2022届中考数学压轴题含答案.docx

1、2022年中考数学压轴题1如图1，抛物线yax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，A（5，0）且AB3OC，P为x轴上方抛物线上的动点（P不与A，B重合），过点P作PQx轴于点Q，作PM与x轴平行，交抛物线另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形PQNM（1）求抛物线的函数表达式；（2）设矩形PQNM的周长为C，求C的取值范围；（3）如图2，当P点与C点重合时，连接对角线PN，取PN上一点D（不与P，N重合），连接DM，作DEDM，交x轴于点E试求DMDE的值；试探求是否存在点D，使DEN是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点D坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当x0时，yax

2、2+bx+22C（0，2），OC2AB3OC6A（5，0），即OA5OBABOA1B（1，0）把A、B坐标代入抛物线解析式得：25a+5b+2=0a-b+2=0 解得：a=-25b=85 抛物线的函数表达式为y=-25x2+85x+2（2）设P（p，-25p2+85p+2）PQx轴于Q，PMx轴PQ=-25p2+85p+2，点P、M关于抛物线对称轴对称抛物线对称轴：直线x=-852(-25)=2xM2+（2p）4pPM（4p）p42pC2（PM+PQ）2（42p-25p2+85p+2）=-45p2-45p+12=-45(p+12)2+6151p2当p=-12时，C有最大值为615；当p2时，C

3、=-454-452+12=365C的取值范围是365C615（3）过点D作GFx轴于点F，交PM于GDFEDGM90，DFy轴四边形MNFG是矩形，DFNPONDFOP=FNONP点与C点重合，P、M关于直线x2对P（0，2），M（4，2），N（4，0）GFMNOP2，PMON4DFFN=OPON=24=12DEDMMDE90MDG+EDFEDF+DEF90MDGDEFMDGDEFDMDE=MGDF=FNDF=2存在点D，使DEN是等腰三角形设直线PN解析式为ymx+n0+n=24m+n=0 解得：m=-12n=2直线PN解析式为y=-12x+2设D（d，-12d+2）（0d4）OFd，DF=

4、-12d+2FNONOF4d，DGFGDF2（-12d+2）=12dMDGDEFDGEF=DMDE=2EF=12DG=14d当点E在点N左侧时，如图1，四边形DENM中，MDEMNE90，DMN90DEN360MDEMNEDMN180DMN90当DEN是等腰三角形时，DEENFNEF4d-14d4-54dRtDEF中，DF2+EF2DE2（-12d+2）2+（14d）2（4-54d）2解得：d14（舍去），d2=125-12d+2=-12125+2=45点D坐标为（125，45）当点E在点N右侧时，如图2，DNE90当DEN是等腰三角形时，DNENEFFN=14d（4d）=54d4RtDFN中

5、，DF2+FN2DN2（-12d+2）2+（4d）2（54d4）2解得：d1=855，d2=-855（舍去）-12d+2=-12855+22-455点D坐标为（855，2-455）综上所述，符合条件的点D坐标为（125，45）与（855，2-455）2如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点D的坐标为（1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角三角形，且MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，

6、请说明理由解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3）ax2+2ax3a，即3a2，解得：a=-23，故抛物线的表达式为：y=-23x2-43x+2，（2）连接OP，设点P（x，-23x2-43x+2），则SS四边形ADCPSAPO+SCPOSODC=12AOyP+12OC|xP|-12COOD=123（-23x2-43x+2）+122（x）-1221=-x23x+2，10，故S有最大值，当x=-32时，S的最大值为174；（3）存在，理由：MNO为等腰直角三角形，且MNO为直角时，点N的位置如下图所示：当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（M1N1O

7、）：设点N1的坐标为（x，-23x2-43x+2），则M1Ex+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，FN1O+M1N1E90，M1N1E+EM1N190，EM1N1FN1O，M1EN1N1FO90，ON1M1N1，M1N1EN1OF（AAS），M1EN1F，即：x+1=-23x2-43x+2，解得：x=-7734（舍去负值），则点N1（-7+734，-3+734）；N2的情况（M2N2O）：同理可得：点N2（-1-734，-3+734）；当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（-1+734，-3-734）、（-7

8、-734，-3-734）综上，点N的坐标为：（-7+734，-3+734）或（-1-734，-3+734）或（-1+734，-3-734）或（-7-734，-3-734）3平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=13x2-23x+c交x轴于A，B两点（如图），顶点是C，对称轴交x轴于点D，OB2OA，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限抛物线上一点，连接ED并延长交抛物线于点F，连接EC，FC，求证：ECF90；（3）如图3，在（2）问条件下，M，N分别是线段OA，CD延长线上一点，连接MN，CM，过点C作CQMN于Q，CQ交DM于点P，延长FE交MC于R，若NMD2D

