(常考题)北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测题(有答案解析).doc

1、一、选择题1已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点.若，则（ ）ABCD2已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点，若，则C的方程为（ ）ABCD3过抛物线的焦点作两条相互垂直的弦，且，则的值为（ ）ABCD4已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABC2D5设抛物线的焦点为，为抛物线上异于顶点的一点，且在直线上的射影为，若的垂心在抛物线上，则的面积为（ ）ABCD6在平面直角坐标系中，双曲线的标准方程为，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD7已知直线经过定点

2、，与抛物线交于两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（ ）ABCD8P为椭圆上一动点，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（ ）ABCD9过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）A4B6C8D1010已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则的最小值为（ ）A25B100C9D3611设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（ ）ABCD12已知点在双曲线上，点，当最小时，点不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）ABCD二、填空题13若是三

3、个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标_.14已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点若，则实数_15过双曲线的右顶点且斜率为的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是_.(用区间表示)16设椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点.当的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率_17在平面直角坐标系中，已知双曲线的两个焦点分别为，以为圆心，长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若，则的值为_.1

4、8在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，若双曲线的右支上存在一点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_.19直线AB过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是_.20已知下列几个命题：的两个顶点为，周长为18，则C点轨迹方程为；“”是“”的必要不充分条件；已知命题，则为真，为假，为假；双曲线的离心率为其中正确的命题的序号为_三、解答题21已知椭圆左右焦点分别为，点为椭圆上一点，满足，且的面积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线与椭圆交于两点，点坐标为，若，求椭圆的方程.22椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，过的直

5、线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求直线的斜率.23已知椭圆，为椭圆的左、右顶点，点，连接交椭圆于点，为直角三角形，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于另一点，线段的垂直平分线与轴的交点满足，求点的坐标.24已知椭圆的离心率为在椭圆C上，且异于点A（1）求椭圆C的方程；（2）若，求直线的方程25已知圆，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E(PQD三点可重合).（1）求曲线E的方程；（2）不过原点的直线l与曲线E交于MN两点，已知OM，直线l，ON的斜率k成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为S1，

6、S2，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.26已知椭圆的焦点在圆上，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点，为右焦点，若FA垂直于AB，求直线的斜率.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【分析】设，设点、，则直线的方程可表示为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出正数的值，即可求得的值.【详解】设，设点、，则直线的方程可表示为，联立，整理得，解得.由韦达定理可得，由得，即，可得，则，解得，因此，.故选：A.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方

7、程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.2C解析：C【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合列方程可解得，即可得到椭圆的方程【详解】，又，又，在轴上在中，在中，由余弦定理可得，可得，解得椭圆的方程为：故选：C【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3B解

8、析：B【分析】首先设直线的方程为， 与抛物线方程联立分别求和，分别计算和，再求的值.【详解】的焦点为，设的直线方程为，的直线方程为，由得，设，则，则，同理， ，故.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求，并且利用，将换成求.4B解析：B【分析】延长交于点，可得，结合双曲线的定义可得的关系，从而求得离心率【详解】延长交于点，是的平分线，又是中点，所以，且，又，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的关系，解题方法是延长交于点，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解5B解析：B【分析】设点，则点，求出的垂心的

9、坐标，再由可求得的值，进而可求得的面积.【详解】设点，则点，设点在第一象限，抛物线的焦点为，设的垂心为，由于，则点的横坐标为，可得点，则，解得，所以，点的坐标为，所以，.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用已知条件求出点的坐标，本题特殊的地方在于轴，可得出垂心与焦点的连线垂直于轴，再结合垂心在抛物线求出垂心的坐标.6C解析：C【分析】依题意可得，利用基本不等式求出离心率的最大值，即可求出，从而求出双曲线方程，即可求出渐近线；【详解】解：因为，依题意可得双曲线的离心率当且仅当即时，等号成立，此时离心率最大，故双曲线的标准方程为，所以双曲线的渐近线方程为，即故选：C【点睛】在应用基

10、本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误7B解析：B【分析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】由直线得所以 解得 则 设，则，两式相减得，即，则直线方程为，即.故选：B.【点睛】方法点晴：点差法是求解中点弦有关问题的常用方法.8B解析：B【分析】由椭圆的，所以，可得动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即可求得动点Q的轨迹方程.【详解】由可得：，因为，所以，所以动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故动点Q的轨迹方程为.故选：B.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果

