8.12021届高三数学专题复习练习几何体的外接球与内切球(教师版).docx

1、【课前测试】1、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 解析：设正方体的棱长为a，这个正方体的表面积为18，6a218，则a23，即a，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即a2R，即R，则球的体积V（）3；故答案为：答案：2、已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，且两两垂直，ABC是边长为2的正三角形，则球O的体积为（）A8B4CD解析：把三棱锥PABC放入正方体中，如图所示：ABC是边长为2的正三角形，此正方体的棱长为，正方体的外接球即是三棱锥PABC的外接球，球O的半径R，球O的体积为：，故选：C

2、答案：C几何体的外接球与内切球【知识梳理】定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.【课堂讲解】类型一 墙角模型(三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球的半径)方法：找三条两两相互垂直的线段，直接用公式2R=a2+b2+c2，即可求出R.例1、在三棱锥PABC中，PAPBPC2，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）A4B8C16D2解析：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作

3、正方体如图，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC外接球正方体的对角线长为2，球直径为2，半径R，因此，三棱锥PABC外接球的体积为：R3（）34故选：A答案：A变式训练：1、已知三棱锥SABC，ABC是直角三角形，其斜边，SC平面ABC，SC6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A144B72C100D64解析：由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的对角线为外接球的直径，设外接球的半径为R，则由题意可得2R，所有4R2144，所以外接球的表面积S4R2144，故选：A答案：A2、在三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBC，ABBC2，若其外接球的表面积为12，则SA（）A1B2CD4解析：

4、如图，由SA平面ABC，得SAAC，SABC，又ABBC，SAABA，BC平面SAB，得BCSBSC为三棱锥SABC的外接球的一条直径由已知可得：，得SC212又AC2AB2+BC28，SA故选：B答案：B类型二 垂面模型(一条直线垂直于一个平面)(一)条件：PA平面ABC1、将ABC画再一个小圆面上，A为直径的一个端点，做小圆的直径AD,连接PD，则PD必过球心O；2、O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的直径O1D=r(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=2r)，OO1=12PA；3、利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2=P

5、A2+(2r)22R=PA2+(2r)2；R2=r2+OO12R=r2+OO12.例2、已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC，则球O的体积为（）ABCD解析：因为AB1，AC2，BAC，可得BC，所以可得AC2AB2+BC2，所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的最中点O，所以外接圆的半径r1因为SA平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设为O，设球的半径为R，则R，所以外接球的体积为V（）3，故选：B答案：B变式训练：1、已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，B

6、AC120，SAABAC2，则球O的表面积为（）A4BC20D36解析：如图所示，AB2，AC2，BAC120，三角形ABC的外接圆直径2r4，r2，SA面ABC，SA2，三角形OSA为等腰三角形，该三棱锥的外接球的半径R，该三棱锥的外接球的表面积为S4R24520故选：C答案：C2、在四面体SABC中，SA平面ABC，ABACBC3，SA2，则该四面体的外接球的半径为（）A1BC2D4解析：因为SA平面ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心O垂直于底面ABC的直线与中截面的交点O，由ABACBC3，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r，所以r，所以外接球的半径R2，故选：C答案：C

7、3、在正三棱柱ABCABC中，AA，AB2，则该正三棱柱外接球的表面积是（）A7BCD8解析：由正三棱柱的底面边长为2得底面外接圆O的半径r，又由正三棱柱的高为，则球心到圆O的球心距d，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2r2+d2，外接球的表面积S4R24故选：B答案：B(二)条件：P的射影是ABC的外心三棱锥P-ABC的三条侧棱相等三棱锥P-ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：1、确定球心的位置，取的外心，则三点共线；2、先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；3、勾股定理：，解出例3、已知正三棱锥SA

8、BC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是（）A16BC64D解析：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O，外接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO所在的直线上，设为O，连接OA 得：r，r2，即OA2，所以三棱锥的高h6，由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4，所以外接球的体积VR3故选：D答案：D变式训练：1、正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A4B16CD解析：如图所示，过A作AE平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE，因为侧棱与底面成60角，即ABE60，所以AE3

9、，RtOBE中，R23+（3R）2，解可得R2，则正三棱锥的外接球的体积V故选：D答案：D2、一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A24BCD12解析：四面体ABCD所有棱长都为4，如图，边长CD4，CD边上的高BE2，侧棱AB在底面上的射影BG，三棱锥的高AG，设OAOBr，则r2（r）2+（）2，解得r，球的表面积S球4r224故选：A答案：A3、已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）ABC36D34解析：如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，底面ABCD是边长为3的正方形，且侧

