通信与网络07一般波形调制的最佳接收课件.pptx

1、提纲 线性调制主要基本概念复习 一般调制的最佳接收及误码率公式波形传输的分类 多信息符号传输的并行和串行方式 并行传输：多个符号承载在不同的通道上的传输 这里暂时把一个通道定义为在任意时间都具有相同传输能力的信道 可以是多个不同的频带、多个媒质（如多条电缆、多个天线）串行传输，在同一步通道里，利用时间上的先后承载多个的信息符号的传输方式并行传输串行传输串并行传输 在并行传输中，每个通道也以串行的方式传送多个符号，其基本原理与串行传输相同 在串行传输中，在同一个符号周期里，将时频资源划分成多个子通道，以并行的方式传输多个逻辑符号，将会在多路复接一节讨论这个问题 特例：同一个逻辑符号映射到多个并行

2、通道或并行子通道上，即不同的符号取值对应于多个通道上的不同波形组合。串行传输的基本单位单符号传输中，以一定时间内的不同的波形代表不同的符号取值多符号传输中，各符号对应的波形呈现在先后不同的时间里非时变系统中，先后符号的从逻辑符号到波形映射的规则相同先后符号对应的波形持续时间可以超过1个符号时间间隔（此间隔又称符号周期，其倒数为符号率）总发射波形是多个符号对应的波形简单相加因此串行传输的基本单位是单个逻辑符号的波形映射规则其基本思路是，如果多个逻辑符号间取值相互独立，且映射规则相同且无记忆，则简单延时相加后的能量谱（如果是无限长时间传输的话，则为功率谱）完全决定于该映射规则当然，如果不独立，或者

3、映射规则有记忆，则其功率谱需要有一定的修正单个逻辑符号的波形映射规则举例 二元码 三元码单个逻辑符号的波形映射规则举例 相同基本波形，不同幅度单个逻辑符号的波形映射规则举例 相同基本波形，不同幅度，基本脉冲宽度超过一个符号周期单个逻辑符号的波形映射规则举例 相同基本波形，不同幅度，多通道单个逻辑符号的波形映射规则举例 带通信号像不像PSK?是不是BPSK?不是，究其原因，是尽管各不同符号对应于该符号周期的载波起始相位是相同的，但对应于一个绝对时间，如0时刻而言，其相位是变化的，也就是说它不是一个恒定载波相位的BPSK，具体到这个例子，它相对绝对定时的载波相位随着每个符号逐个反转。单个逻辑符号的

4、波形映射规则举例 标准BPSK 它的波形映射关系是什么样的呢？这个例子刚好是载波频率为符号率的整数加0.5倍。可以想象，如果倍数是整数加k/n倍(k与n互素)，就会有n种映射关系，如果这个倍数是无理数，那就是无穷多种映射关系了。怎么描述哪怕是最简单的BPSK?等效基带模型 一个中心频率为fc，带宽为B的带通信道，允许其通过一个实数包络（包络带宽不超过B/2）的余弦波形，同时还允许通过一个实数包络（包络带宽不超过B/2）的正弦波形，两者互不干扰。这一对信道是天生在一起的，实际传输时，两个通道可以并行传输，不用白不用。允许我们两路一起传，其中正弦信号功率为其包络功率的一半，余弦信号功率为其包络功率

5、的一半，因此总功率为两路实包络功率和的一半。等效基带模型 带通噪声的等效 可以用这个观点，把一个中心频率为fc，带宽为B的带通白噪声，分成低通包络的余弦和低通包络的正弦分量，带通噪声功率为两个低通包络功率和的一半，或分别等于两个低通包络功率之中的一个，由于带通噪声功率的单边功率谱密度为n0，则相应的低通包络的双边功率谱密度也就是n0了等效基带模型 线性系统 这个双通道低通模型足以描述信号的放大、衰减、叠加、噪声影响等 如果再加上有合适的对延时的描述，而且是线性的，整个带通线性系统的等效就完美了。线性系统中的基本操作：延时、缩放、叠加 带通信号的延时，对于其双通道低通信号会发生什么变化呢 tty