11、动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的

12、方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.9C解析：C【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB的方程为：(m为常数),与抛物线方程联立消去,得到关于y的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB的长度.【详解】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程, 设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,直线AB

13、过抛物线的焦点F,可设直线AB的方程为：(m为常数),代入抛物线的方程消去x并整理得：,设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,则,直线AB的方程为,，故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x=my+a的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.10A解析：A【分析】由椭圆与双曲线的定义得记，则（椭圆长轴长），用余弦定理得出的关系，代入和与差后得的关系式，然后用基本不等式求得

14、最小值【详解】记，则（椭圆长轴长），（双曲线的实轴长），又由余弦定理得，所以，即，变形为，所以，当且仅当，即时等号成立故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，在双曲线中，不能混淆11D解析：D【分析】由题意画出图形，不妨设在第一象限，点在 与 之间运动，求出和 为直角时的值，可得 为锐角三角形时的取值范围【详解】为锐角三角形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，如图，当在处，又 由，可得，此时 ；当在处，易知 则此时为锐角三角形，则的取值范围是，故选：D【点晴】关键点点晴：本题的关键在于求出和 为直角时的值.12C解析：C【分析】把的坐标

15、表示出来，转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围【详解】设，则，又点在双曲线上，即当最小时，又点不在顶点位置，双曲线离心率，故选：C【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率二、填空题13【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上再结合双曲线的定义可得点在以为焦点的双曲线的左支上联立方程即可得解【详解】由题意点即则线段的中点为直线的斜率所以线段的垂直平分线的斜率所以线段的垂直平分线的解析：【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以为焦点的双曲线的左支上，联立方程即

16、可得解.【详解】由题意，点，即，则线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为即，设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，所以点在以为焦点的双曲线的左支上，该双曲线的方程为，所以，解得.所以点的坐标为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P为线段的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解.14【分析】由直线方程过右焦点得的关系设直线方程与双曲线方程联立消去应用韦达定理得出由得这样结合起来可得值【详解】在中令得所以则设由消去得由得所以化简得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线解析：【分析】由直线方程过右焦点

17、得的关系，设，直线方程与双曲线方程联立消去，应用韦达定理得出，由，得，这样结合起来可得值【详解】在中令得，所以，则，设，由，消去得，由得，所以，化简得，故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得），已知条件又得，这样结合起来可求得值15【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系

18、，再利用求得离心率范围即可.【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为，若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交，则，则离心率.故答案为：.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a，c直接计算离心率；（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.16【分析】首先根据椭圆定义分析分析当的周长最大时直线的位置再求的面积得到椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点为当直线过右焦点时等号成立的周长此时直线过右焦点得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭

19、圆内解析：【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当的周长最大时，直线的位置，再求的面积，得到椭圆的离心率.【详解】设椭圆的右焦点为，当直线过右焦点时，等号成立，的周长，此时直线过右焦点，得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.17【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程再求圆的方程与渐近线方程联立可得MN两点的横坐标由即为横坐标的绝对值的比可得答案【详解】由已知得取双曲线的一条渐近线所以圆的方程为由整理得解得取双曲线的另解析：【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再

20、求圆的方程与渐近线方程联立可得M，N两点的横坐标，由即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得，取双曲线的一条渐近线，所以圆的方程为，由整理得，解得，.取双曲线的另一条渐近线，整理得与上同，综上.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M，N两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.18(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故解析：(或)【

21、分析】先根据的形状先确定出点坐标，然后将点坐标代入双曲线方程，根据的齐次式求解出离心率的值.【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，不妨假设在第一象限，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，故答案为：（或）.【点睛】思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤：（1）根据已知条件，先得到关于的方程；（2）结合或将方程中的替换为的形式；（3）方程的左右两边同除以的对应次方，由此得到关于离心率的方程，从而求解出离心率的值.191或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB过抛物

22、线的焦点F且与抛物线交于AB两点所以斜率不为0设直线AB方程为解析：1或【分析】根据抛物线方程，得到，设直线方程为，与抛物线方程联立得：，再根据线段的中点的横坐标为3，求得，即可得到直线斜率.【详解】因为直线AB过抛物线的焦点F且与抛物线交于A、B两点，所以斜率不为0，设直线AB方程为，与抛物线方程联立得：，由韦达定理得：，所以，解得所以直线的方程为，所以.故答案为：1或20【分析】根据椭圆定义可对进行判断；根据必要不充分条件定义可对进行判断；根据复合命题的真假可对进行判断；根据双曲线的离心率公式可对进行判断【详解】的两个顶点为周长为18则C点轨迹方程为当解析：【分析】根据椭圆定义可对进行判断

