2021年高中数学第二章推理与证明-学案新人教A版选修1-2-.doc

1、第二章推理与证明人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了正式提出地图着色问题的时间是18

2、52年但这个问题迟迟未得到解决直到1976年9月，美国数学会通告宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2 000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1 200个小时，终于证明了四色问题四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主预习探新知情景引入人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发

3、现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行，绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科学家们猜测火星上也可能有生命存在新知导学1归纳推理由某类事物的_部分对象_具有某些特征，推出该类事物的_全部对象_都具有这些特征的推理，或者由_个别事实_概括出_一般结论_的推理，称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由_部分_到_整体_、由_个别_到_一般_的推理2金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为_归纳推理_3类比推理由两类对象具有_某些类似特征_和其

4、中一类对象的_某些已知特征_，推出另一类对象也具有_这些特征_的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由_特殊到特殊_的推理4合情推理归纳推理和类比推理都是根据_已有的事实_，经过_观察、分析、比较、联想_，再进行_归纳_、_类比_，然后提出_猜想_的推理我们把它们称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理5归纳推理是由部分到_整体_，由具体到_抽象_，由特殊到_一般_，从个别事实中概括出_一般结论_的思维模式类比推理是在_两类不同_的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在_相同或相似_之处的一种推理模式类比推理是由_特殊_到_特殊_的推理预习

5、自测1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了(B)A归纳推理B类比推理C没有推理 D以上说法都不对解析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理2下列表述正确的是(A)归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理ABC D解析根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理故对错；类比推理是由特殊到特殊的推理故对错，则正确的是，故选A3观察式子：1，1

6、，1，则可归纳出式子(C)A1(n2)B1(n2)C1(n2)D1(n2)解析由题意可知，当n2时，第n个式子左边是1，右边为，故选C4如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，根据图案中点的排列规律，组成第(50)个图案的点的个数是(B)A2 450 B2 451C2 452 D2 453解析设组成第(n)个图案的点的个数为an，由题意可得a11，a23，a37，a413，a521，故a2a12，a3a24，a4a36，a5a48，由此可推得当n2时，anan12(n1)，以上(n1)

7、个式子相加可得：(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2462(n1)，化简可得ana1n(n1)，即ann(n1)1故a50504912 451，即第(50)个图案由2 451个点组成故选B5设f(n)n2n41，nN*，计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n40验证猜想的结论是否正确解析首先分析题目的条件，并对n1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的结果进行归纳推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)52541

8、71，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)82841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.由此猜想，n为任意正整数时，f(n)n2n41都是质数当n40时，f(40)40240414141，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确互动探究攻重难互动探究解疑命题方向数与式的归纳典例1观察以下各等式：sin230cos260sin30cos60，sin220cos250sin20cos50，sin215cos245sin15cos45分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明思路分析观察三个等式的左右两边的特点，包括

9、三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明解析猜想：sin2cos2(30)sincos(30)证明：sin2cos2(30)sincos(30)1sin(230)sin(302)sin(230)所以sin2cos2(30)sincos(30)成立规律方法1.归纳推理的一般步骤(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题(3)猜测一般性结论2归纳推理的基本逻辑形式是：S1是(或不是或具有性质)P，S2是(或不是或具有性质)P，S3是(或不是或具有性质)P，Sn是(或不是或具有性质)PS1、S2、

10、S3、Sn是S类的对象，所有S都是(或都不是或都具有性质)P3由已知数、式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点(4)运用归纳推理得出一般结论跟踪练习1_观察下列不等式：11，试写出第n个不等式思路分析观察各式不难发现，左侧括号内是连续奇数的倒数之和，右侧括号内是连续偶数的倒数之和，而另一个数与项数有关，从而得出一般性结论解析第1个不等式为11，即11；第2个不等式为，即；第3个不等式为，即；猜测第n个不等式为(nN)命题方向图形中的归纳推理典例2下图是

