连续系统振动梁的弯曲振动2021完整版课件.ppt
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- 连续 系统 振动 弯曲 2021 完整版 课件
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1、2023年5月10日振动力学2 梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程动力学方程细长梁的横向弯曲振动细长梁的横向弯曲振动),(txf),(txmyx0梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内外载荷作用在该平面内内外载荷作用在该平面内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响梁在该平面作横向振动(微振)梁在该平面作横向振动(微振),这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形欧拉伯努利梁(欧拉伯努利梁(Bernoulli-Euler Beam)f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度
2、梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数:梁参数:I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量S 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力:外部力:假设:假设:连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学3),(txf),(txmyx0f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令:令:y(x,t):距原点距原点 x 处的截面在处的截面在 t 时刻时刻 的横向位移的横向
3、位移),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力:22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力微段所受的外力:),(dxtxm微段所受的外力矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学4dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程力平衡方程:0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 以右截面上任一点为矩心,力矩平衡:以右截面
4、上任一点为矩心,力矩平衡:0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs(略去高阶小量得:略去高阶小量得:),(txmxMFs材料力学的等截面假设,弯矩与挠度的关系:材料力学的等截面假设,弯矩与挠度的关系:22),(),(xtxyEItxM),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程:变截面梁的动力学方程:连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动5),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程:变截面梁的动力学方程:等截面梁的动力学方程:等截
5、面梁的动力学方程:),(),(2244txmxtxftySxyEI 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学6固有频率和模态函数固有频率和模态函数),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁:变截面梁:讨论梁的自由振动讨论梁的自由振动 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx根据对杆纵向振动的分析,梁的主振动可假设为:根据对杆纵向振动的分析,梁的主振动可假设为:)sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振动方程:代入自由振动方程:0)(2 SEI等截面梁:等截面梁:0)()(4)4(xx2
6、024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解:通解:)41(iCi和和可通过梁的可通过梁的边界条件边界条件确定确定 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学70),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁:等截面梁:主振动:主振动:)sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第第 i 阶主振动:阶主振动:)(xii无穷多个无穷多个)sin()(),()(iiiiitxatxyiai和和 由系统的由系统的初始条件初始条件确
7、定确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加:系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加:1)sin()(),(iiiiitxatxy连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学8常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 0),(xtxy0)(x0)(xlx 0 或(1)固定端)固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零0),(txy(2)简支端)简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零0),(22xtxyEIM0),(txy0)(x0)(xlx 0 或(3)自由端)自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零0),(22xtxyEIM0 xMFs0)(x0)(xlx
8、0 或)()(),(tqxtxy连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学9例:例:求悬臂梁固有频率和模态函数求悬臂梁固有频率和模态函数x0y解:解:一端固定,一端自由一端固定,一端自由边界条件边界条件0)0(0)0(固定端:挠度和截面转角为零固定端:挠度和截面转角为零自由端:弯矩和截面剪力为零自由端:弯矩和截面剪力为零0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 31CC 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCllCllCllC0coshcossinhsinsinhsin
9、coshcos llllllll21CC、非零解条件:非零解条件:2024aSEIa2042CC连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学100coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时),4,3(,212 iili875.11 l694.42 l855.73 l3 i当当 时时各阶各阶固有频率固有频率:2024aSEIa20),2,1(,)(42 iSlEIlii对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数:),2,1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxiiiiii),2,
10、1(,sinhsincoshcos illlliiiii01coshcos ll简化简化连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学11铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学12例:例:简支梁固有频率和模态函数简支梁固有频率和模态函数解:解:一端固定铰,一端滑动铰一端固定铰,一端滑动铰0)0(0)0(固定铰:挠度和截面弯矩为零固定铰:挠度和截面弯矩为零
11、滑动铰:挠度和截面弯矩为零滑动铰:挠度和截面弯矩为零0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 031 CC 0sinhsin0sinhsin4242lClClClC2024aSEIa20yx004 C0sin l频率方程:频率方程:),2,1(,iili固有频率:固有频率:),2,1(,)(2 iSEIlii连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学130sin l频率方程:频率方程:固有频率:固有频率:),2,1(,)(2 iSEIlii0431 CCC模态函数:模态函数:),2,1(,sin)(ixlixi),2,1
12、(,iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置yx0无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学14例:例:两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景:导弹飞行背景:导弹飞行yx0系统类别:半正定系统系统类别:半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞行导弹飞行2连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023
13、年5月10日振动力学15yx0频率方程:频率方程:1coshcos ll模态函数:模态函数:2024aSEIa20),2,1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxiiiiii),2,1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii当当 i=1,2,3时时解得:解得:730.41 l853.72 l996.103 l3 i当当 时时),4,3(,)21(iili自由端:弯矩和截面剪力为零自由端:弯矩和截面剪力为零0)0(0)0(0)(l0)(l0 i当当 时时00 l对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振
14、动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学16第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学17例:试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频例:试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程,并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠率方程,并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。度曲线。yx0l连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学18yx0l解:解:0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁
15、的自由振动方程:梁的自由振动方程:边界条件边界条件0),0(ty0),0(ty固定端:固定端:自由端:自由端:0)0(0)0(0),(tly0),(tly0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模态函数:模态函数:连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学19yx0l0)0(0)0(0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0(031CC13CC0)0(042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)(l0)sinh(sin
16、)cosh(cos21llCllC连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学200coshcossinhsinsinhsincoshcosllllllll21CC、非零解条件:非零解条件:0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC频率方程:频率方程:0sincoshsinhcosllll求得:求得:352.13,210.10,069.7,927.34321llll对应的各阶模态函数:对应的各阶模态函数:),2,1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入:代入:
17、),2,1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学21yx0l第一阶模态:第一阶模态:),2,1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二阶模态:第二阶模态:0.560069.7927.321ll连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学22例:悬臂梁例:悬臂梁一端固定,另一端有弹性支撑一端固定,另一端有弹性支撑边界条件边界条件0)0(0)0(固定端:挠度和截面转角为零固定端:挠度和截面转角为零弹性支撑端:剪力、弯矩分别与直
18、线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹性支撑端:剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl弹簧二:直线弹簧与挠度成正比弹簧二:直线弹簧与挠度成正比弹簧一:卷簧与截面转角成正比弹簧一:卷簧与截面转角成正比弯矩平衡条件:弯矩平衡条件:),(),(222tlykxtlyEIx xtlykxtlyEI ),(),(122剪力平衡条件:剪力平衡条件:)()(),(tqxtxy)()(1lklEI )()(2lklEI 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学23xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)cosh(cos)sinh(s
19、in)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0(0)0(固定端:固定端:弹性支撑端:弹性支撑端:)()(1lklEI )()(2lklEI 由固定端条件解得:由固定端条件解得:4231,CCCC 由弹性支撑固定端条件解得:由弹性支撑固定端条件解得:0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学24或或21CC、非零解条件导出频率方程:非零解条件导出频率方程:0)
20、cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学25)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(
21、cos1coshcos132 kllllEIkll(1)若)若k1、k2 同时为零,则退化为悬臂梁的情形同时为零,则退化为悬臂梁的情形2kx0y1kl讨论:讨论:01coshcosllx0y连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学26)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll(2)若)若k10、k2 无穷大,则退化为一端固定另一端简支的情形无穷大,则退化为一端固定另一端简支的情形2kx0y1k讨论:讨论:0coshsinsinhc
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