直角三角形，为直角，从而，所以，故，所以【解析】证明平面PDC，推出平面平面得到，即可证明平面PBC，推出方法一：设DC中点为O，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，求出平面PAD的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAD和平面PBC所成二面角的余弦值即可方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线过E设，垂足为连结说明是

20、平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角通过求解三角形推出结果即可本题考查平面与平面垂直，直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题20.【答案】解：记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，则当时，每个人核酸检测呈阴性的概率为若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行次核酸检测若选择方式二，记每个4口之家检测次数为，则可能取值为2，4，6，其分布列为246P故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望次若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为，则可能取值为1，其分布列为12P

21、故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为次显然由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本【解析】记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，利用古典概型概率公式求解即可选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行次核酸检测选择方式二，记每个4口之家检测次数为，则可能取值为2，4，6，得到分布列，然后求解期望若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为，则可能取值为1，得到

22、分布列以及期望，推出得到结果本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查古典概型的应用，是中档题21.【答案】解：由题意可得，解得，所以抛物线C的方程为由知，圆F方程为：，由已知可设l：，且，由得，设是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离证明：当直线l与x轴不平行时，有，方法一：由抛物线定义知，所以，所以方法二：因为A、M、N、B四点共线，M、N中点为，若，则必有AB中点与M、N中点重合，即，因为，所以由知抛物线方程为所以所以过点A的切线，即同理可得，过点B的切线为由，方程联立，得，解之，得，又得，所以到l：的距离，从而【解析】利用已知条件列出方程组求解抛物线方程即可设l：，且，联立直

23、线与抛物线方程，设是抛物线C上任一点，则，推出抛物线与圆相离证明：当直线l与x轴不平行时，有，方法一：由抛物线定义知，结合抛物线的定义转化推出，得到方法二：M、N中点为，有AB中点与M、N中点重合，即，通过抛物线方程，利用函数的导数，求解切线方程，然后求解D的坐标，通过点到直线的距离，然后求解三角形的面积推出结果即可本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题22.【答案】解：函数的定义域为当时，所以，易知在上单调递增，且则在上，在上，从而在上单调递减，在上单调递增证明：，所以，且设，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，由，得，设，则在上单调递增且则当时，都恰有一个，使得，且当时，当时，因此总有唯一的极小值点所以，从而，极小值由，可得当时，即，随增大而增大，易得令，则设，所以在上单调递减，且，从而即【解析】对求导，利用导数与单调性的关系求解即可；对求导，利用导数求得函数的极小值，利用换元法及导数即可证得本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化思想与逻辑推理能力，属于难题