11、用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖_4n8_块(用含n的代数式表示)思路分析分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论解析第(1)，(2)，(3)，个图案灰色瓷砖数依次为15312,24816,351520，由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n2)(n4)n(n2)4(n2)4n8规律方法通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：跟踪练习2_有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图

12、案中有菱形纹的正六边形的个数是(B)A26B31C32 D36解析有菱形纹的正六边形个数如下表：图案第一个第二个第三个个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B命题方向数列中的归纳推理典例3下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：(1)1,5,9,13,17，(21)；(2)，1,1，1，2，(3)；(3)，()思路分析要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关

13、系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等解析(1)考察相邻两数的差：514,954，1394,17134，可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17421(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改写为，1，可以发现：1，1，后一个数是前一个数的倍，按照这个规律，括号中的数应是3(3)每个数都是算术根，根号下有两项，一项是整数n1，另一项是分数，分子与整数项相同，分母是分子的平方减1，按此规律，下一个数应为规律方法由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是

14、解答数列问题常用的方法跟踪练习3_若an12an1(n1,2,3，)且a11(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an解析(1)由已知a11，an12an1，得a23221，a37231，a415241，a531251(2)归纳猜想，得an2n1(nN*)将命题的条件、结论类比推广命题方向典例4已知ABC的边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，用SABC表示ABC的面积，则SABCr(abc)类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VABCD_R(SABCSACDSBCDSABD)_思路分析解答本题的关键是确定好类比对象平面中圆类比空间中球，平面中长度类比

15、空间中面积，平面中面积类比空间中体积解析内切圆半径r内切球半径R，三角形的周长：abc三棱锥各面的面积和：SABCSACDSBCDSABD，三角形面积公式系数三棱锥体积公式系数类比得三棱锥体积VABCDR(SABCSACDSBCDSABD)规律方法类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)(3)检验这个猜想一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重

16、要的实用价值跟踪练习4_在ABC中，若ABAC且ADBC于D，则有，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由解析猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD于E，则如图所示，连接BE并延长交CD于FABAC，ABAD，AB平面ACD而AF平面ACD，ABAF在RtABF中，AEBF，在RtACD中，AFCD，故猜想正确易混易错警示典例5若数列an(nN*)是等差数列，则有数列bn(nN*)也是等差数列类比上述性质，相应地：若数列cn(nN*)是等比数列，且cn0，则数列dn！_(nN*)也是等比数列错解，类比结论时未考虑等差数列与等比数列的运算性质

17、的区别辨析等差数列的运算相似特性是和的形式，等比数列的运算相似特性是积的形式正解由等差、等比数列之间的运算的相似特征知“和积，商开方”，容易得出dn也是等比数列学科核心素养新定义、新运算中的类比问题1围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，已成为一种趋势其目的是使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合与相互渗透，真正考查考生的学习潜能和个性品质在这个背景下近几年出现了形式新颖的试题，其中以新定义型、新运算型为代表，主要考查学生的类比迁移能力2.解答此类问题时，首先要

18、借助于特例来读懂、理解新定义、新运算，然后根据新定义、新运算做出类比推理3类比推理的一般形式：对象A：具有属性a1，a2，an，m对象B：具有属性a1，a2，an，m(a1与a1，a2与a2，an与an相同或相似)对象B具有属性m(m与m相同或相似)典例6若记“*”表示两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b，则两边均含有运算符号“*”和“”，那么对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是_(a*b)c(a*c)(b*c)或(a*b)c(b*a)c等_解析解决这道试题要把握住a*b，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“”，则可容易得到a(b*

19、c)(ab)*(ac)正确的结论还有：(a*b)c(a*c)(b*c)，(a*b)c(b*a)c等规律方法由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一2.1.2演绎推理自主预习探新知情景引入从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一栋漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的

20、女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道新知导学1演绎推理从_一般性的原理_出发，推出_某个特殊_情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由_一般到特殊_的推理2三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的_一般原理_；(2)小前提所研究的_特殊情况_；(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的_判断_其一般推理形式为大前提：M是P小前提：S是M结论：_S是P_利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，