6、ttxttyttxtsttyttxtscococcccccsincossincossincos双通道低通等效的延时 ttxtyttytxttyttyttxttxttyttxtsttyttxtsccccccccccccccccccccsinsincoscossincossincoscossinsinsincoscossincossincos ccoccotxtytytytxtxsincossincos双通道低通等效的延时产生了交叉，看起来，尽管还是一个线性系统，但似乎引入了串扰。也就是说，引入延时后，两通道之间引入了串扰。ccoccotxtytytytxtxsincossincos tytxHt

7、ytxtytxccccoocossinsincosccccHcossinsincos这个串扰怎么看？这样，这个二通道线性系统，就可以很自然地用复数线性系统来表示了。即把这个二维矢量的第一个分量看成实部，第二个分量看成虚部，所有的操作都是线性操作，其中延时，就是在基带延时的基础上加一个旋转，即乘以ccccHcossinsincos1001HHHcjexpBPSK的等效基带表示两通道基带符号波形映射就不再随各位置的符号而不同了，只是简单的延时相加。考虑等效复基带波形以后，载波频率是不是符号率的整数倍也没关系了。再看双通道映射 相同基本波形，不同幅度，多通道，当成复数BPSKFSK实基带与复基带 波

8、形研究可以全部基于实基带或复基带进行讨论了。通常会以实基带为例讨论，但很容易推广到复基带 一般波形映射中的一种特例：线性映射，基本脉冲波形，一路（实基带）或两路（复基带），对单符号传输时，其基本脉冲波形形状相同，符号的不同取值映射到相同波形的不同幅度上。对于实基带，其幅度就是一维幅度，对于复基带，其幅度就是二维实幅度或一维复幅度。举例 看看这种波形映射是线性的吗？基本形状像，但错位了，还行吗？从双通道的角度讲不是同种波形左侧两者波形从复波形的角度看是相同的！逻辑0的波形乘以j就是逻辑1的波形。即如果逻辑0波形当成基本脉冲波形的话，逻辑0的复幅度是1，而逻辑1的复幅度是j。两者在复平面上都是顺时

9、针旋转，保持90度的相差。其实是一种有频偏的2PSK(不是BPSK)，即实际载波比做等效基带时用的参考载波偏低了符号率的1/4右侧则不属于线性映射，因为两种逻辑对应于两种不同的复平面旋转方向。是一种FSK线性映射的优化设计 线性映射方式的特点：信号带宽不会超过基本脉冲波形的带宽 线性映射的一般表达：等效于电平调制的周期性冲击波形，通过冲击响应为基本脉冲波形的线性系统（滤波器）kskBkTtgats()()()kkkks tatkTg ta g tkT()kka tatkT线性映射的特点 总功率谱为周期性冲击波形功率谱与滤波器功率频率响应的乘积 周期性冲击波形功率谱取决于电平序列的自相关性 2f

10、fG fSA 21jfTkakfRk eTA优化设计要考虑的因素或目标 所占用的带宽严格受限 可靠传输希望收端恢复的电平值里没有信号自己造成符号间的串扰，希望由噪声带来的电平判决差错概率尽量低。优化设计可以“动”哪些东西？逻辑符号到电平的映射，即选取哪些电平，怎么映射 决定了判决时的差错概率 发送的基本脉冲波形，相当于发滤波器 决定了发射信号带宽，以及带外干扰等 接收滤波器 决定了对噪声的抑制能力，同时也对信号产生一定的线性畸变 发、信道、收滤波器形成的合成信道 决定了接收采样时刻的电平上有没有符号间串扰 哪些东西是不能动的 客观的信道，这里假设为线性系统 噪声功率谱密度三个设计目标如何达到

