2022届中考数学压轴题押题.docx

1、2022年中考数学压轴题1如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）抛物线y=-49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQCP，连接PQ，设CPm，CPQ的面积为S求S关于m的函数表达式；当S最大时，在抛物线y=-49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得c=8-4936+6b+c=0，解得：b=43c=8，抛物线的解析式为y=

2、-49x2+43x+8；（2）OA8，OC6，AC=OA2+OC2=10，过点Q作QEBC与E点，则sinACB=QEQC=ABAC=35，QE10-m=35，QE=35（10m），S=12CPQE=12m35（10m）=-310m2+3m；S=12CPQE=12m35（10m）=-310m2+3m=-310（m5）2+152，当m5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使FDQ为直角三角形，抛物线的解析式为y=-49x2+43x+8的对称轴为x=32，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当FDQ90时，F1（32，8），当FQD90时，则F2（32，4），当DFQ90时，设F（32，n

3、），则FD2+FQ2DQ2，即94+（8n）2+94+（n4）216，解得：n672，F3（32，6+72），F4（32，6-72），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（32，8），F2（32，4），F3（32，6+72），F4（32，6-72）2如图，抛物线yax2+bx2经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作

4、x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由解：（1）设抛物线的表达式为：ya（xx1）（xx2）a（x1）（x4）a（x25x+4）ax2+bx2，故4a2，解得：a=-12，故抛物线的表达式为：y=-12x2+52x2；（2）存在，理由：设点P（x，-12x2+52x2），则点M（x，0），则PM=-12x2+52x2，AM4x，tanOAC=12，以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似，故tanPAM=12或2，故-12x2+52x-24-x=2或12，解得：x2或4（舍去）或5（舍去），故x2，经检验x2是方程

5、的解，故P（2，1）；（3）设直线AC的表达式为：ykx+t，则0=4k+tt=-2，解得k=12t=-2，故直线AC的表达式为：y=12x2，设点D（x，-12x2+52x2），则点E（x，12x2），DE（-12x2+52x2）（12x2）=-12x2+2x，-120，故DE有最大值，当x2时，DE的最大值为2，此时点D（2，1）；故点D的坐标（2，1），此时DE的长为23对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”（1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是A、B（只填选项）A正比例

6、函数yxB反比例函数y=1xC二次函数yx2+2（2）在平面直角坐标系xOy中，若点M（3n，0），N（0，n），其中n0，O的半径为r若r23，O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n的取值范围；若n4，线段MN上存在O的“美好点”，直接写出r的取值范围解：（1）x轴是图形l，PAB是边长为2的等边三角形，P点纵坐标为3，yx上存在点（3，3）或（-3，-3）是x轴的“美好点”，y=1x上存在点（33，3）或（-33，-3）是x轴的“美好点”yx2+2中y的最小是2，yx2+2上不存在x轴的“美好点”，故选A、B；（2）M（3n，0），N（0，n），n0，设直线MN的解析式为ykx+b，则

7、有b=n0=3nk+b，解得b=nk=-33，y=-33x+n，如图1：M（3n，0），N （0，n），其中n0，MNO60，ABD与ACB是边长为2的等边三角形，BAD60，ADBCy轴，设过点C与MN平行的直线为y=-33x+c，过点D与MN平行的直线为y=-33x+d，当直线y=-33x+c与O相切时，c4，n4+26，此时O上恰好存在1个直线MN的“美好点”，如图2：当直线y=-33x+d与O相切时，d4，n422，此时当直线y=-33x+c经过原点O，则c0，此时O上恰好存在3个直线MN的“美好点”，2n6时，O上恰好存在2个直线MN的“美好点”；如图3：n4，M（43，0），N（0

8、，4），OMN30，设AB2在圆O上，C与D是MN上的点，则ABC与ABD是边长为2的等边三角形，当MN与D点所在圆相切时，OD23，r2，此时线段MN上存在O的“美好点”，如图4：当OCOM时，OC43，MH=3，AH1，OA219，此时线段MN上存在O的“美好点”，2r219，线段MN上存在O的“美好点”4如图，AB是O的直径，点C是O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得ACQABC（1）求证：直线PQ是O的切线（2）过点A作ADPQ于点D，交O于点E，若O的半径为2，sinDAC=12，求图中阴影部分的面积解：（1）证明：如图，连接OC，AB是O的直径，ACB90，OAOC

9、，CABACOACQABC，CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即OCPQ，直线PQ是O的切线（2）连接OE，sinDAC=12，ADPQ，DAC30，ACD60ABCACD60，CAB906030，EAODAC+CAB60，又OAOE，AEO为等边三角形，AOE60S阴影S扇形SAEOS扇形-12OAOEsin60=6036022-122232=23-3图中阴影部分的面积为23-35如图，在ABC中，ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，连接CD交AB于点ME是线段CM上的点，连接BEF是BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF（1）求证：BEF是直角三角形；（2）求证：

10、BEFBCA；（3）当AB6，BCm时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值（1）证明：ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，ADBACB90，EFBEDB，EBFEDF，EFB+EBFEDB+EDFADB90，BEF90，BEF是直角三角形（2）证明：BCBD，BDCBCD，EFBEDB，EFBBCD，ACAD，BCBD，ABCD，AMC90，BCD+ACDACD+CAB90，BCDCAB，BFECAB，ACBFEB90，BEFBCA（3）解：设EF交AB于J连接AEEF与AB互相平分，四边形AFBE是平行四边形，EFAFEB90，即EFAD，BDAD，EFBD，AJJB，AFDF，FJ=12BD=m2，EFm，ABCCBM，BC：MBAB：BC，BM=m26，BEJBME，BE：BMBJ：BE，BE=m2，BEFBCA，ACEF=BCBE，即36-m2m=mm2，解得m23（负根已经舍弃）