9.2分式的运算讲解与例题.doc

1、9.2分式的运算1类比分数的运算法则，掌握分式乘除法、加减法的运算法则2掌握分式的乘方法则，能进行分式的乘法、除法、乘方的运算及其混合运算3能用分式的运算解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识1分式的乘除(1)分式的乘法法则两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母用字母表示为：.(2)分式的除法法则两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘用字母表示为：.(3)理解两个法则的注意事项：分式与分式相乘，如果分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约去公因式，然后再相乘整式与分式相乘，可以直接把整式(整式的分母视为1)和分式的分子相乘作分子，分母不变当整式是多项式

2、时，同样要先分解因式分式的除法可以统一到分式的乘法，即颠倒除式的分子、分母，再与被除式相乘分式的乘除法的计算结果，要通过约去公因式，化为最简分式或整式【例11】计算下列各题：(1)；(2).解：(1).(2).分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：符号运算；按分式的乘法法则运算；约分分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分【例12】计算：(1)3xy；(2)(xyx2).解：(1)3xy3xy.(2)(xyx2)(xyx2)x(xy)x2y.(1)分式的除法运算，抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒(2)分

3、式的分子、分母都是多项式的分式除法先转化为乘法，然后把多项式进行因式分解，最后约分【例13】计算(1)；(2).解：(1).(2).分式的乘除混合运算，一般先将除法运算转化为乘法运算，然后再按照乘法运算的法则进行2分式的乘方(1)分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母分别乘方用式子表示为：n(n为正整数，b0)(2)理解法则的注意事项：分式乘方时，一定要把分式加上括号，如2.分式本身的符号也要同时乘方分式分子或分母是多项式时，要避免出现类似2这样的错误分式的乘方n可以转化为积的乘方(ab1)n，这可以利用负整数指数幂的意义验证，根据负整数指数幂的意义，可知n(ab1)nanbn.公式中的a，

4、b可以是单项式，也可以是多项式，乘方时要注意分子、分母中的每一个因式都要乘方，千万不能出现漏项乘方【例21】计算：(1)2；(2)3.分析：(1)分式的分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；(2)分式的分子、分母是多项式，应该先各自因式分解，发现有公因式，先约分，然后再运用法则计算解：(1)原式.(2)原式33.在计算乘方运算时，如果分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；如果分子、分母是多项式，要先因式分解，通常约去公因式后再计算，也可以先进行乘方运算后再约去公因式【例22】计算：23.解：23.含有乘方的分式混合运算，应先进行分式的乘方运算，然后再进行乘除运算应注意运算中的符号3通分

5、(1)通分的概念：化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分(2)最简公分母：异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母(3)确定最简公分母：如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数字母取所有字母，取所有不同底的幂的因式；相同底的幂的因式取最高次幂即最简公分母当分母是多项式时，一般应先分解因式分式的通分，实质上就是将各分式的分母在不改变分式值的情况下都写成各分母的最简公分母的形式分式通分的依据是分式的基本性质(4)分式通分的步骤：先确定各分式的最简公分母，再将各分式通过分式的基本性质变形，使

6、其各分母都成为最简公分母【例3】通分：(1)，.(2)，.分析：(1)各分母系数的最小公倍数是12，字母因式a，b，c的最高次幂分别是a2，b2，c2，因此最简公分母是12a2b2c2.(2)分母分解因式x29(x3)(x3)；(62x)2(x3)，因此最简公分母为2(x3)(x3)解：(1)；.(2)；.4分式的加减(1)同分母的分式加减法则同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减用式子表示为：.(2)异分母的分式加减法则异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减用式子表示为：.(3)理解这两个法则的注意事项：同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体

7、进行加减，当分子是多项式时，要添加括号异分母分式加减运算的关键是利用通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母的分式加减法进行运算通分时，要注意最简公分母的确定分式加减运算的结果要化为最简分式或整式【例41】计算：(1)；(2)；(3).分析：按照同分母加减法法则运算，计算结果要注意化简解：(1)原式2.(2)原式.(3)原式.【例42】化简：(1)；(2)a2.分析：(1)分母是多项式，先分解因式找出最简公分母，由于m29(m3)(m3)，所以最简公分母为(m3)(m3)；(2)把a2化成再进行计算解：(1).(2)a2.当分母是多项式时，首先要进行因式分解；当整式与分式相加减时，把整式的

8、分母看成1；如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分化为最简分式5分式的混合运算分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算在进行分式的混合运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等特别是分式的加减运算与加法的交换律、结合律相结合，会使运算过程简捷(1)分式的混合运算，关键是弄清运算顺序(2)有理数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用(3)分式运算与分数运算一样，结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式【例5】计算.分析：本题是分式的混合运算题，各分母分解因式后可先算括号内的，也可观察式子中各个分式的特点，用乘法分配律进行计算解：方法一：.