11、带宽严格受限 发滤波器严格受限即可，当然结果是发、信道、收滤波器形成的合成信道也是严格受限的 无符号间串扰的合成信道的特征 冲激响应的时域特征：只在一个采样点上非零 频域特征：频谱混叠后，应白 电平判决差错概率与采样点信噪比之间的关系 单调减 最佳接收滤波器：使采样点信噪比最大 给定发射与信道合成响应时，以及接收机入口噪声功率谱密度的情况下，使接收采样点信噪比最大的接收滤波器无符号间串扰合成信道的时域特征 冲激响应的时域特征：只在一个采样点上非零 00010kkkHkTh无符号间串扰合成信道的频域特征 频域特征：频谱混叠后，应白TTHTnHn0)/2(例题 当发送滤波器、信道、接收滤波器的总频

12、率响应如下面哪一种形状时，会产生符号间串扰？图中fs表示符号率-fs/2fs/2-fs/2fs/2-fsfs-fs/2fs/2最佳接收滤波器 给定发滤波器和信道的合成频响 ，以及噪声功率谱密度 最佳接收滤波器频响 可达采样点信噪比为 当噪声为白噪声时 采样点SNR ffkSfHnS)(*)(fS fnS fkSfH*tksth*刚好就是匹配滤波器 dfffSfHnS2 复实200nEnEss2倍的差距来自于噪声功率计算的不同，复数噪声是两路功率和匹配滤波器特点 频响与接收机入口信号（基本脉冲波形）频谱呈共轭关系 冲激响应与接收机入口信号（基本脉冲波形）的关系是关于纵轴翻转，并取共轭接收入口信号

13、基本脉冲波形匹配滤波器冲激响应因果型匹配滤波器冲激响应所有非零响应均发生在正时间匹配滤波器的实现发送脉冲波形s(t)冲激响应为s*(-t)的滤波器在时刻处采样AWGN同时满足采样点无失真和信噪比最大的系统设计（基带模型）当发送滤波器、信道、接收滤波器频响分别为S(f)、C(f)、H(f)时，根据最大信噪比要求：H(f)=(S(f)C(f)*因为噪声是在过了信道之后加入的 此时总频响为X(f)=|S(f)|2|C(f)|2，只要X(f)满足Nyquist第一准则即可保证采样点无失真，如X(f)呈升余弦形状 这样就要求 及 此时的接收滤波器实为根号升余弦滤波器根号升余弦滤波器。fCfXfS fXf

14、H线性映射系统的整体设计给定客观信道的响应Hc(f)，根据总带宽的要求，采样点无失真的要求，采样点信噪比最大化的要求，如何设计发射滤波器和接收滤波器 Step1，选择采样点无失真同时满足带宽要求的总频响，要求做成实数型频响 Step2，对总频响求平方根，得到接收滤波器频响，同时也是发滤波器与信道滤波器的总频响 Step3，把Step2得到的发滤波器与信道滤波器的总频响除以信道频响，得到发滤波器频响 Step4，根据Step2/3得到的收发滤波器频响做反付里叶变换求出冲激响应，分别找到其非零值对应的最小时间t发，t收（为负值，其实只要带宽受限，这个值理论上是负无穷大，但取到足够低就行了）Step

15、5，将收发滤波器冲激响应在时间分别轴上右移-t发和-t收（形成因果型滤波器），用于实现 Step6，对应于第0个发符号的，最佳接收采样点时刻在-(t发+t收)同时满足采样点无失真和信噪比最大的系统设计（非白噪声）总频响为X(f)满足Nyquist第一准则即可保证采样点无失真，fCffXfSffXfHffXfCfSffXfHfXffCfSkfXfHfCfSffCfkSfHnnnnnnSSSSSS2*数字调制最佳接收 一般性的最佳接收机 最佳条件下的差错概率问题表述 一般性的调制 给定一个符号的调制设计：不同的信息符号取值对应于不同的发射波形(可以是形状、大小、位置等任何差异)接收机则根据对叠加了

16、噪声的接收波形，来判断发送的是哪一个波形，以判断发送的符号 假设（要注意假设不同结论就不一样）噪声为平稳加性白高斯噪声 发送符号集里各种可能符号的概率相同 暂时只考虑一个符号的接收（暂不考虑符号序列）最小差错概率准则下的最优接收 目的：从最小误码率的角度来设计接收机 思路:写出差错概率与接收方法之间的关系 求最优接收机算法一般波形调制不一定是线性映射，即波形形状不单一，且不是用电平承载信息显然就不能简单用匹配滤波器来接收了数字信号接收的统计模型 假设发送的脉冲波形选自消息集Xi所对应的波形集合si(t)，我们关心的是在收到r(t)后，如何判断发送的是哪个si(t)，并使误判率最低 最大后验概率

