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类型-示范-公开课教案(-单调性与最大(小)值-).doc

  • 上传人(卖家):刘殿科
  • 文档编号:5815001
  • 上传时间:2023-05-11
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    示范 公开 教案 调性 最大
    资源描述:

    1、1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值整体设计教学分析在研究函数的性质时,单调性和最值是一个重要内容.实际上,在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本小节内容,正是初中有关内容的深化和提高:给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的,还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想,用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象

    2、是发现函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求函数的单调区间,提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例,使学生体会、理解到函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观

    3、性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排2课时设计方案(一)教学过程第1课时 函数的单调性导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,

    4、得到了一些数据.时间间隔t0分钟20分钟60分钟89小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(可以借助信息技术画图象)图1-3-1-1学生:先思考或讨论,回答:记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y

    5、轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题.思路2.在第23届奥运会上,中国首次参加就获15枚金牌;在第24届奥运会上,中国获5枚金牌;在第25届奥运会上,中国获16枚金牌;在第26届奥运会上,中国获16枚金牌;在第27届奥运会上,中国获28枚金牌;在第28届奥运会上,中国获32枚金牌.按这个变化趋势,2008年,在北京举行的第29届奥运会上,请你预测一下中国

    6、能获得多少枚金牌?学生回答(只要大于32就可以算准确),教师:提示、点拨,并引出本节课题.推进新课新知探究提出问题如图1-3-1-2所示为一次函数y=x,二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?图1-3-1-2函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?如何理解图象是上升的?对于二次函数y=x2,列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.x-4-3-2-101234f(x)=x2表(1)在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+)上是增函数.谁能给出增函数的定义?增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)x

    7、2时,都有f(x1)f(x2)”,这样行吗?增函数的定义中,“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?增函数的几何意义是什么?类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?讨论结果:函数y=x的图象,从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.按从左向

    8、右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.在区间(0,+)上,任取x1、x2,且x1x2,那么就有y1y2,也就是有f(x1)f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)f(x2),即都是相

    9、同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“x2时,都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.从左向右看,图象是上升的.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.总结:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),那么就

    10、说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.函数y=f(x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.应用示例思路1例1如图1-3-1-3是定义在区间5,5上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?图1-3-1-3活动:教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数.解:函数y=f(x)的单调区间是-5,2),-2,1),1,3)

    11、,3,5.其中函数y=f(x)在区间-5,2),1,3)上是减函数,在区间-2,1),3,5上是增函数.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是第一步:画函数的图象;第二步:观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练课本P32练习1、3.例2物理学中的玻意耳定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V

    12、减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明.活动:学生先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有证明思路时,教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题,并标出关键的地方,以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时,压强p将增大是指函数p=是减函数;刻画体积V减少时,压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时,常用单调性的定义来解决.解:利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+)上是减函数即可.点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步:在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1x2;第二步:比较f

    13、(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步:再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为:“去比赛”.变式训练课本P32练习4.思路2例1(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数;(3)当函数f(x)在区间(-,m上是增函数时,求实数m的取值范围.图1-3-1-4解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x1、x2(-,1,且x1x2,则有f(x1)-f(x2)=(-x12+2

    14、x1+3)-(-x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).x1、x2(-,1,且x1x2,x1-x20,x1+x20.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数.(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-,m位于对称轴的左侧时满足题意,则有m1,即实数m的取值范围是(-,1.点评:本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析;二次函数在对称轴两侧

    15、的单调性相反;二次函数在区间D上是单调函数,那么二次函数的对称轴不在区间D内.判断函数单调性时,通常先画出其图象,由图象观察出单调区间,最后用单调性的定义证明.判断函数单调性的三部曲:第一步,画出函数的图象,观察图象,描述函数值的变化趋势;第二步,结合图象来发现函数的单调区间;第三步,用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题,会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切,是高考命题的热点题型

    16、.变式训练已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.活动:(1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数,用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写;(2)证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.解:(1)设x1、x2R,且x1x2.则F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1).又函数f(x)是R上的增函数,x1x2,a-

    17、x2a-x2.f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)0.F(x1)F(x2).F(x)是R上的增函数.(2)设点M(x0,F(x0)是函数F(x)图象上任意一点,则点M(x0,F(x0)关于点(,0)的对称点M(a-x0,-F(x0).又F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)f(a-x0)-f(x0)-f(x0)-f(a-x0)=-F(x0),点M(a-x0,-F(x0)也在函数F(x)图象上,又点M(x0,F(x0)是函数F(x)图象上任意一点,函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.例2(1)写出

    18、函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?图1-3-1-5(3)定义在-4,8上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.活动:学生先思考,再回答,教师适时点拨和提示:(1)画出二次函数y=x2-2x的图象,借助于图象解决;(2)类似于(1);(3)根据轴对称的含义补

    19、全函数的图象,也是借助于图象写出单调区间;(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论,利用轴对称的定义证明.解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-,1),单调递增区间是(1,+);对称轴是直线x=1;区间(-,1)和区间(1,+)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-,0),单调递增区间是(0,+);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-,0)和区间(0,+)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x-4,8的图象如图1-3-1-6.图1-3-1-6函数y=f(x)的单调递增区间是-4,-1,2,5;单调递减区间是5,

    20、8,-1,2;区间-4,-1和区间5,8关于直线x=2对称,而单调性相反,区间-1,2和区间2,5关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间a,b上是增函数,区间a,b关于直线x=m的对称区间是2m-b,2m-a.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-bx12m-x2a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又函数y=f(x)在a,b上是增函