9、MC，DN+BOMP，MR：RC7：3，求点F坐标解：（1）抛物线对称轴为：直线x1，D（1，0），由抛物线对称性知：DADB，设DADBm，则：A（1m，0），B（1+m，0），OB2OA1+m2（m1），解得：m3A（2，0），B（4，0），将A（2，0）代入y=13x2-23x+c，得0=13（2）2-23（2）+c，解得：c=-83抛物线的解析式为：y=13x2-23x-83；（2）如图2，y=13x2-23x-83=13(x-1)2-3；顶点C（1，3），设点E（n，13n2-23n-83），F（m，13m2-23m-83），过点E作EHCD于H，过F作FGCD于G，则G（1，13m

10、2-23m-83），H（1，13n2-23n-83），EH1n，FGm1，DG=13m2-23m-83，DH（13n2-23n-83），EHCD，FGCDDHEDGF90EDHFDGDEHDFGDHEH=DGFG，即-(13n2-23n-83)1-n=13m2-23m-83m-1，整理得：n1+9n-1=m1+-9m-1n1m1，n1=-9m-1（m1）（n1）9tanGFC=CGFG=13m2-23m-83-(-3)m-1=13（m1），tanECH=EHCH=1-n13n2-23n-83-(-3)=31-ntanGFCtanECH=13(m-1)31-n=(m-1)(1-n)9=1tanG

11、FCtanECHGFCECHGFC+FCG90ECH+FCG90即ECF90（3）如图3，以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SGDM于G，连接MT，作SCT平分线交MT于I，过点I作IJCT于J，作ILKT于L，作IZSQ于Z，设DMt，则DTTKt，正方形DMKT，DTMKTMDMT45四边形TLIJ是正方形，IJTJTLCI平分SCTJCI=12SCTCQMNSCT+MNDNMD+MND90NMDSCTNMD2DMC，DMC=12SCTJCIDMCJCI+DTMDMC+DMT即CIMCMICMCIMDCCJI90MDCCJI（AAS）IJCD3JTTL3在MD

12、N和SGP中MDN=SGP=90NMD=PSGMD=SG MDNSGP（AAS）DNPGDN+BOMP，MG+PGMPMGBO4KS4SLt7，易证：SZSLt7，CZCJt，CS2t7在RtCST中，ST2+CT2CS2（t4）2+（t+3）2（2t7）2，解得：t112，t21（不符合题意，舍去）M（11，0），过点R作RWDM于W，则MRWMCDMR：RC7：3，MRMC=710，MWMD=RWCD=MRMC=710，MW=425，RW=2110R（-135，-2110）设直线DR解析式为ykx+b，则-135k+b=-2110k+b=0解得：k=712b=-712直线DR解析式为y=7

13、12x-712解方程组y=712x-712y=13x2-23x-83，得x1=5y1=73，x1=-54y2=-2116；E（-54，-2116），F（5，73）4如图，AB是O的直径，点C是O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得ACQABC（1）求证：直线PQ是O的切线（2）过点A作ADPQ于点D，交O于点E，若O的半径为2，sinDAC=12，求图中阴影部分的面积解：（1）证明：如图，连接OC，AB是O的直径，ACB90，OAOC，CABACOACQABC，CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即OCPQ，直线PQ是O的切线（2）连接OE，sinDAC=12，ADPQ，DA

14、C30，ACD60ABCACD60，CAB906030，EAODAC+CAB60，又OAOE，AEO为等边三角形，AOE60S阴影S扇形SAEOS扇形-12OAOEsin60=6036022-122232=23-3图中阴影部分的面积为23-35如图，在ABC中，ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，连接CD交AB于点ME是线段CM上的点，连接BEF是BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF（1）求证：BEF是直角三角形；（2）求证：BEFBCA；（3）当AB6，BCm时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值（1）证明：ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到AB

15、D，ADBACB90，EFBEDB，EBFEDF，EFB+EBFEDB+EDFADB90，BEF90，BEF是直角三角形（2）证明：BCBD，BDCBCD，EFBEDB，EFBBCD，ACAD，BCBD，ABCD，AMC90，BCD+ACDACD+CAB90，BCDCAB，BFECAB，ACBFEB90，BEFBCA（3）解：设EF交AB于J连接AEEF与AB互相平分，四边形AFBE是平行四边形，EFAFEB90，即EFAD，BDAD，EFBD，AJJB，AFDF，FJ=12BD=m2，EFm，ABCCBM，BC：MBAB：BC，BM=m26，BEJBME，BE：BMBJ：BE，BE=m2，BEFBCA，ACEF=BCBE，即36-m2m=mm2，解得m23（负根已经舍弃）