17、准则，即选择 最大的下标i作为最佳判决。课后练习：证明最小差错概率准则对应于最大后验概率准则 trtsiP最大似然准则 当发送消息集合中当发送消息集合中各消息发生概率相等各消息发生概率相等时时，最小差错概率准则等价于最大似然，即对所有的消息i，比较下式（称为似然函数），取最大的作为判决输出 tstrKptrfitsi时间连续的波形，似然函数该怎么写？其中K为与i无关的常数 trPtsPtstrPtrPtrtsPtrtsPiiii,统计模型中的采样 x(t)=s(t)+n(t)由于无限带宽的噪声其功率无穷大，不能直接抽样 一般的信号都是有限带宽，因此如果接收机前端有一个截止频率为fH（大于信号带

18、宽）的滤波器，则可以用2fH的采样率对其进行采样，不损失信息。似然函数的计算 发送si(t)时的条件概率密度函数实为均值在si(t)的高斯分布，单边功率谱密度为 单边带宽为fH的白高斯噪声n(t)功率为 在0,T时间内总能量为 在0,T时间内共有2 fH T个采样点，构成独立同分布的2 fH T维随机矢量，且各向同性 在每一维上的投影的能量（方差）为02NfH为表述方便，这里只考虑白噪声的情况TNfTH020N0N似然函数的计算 002012022120222222222NdttstxNffksfkxfksfkxTftsTiHTHfkHiHTHfkHiHHieeeKtxfHf无关与2令2iTf

19、sKH时间离散化距离表达式求极限变连续最小欧氏距离准则当发送消息等概时 最小差错概率等价于最大似然 去除相同的项，等价于选择合适的i，使 最小 即 最大 或 最大 22020 issisiTiTitsEydttsdttstxtxf sisTisTiidttsEdttstxy020第i种符号波形相关器输出或匹配滤波器采样第i种符号波形符号能量 siTitsdttstxtxf02最小欧氏距离准则最佳接收机一般结构特例：当不同消息的波形只有幅度不同时（PAM）即要判断最合适的i：000000000222200001,2,.,ssssiiiTTiiiTTsiisss ta stiLyax t st d

20、ta yyx t st dtEast dta EEst dt0000222000222isisiisissEyyyEa ya EaEE 00miniisyaE请据此自行推导PAM的误符号率公式最佳接收机的特例：PAM最佳接收机的特例：PAM最佳接收机的特例：PAM 匹配滤波！与采样点信噪比最大准则等价数字调制解调的差错概率 先考虑一种简单的情况：成对差错概率 发送si(t)被错判成sj(t)的概率，P(i -j)波形矢量空间中的运算（复习）矢量长度与波形能量的关系 有限或无限时长的一个波形x(t)长度 波形矢量长度的平方就是波形能量 距离 有限或无限时长的两个波形x(t)，y(t)之间的距离定

21、义为 内积 dttx2 dttytxtytxd2,dttytxtytx*,波形矢量空间中的运算（续）投影，矢量x在矢量y方向上的投影 矢量间的相关系数和夹角 tytytytytxtytytytytytytx,tytytxtxtytx,Rearccos tytytxtxtytxyx,Re,复数矢量空间中基带噪声波形与单位长度矢量的内积这个值代表了基带噪声矢量在任一个复矢量方向上的投影(是一个复随机变量)的方差为2n0，即实虚部的方差均为n0，或该复变量尚复平面上任一方向的的方差均为n0 2*112212*12122212*12212212*01212212*022222BBBBBBBBBEnt