21、S是M的一个子集，那么_S中所有元素也都具有性质P_3在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么_结论_必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论_不一定_正确预习自测1下列说法正确的是(D)A演绎推理推出的结论一定正确B演绎推理是由特殊到一般的推理C演绎推理就是合情推理D演绎推理是由一般到特殊的推理解析A错，只有前提和推理形式都正确，其结论才一定正确，否则，就不正确；合情推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理或由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，所以B、C均错，D正确2“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数

22、，故该奇数是3的倍数”上述推理(C)A小前提错B结论错C正确 D大前提错解析933，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确3已知在ABC中，A30，B60，求证：ab证明：ab画框线部分是用演绎推理证明ab中的(B)A前提B小前提C结论 D三段论解析求证：“ab”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：A30，B60，则AB，结论：所以ab故证明画线部分是演绎推理的小前提，故选B4已知a，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系是_mn_解析a(0,1)，函数f(x)ax是减函数，又f(m)f(n)，mn5判

23、断下列推理是否正确？为什么？“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)”解析不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件互动探究攻重难互动探究解疑命题方向把演绎推理写成三段论形式典例1将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.33是有理数；(4)ysinx(xR)是周期函数思路分析首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式解析(1)向量是既有大

24、小又有方向的量，大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向结论(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提0.33是循环小数，小前提0.33是有理数结论(4)三角函数是周期函数，大前提ysinx是三角函数，小前提ysinx是周期函数结论规律方法1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来2判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前

25、提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确跟踪练习1_将下列推理写成三段论推理的形式：(1)所有的奇数都不能被4整除，所以15不能被4整除；(2)三角形的内角和为180，RtABC的内角和为180；(3)菱形对角线互相平分；(4)函数f(x)x3sinx是奇函数解析(1)所有的奇数都不能被4整除(大前提)15是奇数(小前提)15不能被4整除(结论)(2)三角形的内角和为180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的内角和为180.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分(大前提)菱形是平行四边形(小

26、前提)菱形对角线互相平行(结论)(4)若对函数f(x)定义域中的任意x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数(大前提)对于函数f(x)x3sinx，当xR时，有f(x)f(x)(小前提)所以函数f(x)x3sinx是奇函数(结论)命题方向三段论在证明几何问题中的应用典例2已知在梯形ABCD中(如图)，DCDA，ADBC求证：AC平分BCD.(用三段论证明)解析等腰三角形两底角相等，大前提ADC是等腰三角形，1和2是两个底角，小前提12.结论两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提13.结论等于同一个角的两个角相等，大前提21，31，小

27、前提23，即AC平分BCD.结论规律方法应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论跟踪练习2_用三段论分析下题的证明过程如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF证明过程如下：BFDA，FDAE，又DEBA，四边形AFDE是平行四边形，EDAF解析上述推理过程应用了三次三段论第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下：因为同位角相等，两条直线平行，大前提BFD与A是同位角，且BFDA，小前提所以F

28、DAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以EDAF.结论命题方向演绎推理在代数问题中的应用典例3证明：f(x)在(0，)上为减函数思路分析解答本题所依据的大前提是“在区间(a，b)内，若f (x)0，则yf(x)在(a，b)内是减函数”小前提是“f(x)在(0，)上满足f (x)0”写解题过程的关键环节就是验证f (x)0在(0，)上成立解析f (x)，又x(0，)，f (x)0f(x)在(0，)上是减函数规律方法在几何、代数证题过程中

29、，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范跟踪练习3_已知函数f(x)bx，其中a0，b0，x(0，)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性解析设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1)，当0x1x2时，则x2x10,0x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是减函数当x2x1时，则x2x10，x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是增函数易混易错警示三段论推理

30、中大(小)前提错误致误典例4如图，已知S为ABC所在平面外一点，SA平面ABC，平面SAB平面SBC求证：ABBC错因分析在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误正解证明：如图，过点A作直线AESB于点E，因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，所以AE平面SBC.又BC平面SBC，所以BCAE.因为SA平面ABC，所以SABC.又AESAA，所以BC平面SAB.所以BCAB，即ABBC点评演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必

