7.1.2-复数的几何意义.doc

1、7.1.2 复数的几何意义课标要求素养要求理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念.通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解，体会数学抽象及数学运算素养.教材知识探究19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？提示任何一个复数zabi，都和一个

2、有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部2.复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b).(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3.复数的模(1)定义：向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模或绝对值.(2)记法：复数zabi的模记为|z|或|abi|.(3)公式：|z|abi|(a，bR).如果b0，那么zabi是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).4.共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等

3、于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用_表示，即如果zabi，那么abi.教材拓展补遗微判断1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()3.复数的模一定是正实数.()4.两个共轭复数的和是实数.()5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()提示1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的.2.原点在虚轴上，但不是纯虚数.3.复数的模可以为0.4.根据共轭复数的定义可知正确.5.应该是充分条件.微训练1.向量a(1，2)所对应的复数的共轭复数是()A.12i B.12iC.12i D.2i解析因为复数与向量一一对

4、应，所以向量a(1，2)的复数形式为z12i，所以12i.答案A2.已知复数z的实部为1，虚部为2，则|z|_.解析由题意可知z12i，所以|z|.答案3.在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_.解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解得m9.答案9微思考复数的模的几何意义是什么？提示复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：满足条件|z|r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的内部，|z|r表示圆的外部；满足条件|zz0|r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|zz0|r表示圆的

5、内部，|zz0|r表示圆的外部.题型一复数与复平面内的点【例1】在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8，虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(2)由题意，2m4.(3)由题意，(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以当m1或m时，复数z对应的点在直线xy40上.题型二复数

6、与复平面内的向量的关系【例2】(1)向量1对应的复数是54i，向量2对应的复数是54i，则12对应的复数是()A.108i B.108iC.0 D.108i(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A.55i B.55iC.55i D.55i解析(1)由复数的几何意义，可得1(5，4)，2(5，4)，所以12(5，4)(5，4)(0，0)，所以12对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得(2，3)，(3，2)，(2，3)(3，2)(5，5)，所以对应的复数是55i.答案(1)C(2)D规律方法利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为

7、向量问题处理，借助向量去解决复数问题.【训练2】在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为_.解析复数2i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，1)，对应的复数为2i.答案2i题型三复数模的几何意义复数模的几何意义是复数zabi所对应的点Z(a，b)到原点(0，0)的距离【例3】设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2；(2)1|z|2.解(1)法一|z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.法二设zabi，由|z|2，得a2b24.

8、故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1|z|2可以转化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.规律方法解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.【训练3】若复数zai(aR)在复平面内对应点Z，则|z|时

9、，a_；此时Z与点(1，2)的距离是_.解析|z|，a1.z1i或z1i.当z1i时，Z为(1，1)，两点间距离为1；当z1i时，Z为(1，1)，两点间的距离为.答案11或一、素养落地1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.2.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.二、素养训练1.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析zi2i

10、22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.答案B2.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i解析由题意知点A的坐标为(6，5)，点B的坐标为(2，3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2，4)，故点C对应的复数为24i.答案C3.若复数z(m2)(m1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中mR，则|_.解析复数z(m2)(m1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m20且m10，解得m2，所以z3i，所以3i，|3.答案34.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最

11、大值.解如图所示，因为|z|1，所以z的轨迹可看作是圆心为(0，0)，半径为1的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，2)，|zz1|可看作点(2，2)到圆上的点的距离.由图可知点(2，2)到圆心的距离为2，则|zz1|max21.三、审题答题示范(一)复数几何意义的应用【典型示例】(12分)复数z(1i)a23a2i(aR).(1)若z，求|z|的值；(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.联想解题看到可考虑将z化为zxyi(x，yR)的形式.看到可知z的虚部为0.看到可知z的实部和虚部均大于0，从而求出a的范围.满分示范解z(1i)a23a2i(a23a2)(1a2

12、)i2分(1)由z知，1a20，故a1.3分当a1时，z0，|z|0；当a1时，z6，|z|6.5分(2)由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即8分即10分所以1a1.12分满分心得复数zabi(a，bR)和复平面上的点Z(a，b)一一对应，和向量一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键.基础达标一、选择题1.设z34i，则复数z1z|z|(1i)在复平面内的对应点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析z34i，|z|5，z134i5(1i)(351)(41)i35i.复数z1在复平面内的对应点在第二象限.答案B2.当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复

13、平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2，m1).由m0，m10.所以点Z位于第四象限.故选D.答案D3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A.2i B.2iC.12i D.12i解析A(1，2)关于直线yx的对称点B(2，1)，向量对应的复数为2i.答案B4.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z(cos Btan A)itan B对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因A，B为锐角三角形的两个内角，所以AB，

14、即AB，sin Acos B.cos Btan Acos Bcos Bsin A0，又tan B0，所以点(cos Btan A，tan B)在第二象限，故选B.答案B5.已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆解析由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.|z|0，|z|3.复数z对应的轨迹是1个圆.答案A二、填空题6.若复数z11i，z235i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为_.解析z11i对应的点为(1，1)，z235i对应的点为(3，5)，由两点间距离公式得2.答案27.若复数(6k2)

15、(k24)i(kR)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是_.解析复数对应的点位于第三象限，2k或k2.答案(，2)(2，)8.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是_.解析因为|z1|，|z2|.又因|z1|z2|，所以，解得1a1.答案(1，1)三、解答题9.设复数zlg(m22m14)(m2m6)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z对应的点位于复平面内的第二象限.解(1)由题意得解得m3(m2舍去).故当m3时，z是实数.(2)由题意得即即得解得5m1.故当5m1时，z对应的点位于复平面内的第二象限.10.已知z134i，|z|2，求|zz1|的

16、最大值和最小值.解如图，|z|2表示复数z对应的点在以(0，0)为圆心，2为半径的圆上，而z1在坐标系中的对应点的坐标为(3，4)，|zz1|可看作是点(3，4)到圆上的点的距离.由图可知，点(3，4)到圆心(即原点)的距离为5，故|zz1|max527，|zz1|min523.能力提升11.复数zx1(y2)i(x，yR)，且|z|3，则点Z(x，y)的轨迹方程是_.解析|z|3，即(x1)2(y2)29，即为所求方程.答案(x1)2(y2)2912.已知f(z)|2z|z，且f(z)35i，求复数z.解设复数zabi(a，bR).f(z)|2z|z，f(z)|2z|z.又f(z)35i，|

17、2z|z35i，|2(abi)|abi35i.即abi35i.根据复数相等的充要条件，得解得复数z105i.创新猜想13.(多选题)已知z1，z2是复数，以下结论错误的是()A.若z1z20，则z10，且z20B.若|z1|z2|0，则z10，且z20C.若|z1|z2|，则向量1和2重合D.若|z1z2|0，则12解析A中z1z20只能说明z1z2；B中|z1|z2|0，说明|z1|z2|0，即z1z20；C中|z1|z2|，说明|1|2|，但1与2方向不一定相同；D中|z1z2|0，则z1z2，故12；故错误的为A，C选项.答案AC14.(多填题)复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则a_，|z|_.解析复数za21(a1)i是纯虚数，解得a1，z2i，|z|2.答案12