8.3-2021届高三数学专题复习练习空间角的求解(教师版).docx

1、【课前测试】如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1平面BCC1B1，E为棱CC1的中点，A1B与AB1交于点O若AC=CC1=2BC=2，ACC1=CBB1=60（）证明：直线OE平面ABC；（）证明：平面ABE平面AB1E；（）求直线A1B与平面ABE所成角的正弦值（17）解：（）取BB1的中点F，连结OF，EFE，O分别为CC1，BA1的中点，OFAB，EFBC，OF 平面ABC，EF 平面ABC，OF平面ABC，EF平面ABC，平面OEF平面ABC，直线OE平面ABC 4分（）AC=2CE=2，ACC1=60，AECC1，平面ACC1A1平面BCC1B1，AE平面BCC1

2、B1，AEBEBC=CE=EC1=C1B1=1，CBB1=60，CEB=30，C1EB1=60，BEB1=90，即BEEB1BE平面AB1E，平面ABE平面AB1E 8分（）作OMAE，M为垂足，连结BM由（）知OM平面ABE，BM为OB在平面ABE上的射影，OBM即为直线A1B与平面ABE所成角 10分OMAE，EB1AE，OMEB1，又O为AB1的中点，OM=EB1=，EM=AE=，BM=，从而BO=2，sinOBM=，即直线A1B与平面ABE所成角的正弦值为13分空间角的求解【知识梳理】一、异面直线所成的角1、定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的

3、锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)2、范围：.3、求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移4、求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角二、直线和平面所成角1、定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。2、直线与平面所成的角的范围：直线与平面相交不垂直时，090垂直

4、时， =90直线和平面平行或直线在平面内，=0直线和平面所成角的范围是0903、求法：作出直线在平面上的射影；4、求斜线与平面所成角的一般步骤：确定斜线与平面的交点即斜足；经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角三、二面角1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面如图(1)可记作：二面角l或PABQ或PlQ.如图(2)对二面角l若有：Ol；OA，OB；OAl，OBl.则AOB就叫做二面角l的平面角二面角的平面角的范围：0，1802、二面角的求法定

5、义法垂线法(利用三垂线定理或逆定理)3、求二面角的平面角的一般步骤利用平面角的定义法、垂线法等方法做出平面角；证明所作角即为所求平面角；把所作角放入三角形中求解.简称：一作、二证、三计算【课堂讲解】考点一 异面直线所成角的求解1、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.答案：D2、如图所示，三棱锥PAB

6、C中， PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点求异面直线AE与PB所成角的余弦值解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，故异面直线AE与PB所成角的余弦值为.考点二 线面角的求解1、如图所示，三棱锥ASBC中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求直线AS与平面SBC所成的角解：因为ASBASC60，SASBSC，所以ASB与SAC都是等边三角形因此ABAC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则ADBC.设SAa，则在RtS

7、BC中，BCa，CDSDa.在RtADC中，ADa.则AD2SD2SA2，所以ADSD.又BCSDD，所以AD平面SBC.因此ASD即为直线AS与平面SBC所成的角在RtASD中，SDADa，所以ASD45，即直线AS与平面SBC所成的角为45.2、如图所示，RtBMC中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB长为4，MBC60，求MC与平面CAB所成角的正弦值解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，MA平面ABC，MC在平面CAB内的射影为AC.MCA即为直线MC与平面CAB所成的角又在RtMBC中，BM5，MBC60，MCBMsinMBC5sin 605.在RtMAB中，MA3.在RtM

8、AC中，sinMCA.即MC与平面CAB所成角的正弦值为.3、四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45, SBC=60, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解：（1） SCSB,SCSA, SC平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2） 连结SM,CM，则SMAB,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM过S作SHCM于H, 则SH平面ABCCH即为 SC 在面ABC内的射影。 SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC与平面ABC所

9、成的角的正弦值为77考点二 二面角1、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值解：取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.2、如图,在三棱锥中,分别为的中点.（）求证:平面； （）求证:平面平面.（）若是正三角形,且,，求二面角的余弦值.【课后练习】1、如图，在四棱锥

10、PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3（）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH平面PAD；（）求证：PA平面PCD；（）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值证明：（）连结BD，由题意得ACBDH，BHDH，又由BGPG，得GHPD，GH平面PAD，PD平面PAD，GH平面PAD（）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DNPC，又平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，DN平面PAC，又PA平面PAC，DNPA，又PACD，CDDND，PA平面PCD（）连结AN，由（）中DN平面PAC，知DAN是直线AD与平面PAC

