2021衡水名师原创数学专题卷：专题十四《计数原理》.doc

1、2021衡水名师原创数学专题卷专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-4题，9题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（5-8题，10-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.六人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法共有( )种A. B. C. D.2.从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有( )种A. 1

2、190B. 560C. 420D. 33603.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种4.如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数有( )A.24B.48C.96D.1205.设，则的值为( )A2BC1D6.在的展开式中，的系数为（ ）A.B.5C.D.107.展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A180 B90 C-180 D-908.的展开式中的系数为(

3、 )A. 5B. 10C. 15D. 20二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9.有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为，则下列等式能成为的算式是( ).A.；B.；C.；D.；10.已知的展开式中第5项与第七项的二项数系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B. 展开式中第6项的系数最大C. 展开式中存在常数项D

4、. 展开式中含项的系数为4511.对于二项式，以下判断正确的有( )A.存在，展开式中有常数项；B.对任意，展开式中没有常数项；C.对任意，展开式中没有的一次项；D.存在，展开式中有的一次项.12.若且，则实数的值可以为( )A.B.C.0D.1第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13.四位同学站成一排照相，则中至少有一人站在两端的概率为_.14.将编号为1，2，3，4，5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不同的概率为_.15.若的展开式中常数项为150，则的最小值为_16.已知的展开式中各项系数的和为32，则展

5、开式中的系数为_.（用数字作答）四、解答题（本题共6小题，共70分。）17.（本题满分10分）周末老师带领学生去南山公园旅游，为了留下美好的回忆，决定在公园门口合影留念。现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(每题都要用数字作答) （1）两名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，从左向右看，男生按从高到低的顺序站18.（本题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新

6、毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？19.（本题满分12分）一个正方形花圃被分成5份.（1）若给

7、这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?（2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法?20.（本题满分12分）在的展开式中，（1）求展开式中各项的二项式系数和；（2）求第4项的二项式系数和第4项的系数（3）设，求的值21.（本题满分12分）若，且.（1）求的展开式中二项式系数最大的项；（2）求的值22.（本题满分12分）设，若，成等差数列求展开式的中间项；求展开式中所有含x奇次幂的系数和；求展开式中系数最大项答案以及解析1.答案：B解析：甲、乙两人必须不相邻先排列其他4

8、个人，共有种排法，再在4个人形成的5个空中选2个位置排列，共有种排法；不同的排法有（种）2.答案：C解析：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况。若3人中有2男1女,则不同的选法共有种，若3人中有1男2女,则不同的选法共有种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有种，故选：C3.答案：C解析：.4.答案：C解析：分步如下:第一步先涂三点的颜色必须各异,不同的涂色方法种数为种;第二步涂两点,假设已涂的三色顺序分别为,那么可涂的分为: 涂, 可以选择中的一种颜色来涂，有种；涂，可以选择中的一种颜色来涂，有种；所以不同的涂色方法种数有种.5.答案：D解析：令，即令得6.答案：C解析

9、：由二项式定理得的展开式的通项，令，得，所以，所以的系数为，故选C.7.答案：A解析：因为的展开式中只有第六项二项式系数最大,所以,则由,令,解得,所以展开式中的常数项是,故正确答案选A8.答案：C解析：因为的展开式的第项，所以的展开式中的系数为.故选C.9.答案：BC解析：解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人利用直接法，2男3女：；3男2女：；4男1女：；5男：，所以；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即；所以能成为的算式是BC故选：BC10.答案：BCD解析：因为的展开式中第5项与第7项的第二项式系数相等,所以得,因为展开式中各项系数之和为1024,所以令,

10、得得故给定的二项式为展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B正确,展开式的通项通项公式为,令,记得即常数项为第9项,故C正确,令,得,故展开式中含项的系数为故D正确11.答案：AD解析：设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确.故答案选AD.12.答案：AD解析：因为，令得：，令得：，因为，所以，所以，所以或，解得：或.故选：AD.13.答案：解析： 四位同学站成一排照相，基本事件总数，中至少有一人站在两端包含的基本事件个数，故两人中至少有一人站在两端的概率14.答案：解析：由题意知，要求每

11、个盒子都不空，则三个盒子中放入小球的个数可以分别为3，1，1，或2，2，1，若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同，则只能是2，2，1，且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为：.15.答案：解析：的展开式的通项为：由得， 当且仅当时等号成立，的最小值为16.答案：120解析：令,则得展开式中的项为：所以其系数为120.17.答案：（1）两个女生必须相邻而站；把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有（2）4名男生互不相邻；应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有（3）根据题意，先安排老师和女生

12、，在7个空位中任选3个即可，有种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，则男生的顺序只有1种，将4人排在剩余的4个空位上即可则共有种不同站法解析： 18.答案：（1）直接法：若无主任：,若只有1名主任：，共105种.间接法：（2）直接法：间接法：（3）张雅即是主任，也是女医生.属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类第一类：若有张雅第二类：若无有张雅，则李亮必定去：共87种解析：19.答案：（1）先对部分种植，有4种不同的种植方法； 再对部分种植，又3种不同的种植方法；对部分种植进行分类：若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），若与不同，有2

13、种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，共有（种）， 综上所述，共有72种种植方法。 （2）将6个盆栽分成5组，则2-1-1-1-1，有种分法； 将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有（种）放法， 综上所述，答案：1800种不同的放法。 解析： 20.答案：（1）展开式中各项二项式系数的和为： （2）展开式的第四项是：，第四项的二项式系数为，第四项的系数为： （3）因为，所以令上式中则令，则解析： 21.答案：1. 2. 解析：1.因为，且，所以，解得或（舍），故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为；2.令，可知，令，得，所以，故 22.答案：1.依题意得，则，由得可得舍去，或所以展开式的中间项是第五项为：2.，即令则，令则，所以，所以展开式中含的奇次幂的系数和为假设第项的系数为，令解得：，所以展开式中系数最大项为和解析：