22、ut dtEnt ut dtnt u t dtEnt utntu tdt dtEnttuttntu tdt dtE nttntuttu tdt dtnttuttu tdt dtn utu tdt 02n实数矢量空间中白噪声波形与单位长度矢量的内积（直接面向载波波形）这个值代表了在接收端入口处的噪声矢量在任意实矢量方向上的投影的方差为n0/2 211221212122212122122120121221202220222En t u t dtEn t u t dtn t u t dtEn t u tn tu tdt dtEn ttu ttn tu tdt dtE n ttn tu ttu tdt

23、 dtnttu ttu tdt dtnu tu tdtn 成对差错概率 当n(t)在AB上的投影超过AB长度的一半时，发生成对错误 该投影的方差为N0/2 成对差错概率为OAB线段AB的等平分面si(t)sj(t)iSEjSE发送si(t)时错判成sj(t)的区域ijAOBcosn(t)n(t)在AB上的投影00222NABQNABQjiPjijiSSijSSEEEEAB2222NEEEEQjiPjijiSSijSS余弦定理可见，波形间的相关性是重要参数本课的几乎所有的误码率公式都可以简单推出注意 前页的分析全是实分析 如果换到等效复基带分析时有以下几点不同 波形矢量长度的平方为符号能量的2倍

24、 一维投影方差为2n0，但考虑到在复平面上只有一个方向是有效的，因此用于计算差错概率的噪声一维方差为n0 由于信号能量和噪声方差都增加2倍，不影响误码率结论多进制符号平均差错概率 ijiiiiiejiPsPsePsPP多进制符号平均差错概率 ijiiiiiejiPsPsePsPP二进制调制最佳接收的差错概率 单极性（2ASK）双极性（BPSK）0022012220010NEQNTAQPPTAETAEEbsebsbsss00201222110NEQNTAQPPTAEEEbsebsssb022ijijssijssEEE EP ijQN二进制调制最佳接收的差错概率 2FSK，其相关性不可能做到-1，

25、通过调整频偏最低可到-0.22，此时f=0.7/Ts 当然，常用的FSK的频率间隔是符号率一半的整数倍，此时相关性为0，误符号率与ASK相同。00201222.122.122.010NEQNTAQPPTAEEEbsebsssb022ijijssijssEEE EP ijQN0NEQb二进制调制误码率公式列表 单极性 双极性 FSK相干 相干差分BPSK FSK、ASK非相干 差分相干BPSK0NEQb02NEQb022.1NEQb022NEQb2/02NEbe2/0NEbe多进制相位键控MPSK 数学模型 其中 具体数值由待传数据决定 常见用法中集合 为均匀分布 2cosMPSKScnsnst

26、Etg tnT110,.,Mni02Mii ,1g tg tMPSK的波形相关系数（续）任意脉冲波形 MPSK对应于M种可能的发送波形 和 间的相关系数为 2cosiscis tEtg t tsi tsj 22coscoscoscos 2ijijijsscicjijcijs t st dtE Etg ttg t dttgt dt 什么情况下可以等于0？g(t)的带宽的影响 载波频率大于基带带宽，Bgfc是 的充分条件 其中 Bg 是G(f)的最大基带带宽 类似的结论也适用于ASK,PAM,QAM等调制方式cos ijij 时当02022cgfjicfBfGfGfAtgtatgt*cosMPSK

27、的差错概率（续）因此从 到 的成对差错概率为 tsi tsj2sin2cos122000jisjisssijssNEQNEQNEEEEQjiPjijiMPSK的差错概率（续）当M个相位均匀分布时，有：从 到 的成对差错概率为 可见，成对差错概率最高的是相邻相位之间，因此当信噪比很高时，误符号率近似为 tsi tsjMjiNEQjiPssin20MNEQPsssin220MPSK的误比特率 MPSK传递的是符号信息而不是比特信息，因此准确的评价是其误符号率 不过MPSK常用来传分组的二进制比特，此时就有二进制比特分组到MPSK符号之间的映射问题，不同映射时所获得的误比特率是不一样的MPSK的格雷