11、所成角，PCD是等边三角形，CD2，且N为PC中点，DN，又DNAN，在RtAND中，sinDAN直线AD与平面PAC所成角的正弦值为2、如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD2，BAD90（）求证：ADBC；（）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值证明：（）证明：由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，得AD平面ABC，故ADBC；（）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND，M为棱AB的中点，故MNBC，DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在RtDAM中，AM1，

12、故DM，AD平面ABC，故ADAC，在RtDAN中，AN1，故DN，在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN异面直线BC与MD所成角的余弦值为；（）解：连接CM，ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CMAB，CM，又平面ABC平面ABD，而CM平面ABC，故CM平面ABD，则CDM为直线CD与平面ABD所成角在RtCAD中，CD，在RtCMD中，sinCDM直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3、如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2（）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（）求证：PD平面PBC；（）求直线AB与平面PBC所成

13、角的正弦值解：（）如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得，故所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为证明：（）因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD又因为BCAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC解：（）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2又ADDC，故BCDC，在R

14、tDPF中，可得所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为4、如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB2，DE3，BCEF1，AE，BAD60，G为BC的中点（1）求证：FG平面BED；（2）求证：平面BED平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在BCD中，G是BC的中点，OGDC，且OGDC1，又EFAB，ABDC，EFOG，且EFOG，即四边形OGEF是平行四边形，FGOE，FG平面BED，OE平面BED，FG平面BED；（2）证明：在ABD中，AD1，AB2，BAD60，由余弦定理可得BD，仅而A

15、DB90，即BDAD，又平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，BD平面AED，BD平面BED，平面BED平面AED（）EFAB，直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AHDE于点H，连接BH，又平面BED平面AEDED，由（2）知AH平面BED，直线AB与平面BED所成的角为ABH，在ADE，AD1，DE3，AE，由余弦定理得cosADE，sinADE，AHAD，在RtAHB中，sinABH，直线EF与平面BED所成角的正弦值5、如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和

16、A1C的中点（）求证：EF平面A1B1BA；（）求证：平面AEA1平面BCB1；（）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小证明：（）证明：连接A1B，在A1BC中，E和F分别是BC和A1C的中点，EFA1B，又A1B平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，EF平面A1B1BA；（）证明：ABAC，E为BC中点，AEBC，AA1平面ABC，BB1AA1，BB1平面ABC，BB1AE，又BCBB1B，AE平面BCB1，又AE平面AEA1，平面AEA1平面BCB1；（）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，N和E分别为B1C和BC的中点，NE平行且等于B1B，NE平行且等于A1A

17、，四边形A1AEN是平行四边形，A1N平行且等于AE，又AE平面BCB1，A1N平面BCB1，A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在ABC中，可得AE2，A1NAE2，BMAA1，BMAA1，A1MAB且A1MAB，又由ABBB1，A1MBB1，在RTA1MB1中，A1B14，在RTA1NB1中，sinA1B1N，A1B1N30，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为306、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明EF平面A1CD；（）证明平面A1CD平面A1ABB1；（）求直线B1C1与平面A

18、1CD所成角的正弦值证明：证明：（I）三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，ACA1C1，连接ED，可得DEAC，DEAC，又F为棱A1C1的中点A1FDE，A1FDE，所以A1DEF是平行四边形，所以EFDA1，DA1平面A1CD，EF平面A1CD，EF平面A1CD（II）D是AB的中点，CDAB，又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AA1ABA，CD面A1ABB1，又CD面A1CD，平面A1CD平面A1ABB1；（III）过B作BGA1D交A1D于G，平面A1CD平面A1ABB1，且平面A1CD平面A1ABB1A1D，BGA1D，BG面A1CD，则BCG为所求的角，设棱长

19、为a，可得A1D，由A1ADBGD，得BG，在直角BGC中，sinBCG，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值7、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2，PDCD2（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值证明：（1）解：如图，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC，且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPDA中，2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故ADDC，由于ADPD，CDPDD，

20、因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD（3）解：在平面PDC中，过点P作PECD于E，连接EB由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在PDC中，由于PDCD2，PC2，可得PCD30，在RtPEC中，PEPCsin30由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC在RtPCB中，PB在RtPEB中，sinPBE所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为【课后测试】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC中点，PO平

21、面ABCD，PO2，M为PD中点（）证明：PB平面ACM；（）证明：AD平面PAC；（）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值证明：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PBMO因为PB平面ACM，MO平面ACM所以PB平面ACM（II）证明：因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD，ACPOO，AD平面PAC（III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1，由PO平面ABCD，得MN平面ABCD所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，所以，在RtANM中，即直线AM与平面ABCD所成的正切值为