23、；根据必要不充分条件定义可对进行判断；根据复合命题的真假可对进行判断；根据双曲线的离心率公式可对进行判断.【详解】的两个顶点为，周长为18，则C点轨迹方程为，当时，构不成三角形，错误；当时，所以不一定有，错误；已知命题是真命题，是假命题，根据复合命题的真假判断，为真，为假，为假，正确；双曲线，所以，正确其中正确的命题的序号是，故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础题.三、解答题21（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）利用椭圆定义和求得，再根据的面积为求解；（2）椭圆方程与直线联立，由韦达定理得到，再根据，分和求解.【详解】（1）由

24、椭圆定义可得，又，所以，和可得，所以的面积为，所以，即，所以椭圆的离心率为；（2）椭圆方程可化为，与联立可得：，由可得，设，所以，又直线过点，且，.（i）当时，即时，则，可得，则，可得，所以椭圆的方程为；（ii）当，即时，则，则，可得，解得，所以椭圆的方程为.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：定义法：根据椭圆的定义，确定、的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出、；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为22（1）；（2）或.【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，由

25、此可得出椭圆的标准方程；（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出的面积关于的等式，解出的值即可得解.【详解】解：（1）因为椭圆过点，.又因为椭圆的离心率为，所以，由题意可得，解得，.椭圆的方程为；（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，由得，则，且，即，解得或（舍去），所以，所求直线的斜率为或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定

26、理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.23（1）；（2），.【分析】（1）用待定系数法求椭圆方程；（2）设出直线l，表示出M的坐标，利用，求出点的坐标.【详解】（1）由题意可得：三角形为等腰直角三角形，所以2a=4，即a=2.又由，所以，代入得：，解得：b=1.所以椭圆的方程为（2）由（1）可知.设点的坐标为，直线的斜率显然存在，设为，则直线的方程为于是，两点的坐标满足方程组，由方程组消去并整理，得由，得，从而，设线段是中点为，则的坐标为以下分两种情况：当时，点的坐标为.线段的垂直平分线为轴，于是，由得当时，线段的垂直平分线方程为令，解得，整理得，综上或.点的

27、坐标是，.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）坐标法是解析几何中常见的基本方法，把题目中的条件用坐标翻译出来，把几何条件转化为代数运算.24（1）；（2）【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及列方程组解得得椭圆方程；（2）已知条件说明直线为线段的垂直平分线，直线方程为，这样可设直线方程为，代入椭圆方程，应用韦达定理得，即为的横坐标，求出中点横坐标，由直线得中点纵坐标，中点坐标代入直线方程可得参数，即直线方程【详解】（1）依题意，解得故椭圆C的方程为；（2），直线为线段的垂直平分线，则直线的方程为，设直线的方程为，由，得：，解得，设，由韦达定理得，设的中点为，所以；所

28、以又在直线上，代入得，解得，综上所述，直线的方程为【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件得直线为线段的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线方程即求出方程，由垂直设出直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得中点坐标，再代入直线方程可得参数值25（1）；（2）是否为定值，为证明过程见解析【分析】（1）设，用表示出点坐标，代入圆的方程即可得；（2）设直线方程为，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，利用率k成等比数列，得可计算出，然后计算可得证【详解】（1）设，则有，又在已知不上，所以曲线的方程为；（2

29、）设直线方程为，由得，k成等比数列，又，解得，为定值【点睛】关键点点睛：本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题解题方法是设而不求的思想方法，设直线方程为，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，再利用题中其他条件求出参数满足的结论，并计算26(1) ；(2) 【分析】(1)由焦点在圆上解得值再结合离心率求得，方程可求；(2)因为FA垂直于AB可知点为椭圆与圆的交点，联立方程求得坐标，则直线斜率可求.【详解】解：（1）椭圆的焦点在圆上，所以 ，即 ，因为 得，故椭圆方程为（2）因为FA垂直于AB ，即点既在椭圆上又在以为直径的圆上，所以 解得 所以 故 所以直线的斜率为.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于求出点的坐标点.