28、映射 映射原则：相邻相位点（最容易发生成对差错的）所映射的二进制分组只有一位不同。格雷映射有很多种 此时误比特率 前提是SNR足够大0000111101010010101111002logsbPPM特例:QPSK 事实上，如果QPSK采用格雷映射，其实就是一个4QAM 可以当成独立两路1bit传输 因此QPSK的误比特率为 误符号率为0002sin4221,3sssijEP ijQNEQijNEQijN0sBEPQN2002ssSEEPQQNN基带复平面上的星座点（多进制）4进制PAM(4ASK)16进制QAM等于载波相位相差90度的两路4ASK相加得到M进制ASK的复基带符号能量为22112

29、sMSA T对应于载波符号能量：22124ssMEA TM=L2进制QAM的复基带符号能量为2212*12sLSA T对应于载波符号能量：222112112sssLEA TMA TMASK和MQAM的最佳接收 22112MSg tdt这里平稳白噪声通过一个冲激响应为单位能量的滤波器其后的任一点采样的方差就是白噪声的双边功率谱密度MPAM接收信号分量只有实部，MQAM输出信号分量实虚部都有220IQn()kkatkT22002IssSEnSEn 22112IQLSSg tdt220IQn2220IIQQsSSSEnIQSSSMPAM和MQAM的最佳接收 MPAM只需对匹配滤波的实部进行判决 MQ

30、AM需要对匹配滤波的实、虚部分别判决 高信噪比，格雷映射时 可见，MPAM与MQAM相比，在一维电平数相同的情况下，误比特率与Eb/N0的关系相同，而MQAM谱效率提高一倍22200212121366log111sbsMMMEEMPQSNRQQMMMMNMMN,2200212121333log111sbs Is QLLLEEMPPQSNRQQLLLLNLMN2,1112ss Is Qs Is IPPPPP 20216loglog1bBLELPQLLLNMQAM的特点及差错概率 相当于两路MASK，分别调制在同相载波和正交载波上，对于M=L2的MQAM，相当于独立的两路L进制ASK 其中每一路的

31、差错概率为单路单路单路NSLQLLPS，131220002022log2logssbbSNENENENMENL单路单路单路MQAM的特点及差错概率（续）因此平均每一路中的符号差错概率为 在高信噪比情况下在高信噪比情况下，达到给定误符号率时，L增加一倍需要Eb增加6dB，但此时每符号可多传2比特（M=L*L）即平均增加1个比特的开销是3dB022,1log612NELLQLLPbMQAMS单路最佳接收小结 任意波形调制，平稳加性白高斯噪声信道 各种符号等概 单符号接收 上述条件下，最优接收为最小欧氏距离准则 可转化为相关性或匹配滤波器接收结构 利用空间特性证明一般的成对差错概率公式 在此基础上得

32、到各种常见误码率公式信噪比、Eb/N0与带宽 信号功率为S=Es/Ts=EsRs=EsRb/k=EbRb 为信息比特率，k为平均每符号携带的信息量 噪声功率为N=N0B SNR=(Eb/N0)(Rb/B)注意带宽的含义，这里指的是射频的单边带宽，基带的双边带宽 注意信噪比的含义，这里指的是接收机中经过初级滤波器（对发送波形基本没有畸变，同时又能最大限度地抑制噪声）后的信噪比 注意(Eb/N0)和(Es/N0)表示的都是接收机入口处(即刚过信道处)的值，不随后级的处理而变，主要用于表征入口处的信号与噪声的相对关系(Eb/N0)和(Es/N0)表示的是对发射功率及信道的客观描述是对发射功率及信道的客观描述，与接收方法无关与接收方法无关信噪比的含义 SNR则可以表征接收机的任一处的信号对噪声的相对关系，不同位置的SNR是不同的 SNR0是很小的值 SNR3为采样点SNR SNR2为匹配滤波后的SNR SNR1为初级滤波后的SNR发送脉冲波形s(t)冲激响应为s*(-t)的滤波器在时刻处采样AWGN初级滤波SNR1SNR0SNR2SNR3几种带宽的定义 半功率带宽(3dB带宽）等效噪声带宽(举例：根号升余弦)频谱零点带宽 功率比例带宽 最低功率谱密度带宽