5.2.2-导数的四则运算法则.doc

1、5.2.2导数的四则运算法则课标要求素养要求能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知f(x)x，g(x). Q(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x)问题1f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示f(x)1，g(x).问题2试求yQ(x)，yH(x)的导数.并观察Q(x)，H(x)与f(x)，g(x)的关系.提示y(xx)x，1.Q(x)1.同理，H(x)1.显然Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.导数运算法则注意两

2、函数商的导数中分式的分子上是“”法则语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数(g(x)0)两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母积，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方拓展深化微判断1.函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1).()2.当g(x)0时，.()3.函数f(x)xln x的导数是f(x)x.()提示f(x)(x)ln xx(ln x)ln x1.微训练1.(多选题)下列求导运算正

3、确的是()A.1B.(sin xcos x)cos xsin xC.D.(x2cos x)2xsin x解析A中1，A不正确；D中，(x2cos x)2xcos xx2sin x，D不正确；BC正确.答案BC2.设f(x)x3ax22xb，若f(1)4，则a的值是()A. B. C.1 D.解析f(x)3x22ax2，故f(1)32a24，解得a.答案B3.设f(x)，则f(0)_.解析f(x)，故f(0)1.答案1微思考1.设f(x)tan x，如何求f(x)?提示f(x)tan x，所以f(x).2.设f(x)，如何求f(x)?提示f(x)x22x3x2，故f(x)2x22x3.题型一利用

4、运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数.(1)y(2x21)(3x1)；(2)y；(3)y3xex2xe；(4)y.解(1)法一可以先展开后再求导：y(2x21)(3x1)6x32x23x1，y(6x32x23x1)18x24x3.法二可以利用乘法的求导法则进行求导：y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)4x(3x1)3(2x21)12x24x6x2318x24x3.(2)把函数的解析式整理变形可得：y1，y.(3)根据求导法则进行求导可得：y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xln 2(3e)xln 3e2xln 2.(4)利用除法

5、的求导法则进行求导可得：y.规律方法利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.【训练1】求下列函数的导数.(1)y(x21)(x1)；(2)y3xlg x；(3)yx2tan x；(4)y.解(1)y(x21)(x1)x3x2x1，y3x22x1.(2)y(3x)(lg x

6、)3xln 3.(3)因为yx2，所以y(x2)2x2x.(4)y.题型二求导法则的应用角度1求导法则的逆向应用【例21】已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1对一切xR恒成立，求f(x)的解析式.解由f(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，把f(x)，f(x)代入关于x的方程得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10，又该方程对一切xR恒成立，所以解得所以f(x)2x22x1.规律方法待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.

7、待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.【训练2】设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x1.求yf(x)的函数表达式.解f(x)2x1，f(x)x2xc(c为常数)，又方程f(x)0有两个相等的实根，即x2xc0有两个相等的实根，124c0，即c，f(x)x2x.角度2求导法则在导数几何意义中的应用【例22】已知函数f(x)ax3x2xb(a，bR，a0)，g(x)ex，f(x)的图象在x处的切线方程为yx.(1)求a，b的值.(2)直线yx是否与函数g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由.解(1)f(x)3ax22

8、x1.f(x)的图象在x处的切线方程为yx，f，即3a11，解得a1，又f(x)的图象过点，b，解得b.综上，a1，b.(2)设直线yx与函数g(x)的图象相切于点A(x0，y0).g(x)ex，g(x0)ex0，解得x0，将x0代入g(x)ex，得点A的坐标是，切线方程为y，化简得yx，故直线yx与函数g(x)的图象相切，切点坐标是.规律方法(1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.【训练3】(1)已知函数f(x)

9、，且f(x)的图象在x1处与直线y2相切.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.解(1)由题意得f(x)，因为f(x)的图象在x1处与直线y2相切，所以解得则f(x)；(2)由(1)可得，f(x)，所以直线l的斜率kf(x0)4设t，则t(0，1，所以k4(2t2t)8，则在对称轴t处取到最小值，在t1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是.一、素养落地1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.2.导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视

10、求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.3.和与差的运算法则可以推广f(x1)f(x2)f(xn)f(x1)f(x2)f(xn).4.积、商的求导法则(1)若c为常数，则cf(x)cf(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，(g(x)0)；(3)当f(x)1时，有(g(x)0).二、素养训练1.函数y(1)(1)的导数等于()A.1 B. C. D.解析因为y(1)(1)x1，所以yx11.答案A2.已知函

11、数f(x)xexax，若f(0)2，则实数a的值为()A.1 B.0 C.1 D.2解析f(x)ex(x1)a，故f(0)1a2，所以a1.答案C3.函数y的导数是()A. B.C. D.解析y.答案C4.曲线f(x)xln x在点(1，f(1)处的切线的方程为_.解析f(x)1ln x，则在点(1，f(1)处切线的斜率kf(1)1，又f(1)0，故所求的切线方程为y01(x1)，即xy10.答案xy105.已知f(x)x33xf(0)，则f(1)_.解析由于f(0)是常数，所以f(x)x23f(0)，令x0，则f(0)0，f(1)123f(0)1.答案1基础达标一、选择题1.曲线f(x)x3

12、x25在x1处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.解析因为f(x)x22x，kf(1)1，所以在x1处的切线的倾斜角为.答案B2.函数y的导数是()A. B.C. D.解析y.答案A3.下列运算中正确的是()A.(ax2bxc)a(x2)b(x)(c)B.(sin x2x2)(sin x)2(x2)C.D.(cos xsin x)(sin x)cos x(cos x)cos x解析A项中，(ax2bxc)a(x2)b(x)(c)正确；B项中，(sin x2x2)(sin x)2(x2)错误；C项中，错误；D项中，(cos xsin x)(cos x)sin xcos x(sin x)错误

13、.答案A4.若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A.1 B.2 C.2 D.0解析f(x)4ax32bx，f(x)是奇函数，故f(1)f(1)2.答案B5.已知f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的大致图象是()解析f(x)x2sinx2cos x，f(x)xsin x.易知f(x)xsin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.由f0)存在公共切线，则实数a的取值范围为()A.(0，1) B.C. D.解析yx2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，y(a0)在点处的切线斜率为en，如果两个曲线存在公共切线，那么2men.又由斜率公式可得

14、2m，由此得到m2n2，则4n4en有解，所以函数y4x4与yex的图象有交点即可.当直线y4x4与函数yex的图象相切时，设切点为(s，t)，则es4，且t4s4es，即有切点(2，4)，a，故实数a的取值范围是.故选D.答案D12.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解由7x4y120得yx3.当x2时，y，f(2)，又f(x)a，f(2)，由得解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1

15、知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0).令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 创新猜想13.(多选题)过点P(2，6)作曲线f(x)x33x的切线，则切线方程为()A.3xy0 B.24xy540C.3xy0 D.24xy540解析设切点为(m，m33m)，f(x)x33x的导数为f(x)3x23，则切线斜率k3m23，由点斜式方程可得切线方程为ym33m(3m23)(xm)，将点P(2，6)代入可得6m33m(3m23)(2m)，解得m0或m3.当m0时，切线方程为3xy0；当m3时，切线方程为24xy540.答案AB14.(多空题)如图所示的图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则这个图象的序号是_，f(1)_.解析f(x)x22axa21，f(x)的图象开口向上，排除图象；又a0，f(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f(x)的图象的序号为.由图象特征可知，f(0)0，a210，且对称轴xa0，a1，f(x)x3x21，则f(1).答案