    21、数,f(2m-x1)-f(2m-x2)0.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函数y=f(x)在区间2m-b,2m-a上是减函数.当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间a,b上是增函数时,其在a,b关于直线x=m的对称区间2m-b,2m-a上是减函数,即单调性相反.因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.点评:本题通过归纳猜想证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住,可以提高解题速度.图象类似于人的照片,看

    22、见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点,同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.变式训练函数y=f(x)满足以下条件:定义域是R;图象关于直线x=1对称;在区间2,+)上是增函数.试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).活动:根据这三个条件,画出函数y=f(x)的图象简图(只要能体现这三个条件即可),再根据图象简图,联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.解:定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式,常是整式;图象关于直线x=1对称的函数解析式满足:f(x)=f(2-x),基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数

    23、,则由想到了二次函数;结合二次函数的图象,在区间2,+)上是增函数说明开口必定向上,且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间2,+)内,故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a0).结合二次函数的图象和性质,可知这三条都可满足开口向上的抛物线,故有:形如y=a(x-1)2+b(a0),或为y=a|x-1|+b(a0)等都可以,答案不唯一.知能训练课本P32练习2.【补充练习】1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.解:正比例函数:y=kx(k0)当k0时,函数y=kx在定义域R上是增函数;当k0时,函数y=的单调递减区间是(-,0),(0,+),不存在单调递增区间;当k0时,函数y=

    24、kx+b在定义域R上是增函数;当k0时,函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-,,单调递增区间是,+);当a0时,函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是,+),单调递增区间是(-,.点评:以上基本初等函数的单调性作为结论记住,可以提高解题速度.2.已知函数y=kx+2在R上是增函数,求实数k的取值范围.答案:k(0,+).3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-,2)上是减函数,在(2,+)上是增函数,求实数a的值.答案:a=2.4.2005年全国高中数学联赛试卷,8已知f(x)是定义在(0,+)上的减函数,若f(2a2+a+1)f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是_.分析

    25、:f(x)的定义域是(0,+),解得a1.f(x)在(0,+)上是减函数,2a2+a+13a2-4a+1.a2-5a0.0a5.0a或1a5,即a的取值范围是(0,)(1,5).答案:(0,)(1,5)点评:本题实质是解不等式,但是这是一个不具体的不等式,是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时,常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”,转化为整式不等式.拓展提升问题:1.画出函数y=的图象,结合图象探讨下列说法是否正确?(1)函数y=是减函数;(2)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+).2.对函数y=,取x1=-1x2=2,则f(x1)=-1f(x2)=,满足当x1x2时f(x1)0

    26、)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?图1-3-1-10设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在0,+)上为增函数?设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为第三阶段的学习作好铺垫.问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?设计意图:让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答

    27、不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程:问题:引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数),同时明确函数的图象变化(单调性)是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.问题:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观、描述性的认识.学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题:通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题:对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.问题

    28、:师生共同探究:利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结:1.函数单调性的几何意义:如果函数y=f(x)在区间D上是增(减)函数,那么在区间D上的图象是上升的(下降的).2.函数单调性的定义:略.可以简称为步调一致增函数,步调相反减函数.讨论结果:(1)函数y=x+2,在整个定义域内y随x的增大而增大;函数y=-x+2,在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2,在0,+)上y随x的增大而增大,在(-,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=,在(0,+)上y随x的增大而减小,在(-,0)上y随x的增大而减小.如果函数f(x)在某个区间上

    29、随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数f(x)在该区间上为增函数;如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数f(x)在该区间上为减函数.不能.(1)在给定区间内取两个数,例如2和3,因为2232,所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.(2)仿(1),取多组数值验证均满足,所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.(3)任取x1、x20,+),且x1x2,因为x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)0,即x12x22.所以f(x)=x2在0,+)上为增函数.略应用示例思路1例1课本P29页例1.思路分析:利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论,再回答.点评:

    30、本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤:画函数的图象;观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象,常见画法有描点法和变换法.答案:略.变式训练课本P32练习4.例2课本P32页例2.思路分析:按题意,只要证明函数p=在区间(0,+)上是减函数即可,用定义证明.点评:本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:(定义法)任取x1、x2D,且x1x2;作差f(x1)f(x2);变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负);下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

    31、易错分析:错取两个特殊值x1、x2来证明.答案:略.变式训练判断下列说法是否正确:已知f(x)=,因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是增函数.若函数f(x)满足f(2)0,能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗?活动:引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在0,+)上是增函数.讨论结果:能.例2用计算机画出函数y=的图象,根据图象指出单调区间,并用定义法证明.思路分析:在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的,在哪个区间函数图象是下降的,借助于单调性的几何意义写出单调区间,再用定义证明.教师画出图象,学生回答,如果遇到障碍,就提示利用函数单

    32、调性的几何意义写出单调区间.点评:讨论函数单调性的三部曲:第一步,画函数的图象;第二步,借助单调性的几何意义写出单调区间;第三步,利用定义加以证明.答案:略.变式训练画出函数y=的图象,根据图象指出单调区间.活动:教师引导学生利用变换法(也可以用计算机)画出图象,根据单调性的几何意义写出单调区间,再利用定义法证明.答案:略.知能训练课本P32练习2.拓展提升试分析函数y=x+的单调性.活动:先用计算机画出图象,找出单调区间,再用定义法证明.答案:略.课堂小结学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.(1)概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论.(3)数学思想方法:数形结合.(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.设计感想本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.作业:课本P39习题1.3A组2、3、4.(设计者:张新军)

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