4.5.3函数模型的应用(答案版).docx

1、 函数模型的应用 知识讲解1.几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用

2、数学知识建立相应的数学模型；(3)求模求解数学模型，得出数学模型；(4)还原将数学结论还原为实际问题典型例题类型一利用已知函数模型求解实际问题例1：某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程【答案】见解析【解析】因为火车匀速运动的时间为(27713)120 (h)，所以0t.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S13120t.2 h内火车行驶的路程S13120233(

3、km)类型二自建确定性函数模型解决实际问题例2：某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值 【答案】见解析【解析】(1)设AMy，ADx，则x24xy200，y.故Q4

4、200x22104xy802y238 0004 000x2(0x10)(2)令tx2，则Q38 0004 000，且0t200.函数ut在(0,10上单调递减，在10,200)上单调递增，当t10时，umin20.故当x时，Qmin118 000(元)类型三建立拟合函数模型解决实际问题例3：某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入12万元经营

5、这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)【答案】见解析【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图所示取(4,2)为最高点，则ya(x4)22(a0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数

6、模型进行模拟，如图所示设ykxb(k0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得解得所以y0.3x.设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12x)万元，总利润为W万元，那么WyAyB0.15(x4)220.3(12x)，所以W0.15(x3)20.1593.2.当x3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元同步练习一、 选择题1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x

7、1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21) Cylog2x Dy【答案】D【解析】由题中表格可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.如图，直角梯形OABC中，ABOC，AB1，OCBC2，直线l：xt截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数Sf(t)的图象大致为图中的(C) 【答案】C【解析】3.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1

8、996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？(B)A一次函数 B二次函数C指数函数 D对数函数【答案】B【解析】将1986年作为开始的时间，此时t=0，并以5年为一时间单位则1991年时，t=1；1996年时，t=2；2001年时，t=3由题设条件知f(0)=8.6，f(1)=10.4，f(2)=12.9，预测的f(3)=16.1通过描点可得y=f(t)的草图，根据草图对照四种函数，可以发现应选B4.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年

9、6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为()A3 0001.067元 B3 0001.067元C3 0001.068元 D3 0001.068元【答案】B【解析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y3 0001.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x7代入，即可求得y3 0001.067.故选B.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为() Ax1

10、5，y12 Bx12，y15Cx14，y10 Dx10，y14【答案】A【解析】由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180(8y5时，函数f(x)递减，f(x)f(5)3.2(万元)当0x5时，函数f(x)0.4(x4)23.6，当x4时，f(x)有最大值为3.6(万元)所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为 3.6万元2.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做一次函数ykxb的关系(图象如右图所示)(1)根据图象，求一次函数ykxb的表达式；(2)设公司获得的毛利润(

11、毛利润销售总价成本总价)为S元，求S关于x的函数表达式；求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价 【答案】见解析【解析】(1)由k1，b1 000，yx1 000(500x800)(2)由(1)，Sxy500y(x1 000)(x500)x21 500x500 000(500x800)由可知，S(x750)262 500，其图象开口向下，对称轴为x750，当x750时，Smax62 500，即该公司可获得的最大毛利润为62 500元，此时相应的销售单价为750元/件3.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，

12、每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)。【答案】见解析【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0100550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元(2)当0x100时，P60；当100x550时，P600.02(x100)62；当x550时，P51.所以Pf(x)(xN)(3) 设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L(P40)x(xN)当x500时，L6 000；当x1 000时，L11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元