10、棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r3，由题意可得，PO4，OOPOPO4R在RtAOO中，AO2AO2+OO2，R232+（4R）2，解之得R该球的表面积为4R2故选：B答案：B类型三 锥体的内切球问题1题设：如图，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；第二步：求DH=13CD，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出2题设：如图，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；第二步：求，是侧面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出例4、已知正三棱锥SABC的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的

11、表面积为（）ABCD解析：过顶点S作SO平面ABC，则SO，设正三棱锥SABC的底面边长为a，则底面积为，即a2连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，SD设正三棱锥SABC的内切球的半径为r，则，解得r内切球的表面积S4r2故选：D答案：D变式训练：1、已知正三棱锥ABCD中，底面边长BC为3，侧棱长AB为，求此正三棱锥的内切球的表面积为 解析：设底面正三角形BCD的中心为O，可得OB，故AO，设内切球的半径为R，则由等体积的方法可得：（SABC+SACD+SABD+SBCD），代入数据可得：R（3+），解之可得R，故内切球的表面积S4R2答案：2、若一个正四面体的表面积为S1，

12、其内切球的表面积为S2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.答案：【课后练习】1、已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为，则该三棱柱的高为（）AB3C4D解析：设C，B是三棱柱上下底面的中心，球心O为BC的中点，半径R，由4R2可得ROA，由正弦定理可得，2AB，所以AB，又R，所以OB，故高h2OB3故选：B答案：B2、已知ABC中，B90，DC平面ABC，AB4，BC5，CD3，则三棱锥DABC的外接球表面积为（）AB25C50D解析：法一：角ABC

13、的外心为AC的中点E，球心O满足OE平面ABC，又DC平面ABC，所以OEDC，点O在平面ACD内，又球心O到A、C、D三点的距离相等，所以O是直角ACD的外心，即AD的中点，得外接球直径，外接球表面积为4R250，法二：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过A、B、C、D四点，所以长方体的外接球即三棱锥DABC的外接球，得外接球直径2RAD，外接球表面积为4R250，故选：C答案：C3、已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC3，BAC120，AA18，则球O的表面积为（）A25BC100D解析：ABC中，AB3，AC3，BAC120，ABC的外接圆的半

14、径r3直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AA18，则球O的半径R5球O的表面积4R2100故选：C答案：C4、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为解析：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS3，底面半径BC1，则其高SC2，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令ODOCr，由SODSBC，则，即，解得r，Vr3，故答案为：答案：5、已知三棱锥PABC中，PB平面ABC，ABC90，PA，ABBC1，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A12B6C24D解析：如图，PB平面ABC，PBAB，AB1，PA，PB2，又ABB

15、C，把三棱锥PABC补形为长方体，则长方体对角线长为，则三棱锥PABC外接球的半径为，三棱锥PABC的外接球的表面积为故选：B答案：B6、在三棱锥ABCD中，ABC和BCD都是边长为的等边三角形，且平面ABC平面BCD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）A8B12C16D20解析：如图，取BC中点E，连接EA，ED，平面ABC平面BCD，ABC和BCD都是边长为的等边三角形，AE平面BCD，AEED，设过平面ABC，平面BCD的中心M，N且与垂直二平面的直线交于O，可知O即为外接球球心，易知ON1，DN2，得OD，S球4520，故选：D答案：D7、在四面体SABC中，ABBC，ABBC3，平

16、面SAC平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）A8B12C16D24解析：ABBC，且ABBC3，则，且ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，则SAC是边长为的等边三角形，如下图所示，取AC的中点M，则SMAC，且，平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SMAC，SM平面SAC，SM平面ABC，BM平面ABC，所以，SMBM，AMCMBM，由勾股定理易得，所以，该四面体的外接球的直径为，则，因此，该四面体外接球的表面积为4R224故选：D答案：D8、在三棱锥SABC中，SBSCABBCAC2，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥SABC外接球的表面积是 解析：如图所示，取BC的中

17、点D，连接SD，AD设E为ABC的中心，F为SBC的中心，O为三棱锥SABC外接球的球心连接OE，OF，OA四边形OEDF为正方形则OA为棱锥SABC外接球的半径OA三棱锥SABC外接球的表面积4故答案为：答案：【课后测试】1、在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC，AP4，ABAC2，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）AB64CD256解析：如图，由题意，BAC，ABAC2，故ABCACB；ABC的外接圆的半径r2PA平面ABC，且PA4，三棱锥PABC的外接球的半径R满足R2（）2+r216R4三棱锥PABC的外接球的体积为R3故选：C答案：C2、棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体的棱长为_解析：将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体，设正方体的棱长为a，则正四面体ABCD的棱长为a，正方体的体对角线长为a，由a2a，则a.答案：