9、方法二：.6通分的技巧通分是进行异分母分式相加减时必不可少的运算步骤，通分时常常是先找出最简公分母，将其变为同分母分式，然后再加减可在有些实际运算中，有时找最简公分母十分麻烦，或者在进行通分时，将面临着复杂、繁琐的计算，甚至走进一条“死胡同”，因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法，这样能使问题变得简单、化难为易几种常用的通分技巧如下：(1)首先约分技巧分式中的分子与分母有公因式，故应先约分，再通分(2)整体处理技巧分式和整式加减时，通常把整式看作一个整体，化成分母为“1”的式子，再通分(3)分组通分技巧利用加法交换律和结合律，把易于通分的分式结合在一起，再分别通分【例6】化简：.分析：当分式

10、比较复杂，而且按常规方法通分十分艰难时，这时应看看题中是否隐含着某些规律，当具有以下特征(每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值)时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分解：原式.7分式的化简求值计算一个分式的值时，要先运用分式的加减乘除运算分别化简分式，再把字母的取值代入化简后的最简分式或整式并通过计算求出原分式的值(1)在某些分式的化简求值问题中，字母的值是作为已知条件直接确定的，这种问题是分式最常见的题型之一，对于此种分式求值问题，一般是先化简，后求值，就是要先按顺序进行化简，将分式化成最简分式或整式后，再代入求值(2)在某些分式的化简求值问题中，字母的值是不确定的

11、，具有一定的开放性，解决此种分式求值问题的途径，一般仍是先化简，后代入求值，但是应注意代入的数值必须使原分式有意义(3)分式的化简求值问题中，有些条件是以关系式的形式给出的，对于此类问题的求解，方式是多样的，有些在化简后，根据条件求出字母的值，进而代入求值；有些在化简后，把条件整体代入求值；有些在化简后，把条件变形后整体代入求值总之，解这类题要能够根据题目的特点，挖掘出已知条件和待求式之间的内在联系，巧妙地转化变形，选择最佳方法才能迅速获解【例71】化简(x3)，并求其当x2时的值解：(x3).当x2时，原式.【例72】先化简再求值：，其中a满足a2a0.分析：先按分式的乘除法法则把原式进行化

12、简，得a2a2，而条件中a2a0，从而代入求出原式的值解：原式(a2)(a1)a2a2.由a2a0，得原式022.【例73】有一道题“先化简，再求值：，其中x.”小玲做题时把“x”错抄成了“x”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？解：(x24)x24，因为当x或x时，x2的值均为3，原式的计算结果都是7，所以把“x”错抄成“x”，计算结果也是正确的8运用分式运算解决实际问题分式的运算应用非常广泛，日常生活中的路程、工程、金融等问题以及自然科学中的许多问题均有涉及解决实际问题的关键是读懂题意，正确地分析问题中涉及的量与量之间的关系，列出正确的代数式，并进行代数式的运算例如，原计划a

13、天完成b件产品，现需要提前c天完成，则实际每天比原计划多生产的件数为多少？由于每天比原计划多生产的件数现在每天生产的件数原来每天生产的件数，所以我们可以先列出分式表示原计划每天生产的件数和实际每天生产的件数，进而表示每天比原计划多生产的件数为.【例8】甲、乙两人沿着同一个方向从A地走向B地，甲一半路程以a km/h的速度行走，一半路程以b km/h的速度行走；乙一半时间速度是a km/h，另一半时间的速度是b km/h，请你说说甲、乙谁先到达B地？分析：先求出甲用的时间是小时，乙用的时间为小时，然后通过作差比较大小，即，最后通过讨论a与b的关系，确定甲、乙谁先到达B地解：甲用的时间是小时，乙用

14、的时间为小时，因为，所以(1)当ab时，0，即甲时乙时，此时两人同时到达B地；(2)当ab时，0，此时，甲时乙时，即乙先到达B地9与分式有关的规律探索题因为分式可以方便地表示对应关系、数量关系等，因此经常利用分式来探索有关问题中的规律，主要方式是根据分式的分子、分母的发展变化情况或者分式值的变化情况，要求得出相应的结果或者规律一般解法是先写出分式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，得出相应的结论【例9】给定下面一列分式：，(其中x0)，则第7个分式为_解析：把任意一个分式除以前面一个分式，所得商都是.仔细观察分子与分母，分子所含字母是x，分母所含字母是y，x的指数是从3开始的连续奇数，y的指数是从1开始的连续整数，分式本身的符号是第奇数个为正号，偶数个为负号因此第n个分式是(1)n1.故第7个分式是(1)8.答案：