31、然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论学科核心素养演绎推理的综合应用演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题及逻辑推理题占有重要地位，并且分布面广，可能出现在函数、立体几何、解析几何、不等式、三角函数、数列等不同的知识点中，因此我们要深刻理解并掌握演绎推理的特征典例5已知函数f(x)，对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)2(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解析(1)证明：因为x，yR时，f(xy)f(x)f(y)

32、，所以令xy0，得f(0)f(0)f(0)2f(0)，所以f(0)0令yx，则f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)设任意的x1，x2R且x1x2，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)，因为x0时，f(x)0，所以f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)为R上的减函数，所以f(x)在3,3上的最大值为f(3)，最小值为f(3)因为f(3)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6，所以函数f(x)在3,3上的最大值为6，最小值为6规律方法函数为抽象函数，可借助图象或具体函数辅助理解：(1)奇偶性的判定可利用定义；(

33、2)求函数的最值可利用单调性2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法自主预习探新知情景引入C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C先生很感激车上的人开始小声议论C先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生想这下可以证明我的清白了下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证明了他的清白新知导学1综合法(1)定义：利用_已知条件_和某些数学_定义_、_定理_、_公理_等，经过一系列的_推理论证_，最后推导出所要

34、证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)特点：从“已知”看“_可知_”，逐步推向“_未知_”，其逐步推理，是由_因_导_果_，实际上是寻找“已知”的_必要_条件用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“_切入点_”和有效的_推理途径_是有效利用综合法证明数学问题的关键2分析法(1)定义：从要证明的_结论_出发，逐步寻求使它成立的_充分_条件，直至最后

35、，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法(2)特点：分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_需知_”，执果索因，逐步靠拢“_已知_”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的_充分_条件分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理预习自测1要证明2，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是(B)A综合法B分析法C特殊值法 D以上均不合理解析利用分析法易确定命题成立的充分条件2分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的(A)A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条

36、件；分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件故选A3设a0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_9_解析a0，b0，c0，abc1，332229，当且仅当abc时等号成立4设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2解析因为ab0，所以ab0,3a22b23(a2b2)3(ab)(ab)0，所以3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2互动探究攻重难互动探究解疑命题方向综合法的应用典例1已知a、b是正数，且ab1，求证：4思路分析注意到条件ab1，可在待证式中进行1的代换或利用字母之间的倒数关系，将待证式左

37、边乘以1，即乘以(ab)变形后用基本不等式证明也可以先将ab1利用基本不等式转化为的不等式，再看待证式能否向(或ab)转化解析解法一：a、b是正数且ab1，ab2，ab，44解法二：a、b是正数，ab20，20，(ab)()4又ab1，4解法三：11224.当且仅当ab时，取“”号规律方法1.综合法证明数学命题的步骤第一步：分析条件，选择方向认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁

38、的语言，清晰的思路第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取2综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：a20(aR)(ab)20(a、bR)，其变形有a2b22ab，()2ab，a2b2若a、b(0，)，则 ，2跟踪练习1_已知a0，b0，ab1，求证：(a)(b)解析ab1，a0，b0，ab2，ab(a)(b)0(a)(b)命题方向分析法的应用典例2设a、b为实数，求证：(ab)解析当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()2(ab

39、)2即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22aba2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证规律方法分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语跟踪

40、练习2_已知a5，求证：解析要证，只需证，只需证()2()2，即2a252a52，即只需证，只需证a25aa25a6，即证：06，此不等式恒成立，所以原不等式成立易混易错警示准确把握条件典例3设ab0，n为偶数，求证：错解n为偶数，(ab)n0又anbn和an1bn1同号，0，辨析这里题目中的条件为ab0，而不是a0，b0，因此，应分a0且b0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论正解当a0，b0，ab0时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0，0，当a、b有一个为负值时，不妨设a0，b0，且ab0，a|b|(ab)n0，an0，bn0，an10，bn10，故anbn0，an1bn10，0，由知结论成立学科核心素养利用分析法、综合法证明问题综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