逆矩阵及其求法2021完整版课件.ppt

1、逆矩阵及其求法逆矩阵及其求法定义定义10 对于对于n阶方阵阶方阵A,若有一个若有一个n阶方阵阶方阵B,使使AB=BA=E,则称方阵则称方阵A可逆可逆,并称方阵并称方阵B为为A的逆阵的逆阵,记作记作A 1.注注:如果方阵如果方阵A可逆可逆,则逆阵是唯一的则逆阵是唯一的.设设B、C 均为均为A的逆阵的逆阵,则则逆阵是唯一的逆阵是唯一的.一、逆矩阵的概念及其求法一、逆矩阵的概念及其求法则则B=A 1.B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理一定理一 若方阵若方阵A可逆可逆,则则|A|0.证证 A可逆可逆有有A 1,使使AA 1=E|A|A 1|=|E|=1|A|0定理二定理二 若若|A|0,则

2、方阵则方阵A可逆可逆,且且其中其中A*称为方阵称为方阵A的伴随方阵的伴随方阵,它是它是|A|的各的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵个元素的代数余子式所构成的如下方阵:,|1*1AAA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*证证 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211设设)|1(*AAA*|1AAA nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaA212221212111212222111211|1|000|000|1AAAA 100010001|1AA=E由逆阵的定义有由逆阵的定义有:EEAA|1 AAA)|1(*同样同样*1|1AAA

3、注注:AA*=A*A=|A|E推论推论 若若AB=E(或或BA=E),则则B=A 1.证证|A|B|=|E|=1|A|0A 1存在存在B=EB=(A 1A)B=A 1(AB)=A 1E=A 12.若若A可逆可逆,则则A 1也可逆也可逆,且且(A 1)1=A证证由推论得由推论得二、逆矩阵的性质二、逆矩阵的性质1.若若A可逆可逆,则有则有|A 1|=|A|1证证AA 1=E|A|A 1|=1|A 1|=|A|1A 1A=E(A 1)1=A|A 1|=|A|1 0 A 1可逆可逆若A、B为同阶方阵,且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)1=B1A1(AB)1=B1A1若A可逆,数0,则A可逆,且(A)1

4、=注:如果方阵A可逆,则逆阵是唯一的.若A、B为同阶方阵,且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)1=B1A1例3 设方阵A满足A2A2E=0,证明:A,A+2E都可逆,并求它们的逆阵.A0=E,Ak=(A1)k.定义10 对于n阶方阵A,若有一个n阶方阵B,使AB=BA=E,则称方阵A可逆,并称方阵B为A的逆阵,记作A1.推论 若AB=E(或BA=E),则B=A1.若A可逆,则A也可逆,且(A)1=(A1)若A可逆,则有|A1|=|A|1|A|B|=|E|利用逆阵可用于解线性方程组:AX=B注:如果方阵A可逆,则逆阵是唯一的.(AB)(B1A1)A0=E,Ak=(A1)k.其中A*称为方阵A的伴随

5、方阵,它是|A|的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵:其中A*称为方阵A的伴随方阵,它是|A|的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵:若A可逆,则A也可逆,且(A)1=(A1)有A1,使AA1=E3.若若A可逆可逆,数数 0,则则 A可逆可逆,且且(A)1=证证由推论得由推论得4.若若A、B为同阶方阵为同阶方阵,且均可逆且均可逆,则则AB亦可逆亦可逆,且且(AB)1=B 1A 1证证由推论得由推论得:11 A|A|=n|A|0 A可逆可逆)1)(1 AA )(11 AA =E111)(AA|AB|=|A|B|0AB可逆可逆(AB)(B 1A 1)=A(BB 1)A 1=AEA 1=AA 1=

6、E(AB)1=B 1A 1证证由推论得由推论得另外另外,定义定义:当当|A|0时时,A0=E,A k=(A 1)k.k为正整数为正整数5.若若A可逆可逆,则则A 也可逆也可逆,且且(A)1=(A 1)|A|=|A|0 A 可逆可逆A(A 1)=(A 1A)=E=E(A)1=(A 1)有有:A A=A+,(A)=A.,为整数为整数 例例1 求方阵求方阵 的逆阵的逆阵.523012101A解解:523012101|A=2 0A可逆可逆,5520111 A,10530212 A 3323133222123121111|1AAAAAAAAAAA 127221012521 2112711521125A1

7、3=7,A21=2,A22=2,A23=2,A31=1,A32=2,A33=1例例2 求求X:41234151)1(X解解:方程两端左乘矩阵方程两端左乘矩阵14151 ,得得 412341514151415111X 412341511X 41231154 642817得得 510402321112011111)2(X解解:方程两端右乘矩阵方程两端右乘矩阵1112011111 1112011111510402321 X例例3 设方阵设方阵A满足满足A2 A 2E=0,证明证明:A,A+2E都可逆都可逆,并求它们的逆阵并求它们的逆阵.证证A2 A 2E=0A(A E)=2EEEAA 212 EAA

8、|A|0A可逆可逆)(21,1EAA A2 A 2E=0(A+2E)(A 3E)+4E=0EEAEA )3(41)2(1)3(412 EAEA|A+2E|0 A+2E可逆可逆)3(41)2(1EAEA 43AE 利用逆阵可用于解线性方程组利用逆阵可用于解线性方程组:AX=B若若A可逆可逆,则则X=A 1B例例4 解线性方程组解线性方程组 3532522132321321321xxxxxxxxx解解:把方程组写为把方程组写为:AX=B其中其中,153522321 A,321 xxxX 321B|A|=15 0A可逆可逆,1521511541511581513154151315231 A求得求得X=A 1B 321152151154151158151315415131523321xxxX 001 001321xxx