2021年高考数学专题13-概率(原卷版)-.doc
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- 2021 年高 数学 专题 13 概率 原卷版
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1、专题13 概率易错点1 忽略概率加法公式的应用前提致错某商店日收入(单位:元)在下列范围内的概率如下表所示:日收入1000, 1500)1500,2000)2000, 2500)2500, 3000)概率0.12ab0.14已知日收入在1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在1500,3000)(元)范围内的概率.【错解】记这个商店日收入在1000,1500),1500,2000),2000,2500),2500,3000) (元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【
2、错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P(B)+P(C)+P(D)1,故事件A与事件B+C+D并不是对立事件.【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在应用概率加法公式时,一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A,B,有,只有当事件A,B互斥时,等号才成立.1已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率
3、.【答案】(1)甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22(2)甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9【解析】记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,则P(A)10.560.220.120.1,“甲射击一次,命中7环”为事件B,则P(B)0.12,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件,(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为A+B,由互斥事件的概率加法公式,P(A+B)P(A)+P(B)0.1+0.120.22答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22(2)方法1:记“甲射击一次,命中8环”为事件C,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件D,则“甲射击一次,至少命
4、中7环”的事件为B+C+D,P(B+C+D)P(B)+P(C)+P(D)0.12+0.22+0.560.9答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9方法2:“甲射击一次,至少命中7环”为事件,10.10.9答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9【名师点睛】本题考查概率的求法,是基础题解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地运用对立事件的概率的求法易错点2 混淆“等可能”与“非等可能”从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率.【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为.【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会
5、,它们不是等可能的.【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为.利用古典概型的概率公式求解时,注意需满足两个条件:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)试验的每个基本事件是等可能发生的.22019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观,那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为ABCD【答案】B【解析】可能出现的选择有种,满足条件要求的种数为种,则,故选B.【名师点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解,难度较易.古典概型
6、的概率计算公式:(目标事件的数量)(基本事件的总数).错点3 几何概型中测度的选取不正确在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C(1)在斜边AB上任取一点M,求AMAC的概率;(2)在ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率.【错解】(1)如图所示,在AB上取一点C,使AC=AC,连接CC.由题意,知AB=AC由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB所以.(2)在ACB的内部作射线,则所求概率为.【错因分析】第(2)问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确,因为在ACB的内部作射线是均匀分布的,所以射线
7、作在任何位置都是等可能的,则涉及的测度应该是角度而不是长度.【试题解析】(1)如图所示,在AB上取一点C,使AC=AC,连接CC.由题意,知AB=AC由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB所以.(2)由于在ACB内作射线CM,等可能分布的是CM在ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是ACB,又,所以.对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可;(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个
8、变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型3如图,在直角梯形中,是的中点,若在直角梯形中投掷一点,则以,2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为ABCD【答案】C【解析】由题意,得,故为三角形的最长边长,以,2为三边构成的三角形为钝角三角形,即以原点为圆心,半径为的圆,故选C.(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关;(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明
9、确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题;(3)与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题易错点4 错解随机变量的取值概率而致错从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛,设被选中的女生的人数为(1)求的分布列;(2)求所选女生的人数至多为1的概率【错解】(1)由题设可得的可能取值为0,1,2,且,所以的分布列为012(2)所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为,其概率为【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误,事实上随机变量服从参数为,的超几何分布【试题解析】(1)由题设可得的可能取值为0,
10、1,2,且,所以的分布列为012(2)所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为,其概率为4某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每件一等品都能通过检测,每件二等品通过检测的概率为现有件产品,其中件是一等品,件是二等品(1)随机选取件产品,设至少有一件通过检测为事件,求事件发生的概率;(2)随机选取件产品,其中一等品的件数记为,求的分布列【答案】(1);(2)分布列见解析【解析】(1)由题可得,所以随机选取3件产品,至少有一件通过检测的概率为(2)由题可知的所有可能取值为,则随机变量的分布列为0123易错点5 对超几何分布的概念理解不透彻而致错 盒中装有12个零件,其中有9个正品,3个次品,从中
11、任取一个,若取出的是次品不再放回,再取一个零件,直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的分布列【错解】由题意可知,服从超几何分布,其中,所以在取得正品之前已取出次品数的分布列为,所以已取出次品数的分布列为0123【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念本题是不放回抽样,“”表示“第一次取到次品,第二次取到正品”,“”表示“前两次都取到次品,第三次取到正品”,属于排列问题而超几何分布是一次性抽取若干件产品,属于组合问题【试题解析】由题易得的可能取值为0,1,2,3,所以已取出次品数的分布列为0123求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识,求出随机变量每个取值的概率,注意概率的取值
12、范围(非负),在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验5某校举办校园科技文化艺术节,在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学,每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听生活趣味数学,其余4人选听校园舞蹈赏析;B组2人选听生活趣味数学,其余3人选听校园舞蹈赏析.(1)若从此10人中任意选出3人,求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率;(2)若从A、B两组中各任选2人,设为选出的4人中选听生活趣味数学的人数,求的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)设“选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析”为事件,则,
13、答:选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率为. (2)可能的取值为,故.所以的分布列为:X0123所以的数学期望为:.【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望,属于中档题.(1)利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出;(2)X可能的取值为,利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望.掌握离散型随机变量的分布列,须注意:(1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量X所有可能取得的值;第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果
14、的实数表示的每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误易错点6 混淆互斥事件与相互独立事件而致错甲投篮命中率为,乙投篮命中率为,每人投3次,两人都恰好投中2次的概率是多少?【错解】设“甲恰好投中2次”为事件,“乙恰好投中2次”为事件,则“两人都恰好投中2次”为事件,所以【错因分析】产生错解的原因是把相互独立事件同时发生当成互斥事件来考虑,将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和【试题解析】设“甲恰好投中2次”为事件,“乙恰好投中2次”为事件,且,相互独立,则“两人都恰好投中2次”为事件,所以1运用公式P(A
15、B)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A、B相互独立时,公式才成立2独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件6甲射击时命中目标的概率为,乙射击时命中目标的概率为,则甲乙两人各自射击同一目标一次,则该目标被击中的概率为ABCD【答案】D【解析】记事件甲乙两人各自射击同一目标一次,该目标被击中,则事件甲乙两人各自射击同一目标一次,两人都未击中目标,由独立事件的概率乘法公式得,故选D【名师点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式,解题时要弄清楚各事件之间的关系,可以采用分类
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