2021高中数学第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式-教案北师大版必修第一册.docx

1、第四节 一元二次函数和一元二次不等式4.1一元二次函数 教学设计一元二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识一 教学目标： 1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力2. 掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值二. 核心素养1. 数学抽象：一元二次函数变量的变

2、化趋势2. 逻辑推理：利用初中所学的二次函数，配成顶点式，让学生对一元二次函数的平移变化，能更好的掌握3. 数学运算：一元二次函数的平移变化；如何求一元二次函数的最值4. 直观想象：根据函数图像的变化，让学生更好理解函数之间的关系5. 数学建模：数学中，通过对同类函数图像之间的变化的研究，让学生能更好的将一元二次函数运用实践中，更好的解决实际中，类似于抛物线的物体，我们都可以通过某些计算，来解决实际问题。重点：1.二次函数的平移变化 2 二次函数x和y的变化趋势难点: 如何将一般二次函数配成顶点式PPT1. 知识引入在初中，我们学习了一元二次函数y= ax2+bx+c,(a0)认识这个函数的过

3、程是从 y=x2(开始的，是由简到繁的过程(如图1-19).思考交流请分析讨论函数y=a(x-h)2+k的图象可以由函数y=ax2图象经过怎样 的变换得到. 2知识概括：（1）二次函数图像的变换规律： 抛物线y=a(x-h)2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。y=ax2（a0）的图像.y=-ax2（a0）的图像当h0时，向左平移个单位长度，当h0时，向右平移个单位长度y=a（x-h）2的图像当k0时，向上平移个单位长度当k0时，向下平移个单位长度y=a（x-h）2-k的图像写成一般形式y=ax2+bx+c的图像（2）一元二次函数y-a(x-h)2+k(a0)有如下性质：(1)函数y

4、=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h,k）对称轴是直线x=h；（2）当a0时，抛物线开口向上;在区间（，h上，函数值y随自变量x的增大而减 小;在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x=h处有最小值，记 作 ymin=k.当a10成立的x的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶.一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.通常，它们都可以化为ax2+bx+c0 的形式，其中a,b,c均为常数，且a0.使一元二次不等式成立的 所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.图 1-21类比初中数学中用一次

5、函数的图象求解一次不等式，我们可以 利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.以不等式 x2-2x-30为例，画出一元二次函数y=x2-2x-3 的图象(如图1-21)并观察，可知它与x轴交点的横坐标分别是-1 和 3.即当x1=1 ,x2 = 3 时x2 -2x-3 = 0.进而，当 一1X3 时， 一元二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴的下方，满足y0.也就是说，一元二次不等式x22x3 0的解集是x|-1x0时,解形如ax2十bx十c0(0)或ax2十bx十c0(a0)的求解思路学生动手：请学生仿照以上方法，画出当a0的解集.图 1-23解：因为 ,所以方程9x2 6x+1 =0

6、。有两个相等的实数根，解得画出一元二次函数y = 9x2-6x+ 1的图象(如图1-23),可知该 函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴仅有一个交点观察图象可得原不等式的解集为例3求不等式3x2十5x20的解集.解法1因为 = 524X3X( 2)0。,所以方程3x2+5x2 =0有两个不相等的实数根，解得x1 = 2, x2=画出一元二次函数y = 3x2 +5x-2的图象(如图1 - 24),可知该函数的图象是开口向 上的抛物线，且与x轴有两个交点( -2,0)和.观察图象可得原不等式的解集为解法二：将原不等式可以转化为：（x+2）(3x-1)0即：所以不等式的解集：思考交流根据不等式3

7、x2+5x-20的解集，你能得出不等式3x2+5x-20的解集吗？例4求关于x的不等式 的解集，其中a是常数.解 依题意知方程 的根为 x1= 1 ,x2=a,且一元二次函数y =x2+(1 -a)x-a的图象是开口向上的抛物线.当a1时，如图1- 25,一元二次函数y=x2十(1a)x一a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(一1,0).所以原不等式的解集为(a,1). 当a = - 1时，如图1 - 26，一元二次函数y =x2+(1a)x一a的图象与x轴只有一 个交点(一1,0).所以原不等式的解集为.当a一1时，如图1 - 27,一元二次函数y=x2十(1一a)x-a 的图象与x

