3.4基本不等式导学案.doc

1、3.4.1基本不等式【学习目标】能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识【学习重点】基本不等式的证明与应用【学习过程】一、学习准备 如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、学习探究 1命题的探究图34-1-1观察图3-4-1-1思考： （1）上图

2、中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=_;4个直角三角形面积之和=_；外正方形面积=_；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_ _；（教材P97）（3）假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=_;4个直角三角形面积之和=_；外正方形面积=_；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：_；（4）综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：_（5）如果 a 0且b 0 用 和代替不等式

3、中的a、b上不等式可变形为 _ _； （） 我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：_对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。观察思考图3.4-1-2是以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD思考：1圆的半径r=_；2. 连接AD、BD，则ABD是直角三角形吗？ACD与BCD相似吗？ 用a、b表示半弦CD=_； 3. 圆的半径r与半玹CD大小关系如何?什么时候才能相等？用一个不等式表示：_;4用一句话描述半径与半玹的不等关系：_。5如果把看作是正数a、b的等差中

4、项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：_。归纳概括由上面的探究，一般的，当a 0且b 0时有不等式：_，我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）（教材p98公式（）2命题的证明证法一：x，yR，(xy)0, 当且仅当_时，等号成立令x=, y=,所以xy_ ,当且仅当_时，等号成立 评析 证明一是从一个已知成立的不等式x，yR，(xy)0出发推导出要证的不等式，这种证明的方法叫做“综合法”。你能从哪个已知成立的不等式出发来证明这个不等式？证法：证法：想一想：与 适用的范围，a,b有什么不同？_练一练：1.正数a=1，b=9则a、b的算术平均数_；几何平均数_；大小如何？

5、2.正数a=6，b=6则a、b的算术平均数_；几何平均数_；大小如何？3.正数a=1，b=9则a、b的等差中项_；等比中项_；大小如何？4.正数a=4，b=4则a、b的等差中项_；_；大小如何？ 5.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1） ( ) （2） （ ）（3） （ ） （4）ab （ ） （5） （ ）(x0)3.基本不等式的拓展4命题的应用例1（直接利用基本不等式） 教材P99例1，例2例2、（1）都是正数，求证：2（2）练习：三、学习反思：1.本节课推导并证明均值不等式的方法是什么？2.运用均值不等式的条件有哪些？均值不等式有哪些变形？3.本节均值不等式解决了哪些问

6、题？需要注意什么？3.4.2 基本不等式的运用（一）【学习目标】1、能运用基本不等式求某些函数的最值；2、在求最值的过程中，能认清“一正、二定、三相等”的含义和必要性；3、能通过公式及变形的应用，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养创新精神.【学习重点】运用基本不等式求某些函数的最值.【学习过程】一、学习准备我们已经研究了基本不等式，你能梳理出有关的知识吗？（1）对于任意的实数，我们都有 ，等号当且仅当 时取得“=”；（2）若，有，等号当且仅当 时取得“=”；（3）上述不等式常写为 ，等号当且仅当 时取得；该不等式称为 ，它表明两个正数的 平均数不大于它们的 平均数另外，我们在数学1（必修）

7、中学习过函数的最大、最小值概念，也回忆一下：设函数的定义域为，若存在实数满足：（1）对任意的，都有 ；（2）存在，使得 则称为函数的最大值若存在实数满足：（1）对任意的，都有 ；（2）存在，使得 则称为函数的最小值结合函数最值的概念，我们用基本不等式来研究某些函数的最值二、学习探究1最值定理定理：已知x，y都是正数，则（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值2. 最值定理的应用 例1；(1) 若，求的最小值（2）求的最小值.变式练习：1若x0,y0,且,求的最小值. 例3已知，满足，求的最小值变式练习: （1）若x0

8、,y0, 且,求x+3y的最小值（2）若x0,y0, 且,求3x+y的最小值例3若，求的最小值解题反思：由前两个例题的求解，试总结规律：用基本不等式求最值时，（1）各项必须为 ，若为负数，如例1变式练习，则可添负号变为 ；（2）利用不等式必须得到一个形如或的式子，并且这里的，必须是与 无关的 ；（3）按照最值的概念，还必须找到使或中等号成立的，至少找到一个，或能确定其存在简言之，基本不等式求最值时要做到“一 、二 、三取等” 变式练习：若，求的最大值例4.求函数最小值。例5.已知正数练习：若正数 三、学习反思1利用基本不等式求函数的最大、最小值的基本步骤是什么？2你能真正领会“一正、二定、三相

9、等”的含义了吗？3通过本课的学习，你掌握了哪些解题的方法？ 3.4.3 基本不等式的运用（二）【学习目标】1、能熟练地运用基本不等式求最值；2、能够将一些简单的实际问题建立成不等式求最值的数学模型来求解；3、培养学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性.【学习重点】运用基本不等式解决生活中的应用问题.【学习过程】一、学习准备前面研究了如何运用基本不等式求最值，你还能记得吗？1对于两个正数如果和为定值时，则当 时，积有最大值为 ；如果积为定值时，则当 时，和有最小值为 2. 在运用基本不等式求最值时，特别要注意的是“一 、二 、三 ”二、学习活动利用基本不等式解决实际应用中的最值问题例1

10、如图3.4.4-1，某养殖场要围成相同面积的长方形鸭圈四间，一面可利用原有的墙，其他各面用竹篱笆围成现有可围36米长竹篱笆的材料，每间鸭圈的长、宽各为多少米时，可使每间鸭圈的面积最大？（思路启迪：可把鸭圈的长、宽设为变量，将面积建立成目标函数)解：方法归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案变式练习：如图3.4.4-2，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个栏目（即图中的阴影部分），这两个栏目的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？例2.若不等式恒成立，则a的取值范围是多少？例3.，求n的最大值。三、学习反思1你对运用基本不等式解决实际问题的步骤及方法是否有了初步的认识？2你能独立地解决一道实际应用题吗？