8、轴从左至右有两个交点(一1,0)与(a,0).所以原不等式 的解集为(1,a).综上所述，当a一 1时，原不等式的解集为(1,a)【知识同步练习】求不等式x2-2x+2m-m20的解集.解：当m1时，解集为xx2-m,或xm；当m=1时，解集为x Rx1；当m1时，解集为xxm，或x2-m .【题型扩充】：（1） 已知不等式ax2+bx+20的解为- x ，求a，b值.解：方法一：显然a0，由(x+ )(x- )0，得6x2+x-10，变形得-12x2-2x+20，故a=-12,b=-2.方法二：利用韦达定理：x=- 与x= 是ax2+bx+2=0的两根，故有 解得 （2） 已知f(x)=x2

9、+2(a-2)x+4.(1)如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x-3，1，f(x)0成立，求实数a的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x，f(x)0，则0，即(a-2)2-40，0a4；(2)当x-3，1时，f(x)0，对称轴2-a可在区间内，也可在区间外， 或 或 解得- a41.一元二次不等式这一概念；2. 解一元二次不等式ax2+bx+c0、ax2+bx+c0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c0(a0) ax2+bx+c0) (2)判定与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; (3)写出不等式的解集.第四节

10、 一元二次函数和一元二次不等式4.3一元二次不等式的应用教学设计 生活中很多问题都需要数学知识来解决，最常见的问题就是公司利润最大化，材料节省问题，都会用到函数去解决，而一元二次函数和一元二次不等式是我们经常所用到的数学知识，本章主要将如何利用二次函数和一元二次不等式解决简单的实际问题三 教学目标：利用一元二次不等式结合二次函数解决实际应用问题 二核心素养1.数学抽象：一元二次函数和一元二次不等式的概念2.逻辑推理：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.数学运算：解一元二次不等式4. 直观想象：利用二

11、次函数图像分析一元二次不等式的解集，直观的解释不等式解集的正确性5. 数学建模：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 一元二次函数和一元二次不等式运用于实际问题中，从而更好的帮助学生学会运用所学知识，解决常见的问题，比如：利润最大化问题，材料节省问题等 难点：通过实际应用题干，提炼一元二次不等式重点：结合实际问题，解一元二次不等式，需注意本身条件对变量的限制PPT一元二次不等式是重要的数学模型，在实际生活中有较广泛的应用.例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提 高档次，并提高租金.经市场调研，每间客

12、房日租金每增加10元,客房出租数就会减少1间. 每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每 间客房日租金提高的空间有多大？解 设每间客房日租金提高(个10元，即每间客房日租金提高到(80 + 10x)元,则客房 出租数减少(间，此时客房的租金总收入为(80 + 10x)(20-x)元.又因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以(80 + 10x)(20一x)1 800.化简，得x2-12x+200.解得2x10.所以2010x100.由题意可知:每间客房日租金不得超过130元，即80 + 10x130,所以10x50.因此, 该农家院每间客房

13、日租金提高的空间是2050元.例2：为鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成 本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相 关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元,每月的销售量伙单位:件)与销售单价x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数：y = -10x+500.(1) 设袁阳每月获得的利润为y(单位:元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系(2) 物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的 利润不小于3 000元，那么政府每个月为

14、他承担的总差价的取值范围是多少？解 (1)依题意可知每件的销售利润为(x-10)元,每月的销售量为(-10x+500)件, 所以每月获得的利润w与销售单价(的函数关系为w= (x-10) (- 10x+500).(2)由每月获得的利润不小于3 000元，得(x-10)(-10x+500)3 000.化简，得x2-60x+8000.解得20x40。.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25 ，20x25.设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p=(12 10)( - 10x十 500) = -20x+1 000.由 20x25.得 500-20x+1 000600.故政府每个月为他承担的总差价的取

15、值范围为500,600.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1) 选取合适的字母表示题中的未知数；(2) 由题中给出的不等关系冽出关于未知数的不等式(组)；(3) 求解所列出的不等式(组)；(4结合题目的实际意义确定答案.【课堂练习】公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷

16、出的水流不致落到池外? 分析 由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的具体抛物线方程.为此，以O为原点，以OA所在直线为y轴，水面中垂直OA的直线为x轴建立直角坐标系，如上右图所示，则水流所呈现的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.25.由题意，点A的坐标为(0，1.25)，把x=0,y=1.25代入方程解得a=-1，于是抛物线方程为y=-(x-1)2+2.25.令y=0，得-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不合题意，舍去).所以水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外. 本章节主要是利用一元二次函数和一元二次函数解决实际问题，所以学生在审题题目时，一定要细心注意题目中对变量的限制条件。