-几何图形在二次函数中的存在性问题探解.docx
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- 几何图形 二次 函数 中的 存在 问题
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1、-几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容,更是中考的重要考点之一,它以丰富的知识内涵,深远的知识综合,深厚的数学思想,灵活的解题方法,奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师,更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家,供学习时借鉴.一、.三角形的存在性1.1 等腰三角形的存在性例1 (2017年淮安)如图1-1,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P (1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,
2、请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当0x3时,在抛物线上求一点E,使CBE的面积有最大值(图1-2、1-3供画图探究)分析: 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式,思路有几个待定系数,解答时就需要确定几个点的坐标;第二问探析等腰三角形的存在性,解答时,要做到一先一后,先清楚动点的位置与特点,后对等腰三角形进行科学分类,一是按边分类,一是按角分类;第三问探求三角形面积的最大值,这是二次函数的看家本领,只需将三角形的面积适当分割,恰当表示,最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可.解:(1)因为直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,所以B(3
3、,0),C(0,3),所以,解得,所以抛物线解析式为y=4x+3;(2)因为y=4x+3=1,所以抛物线对称轴为x=2,顶点P(2,1),设M(2,t),因为CPM为等腰三角形,如图2所示,当MC=PC时,过C作CQ对称轴,垂足为Q,则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M到x轴的距离8-1=7,所以的坐标(2,7);当MP=MC时,作PC的垂直平分线交对称轴于点M,所以,解得t=,所以的坐标(2, );当MP=PC时,以P为圆心,以PC为半径画弧,交对称轴于,两点,所以|t+1|=2,解得t=1+2或t=12,此时(2,1+2)或(2,12);综上可知,存在点M,使以C,P,
4、M为顶点的三角形为等腰三角形,其坐标分别为(2,7)或(2,)或(2,1+2)或(2,12);(3)如图3所示,过E作EFx轴,交BC于点F,交x轴于点D,设E(x,4x+3),则F(x,x+3),因为0x3,所以EF=+3x,所以EFOD+EFBD=EFOB=+,所以当x=时,CBE的面积最大,此时E点坐标为(,-),即当E点坐标为(,-)时,CBE的面积最大赏析 此题以直线与坐标轴交点坐标的确定为解题突破口,强化待定系数法确定二次函数的解析式,解二元一次方程组基本功是否扎实,成为解析式是否确定正确的关键;按照两边相等的三角形是等腰三角形的思想,巧妙运用分类思想,去确定不同形状的等腰三角形,
5、从而建立起不同的等式,为最终确定点的坐标奠定等式基础,这种分类的思想,以后学习中也会经常用到,希望能熟记于心,活用与手;把三角形面积的最大值转化为二次函数的最大值是本题的最大亮点,而助燃这个亮点的两个细节更是值得关注,一是学会把三角形的面积进行科学分割;二是横坐标相同两点之间距离等于其纵坐标差的绝对值.细节决定成败,谁不注重细节,谁就不会品尝到成功的喜悦.1.2 定底边等腰三角形的存在性例2 (2017毕节)如图4,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(1,0),B(4,0),C(0,4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点(1)求这个二次函数的解析式;(2)是否存在点P,使POC
6、是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;(3)动点P运动到什么位置时,PBC面积最大,求出此时P点坐标和PBC的最大面积分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法求得抛物线解析式;(2)利用等腰三角形三线合一的性质,知道点P在线段OC的垂直平分线上,从而确定线段OC中点的坐标,高线与抛物线的交点就是P点坐标;(3)过P作PEx轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出PBC的面积,利用二次函数的性质可求得PBC面积的最大值及P点的坐标解:(1)抛物线解析式为y=3x4;(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方
7、抛物线于点P,如图4,所以PO=PD,所以D(0,2),所以P点纵坐标为2,所以3x4=2,解得x=(小于0,舍去)或x=,所以存在P点,使POC是以OC为底边的等腰三角形,且坐标为(,2);(3)因为点P在抛物线上,设P(t,3t4),过P作PEx轴于点E,交直线BC于点F,如图5,所以直线BC解析式为y=x4,所以F(t,t4),所以PF=+4t,所以=+=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)=PFOB=-2+8,所以当t=2时,SPBC最大值为8,此时3t4=6,所以当P点坐标为(2,6)时,PBC的最大面积为8赏析 第二问解题的关键有二,一是等腰三角形三线合一性质,这是确定P点位置的
8、关键;第二个是根据点的纵坐标建立一元二次方程确定自变量的值,熟练解一元二次方程是解题的关键;其次,也要注意细节,解的取舍;第三问的解答可以引申如下一般性结论,如图6,已知抛物线y=a+bx +c(a0),点A(,),点B(,),点C(,)是抛物线上的三点,CDx轴交线段AB与点D,且点D的坐标为(,);结论:三角形ABC的面积S=+=CDBE=(-)(-).1.3 动点在抛物线上的直角三角形存在性例3 (2017潍坊) 如图7,抛物线经过平行四边形ABCD的顶点A(0.3),B(-1.0),D(2.3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛
9、物线交于另一点F.点P为直线上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式;(2)当t何值时,PFE的面积最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在点P使PFE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.分析: 1.第一问是待定系数法确定二次函数的解析式,只需把三个点的坐标分别代入给出的解析式转化成三元一次方程组求解即可;2.用自变量t表示PEF的面积,把三角形面积的最大值问题转化成关于t的二次函数的最大值问题是解题的关键;3.直角三角形的存在需要利用分类的思想,确定哪一个角为直角,后求解.解:(1)二次函数的解析式为y=-+2x+3;(2).据A,D的坐标知道AD=2
10、,所以BC=2,所以点C的坐标为(1,0),所以直线AC的解析式为y=-3x+3,直线BC的解析式为y=x+1,所以对角线的交点坐标为(,),因为经过点E的直线将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,所以EF一定经过(,),所以直线EF的解析式为y=-x+,由,解得x=-,所以点F的坐标为(-,),如图7,过点P作PHx轴,垂足为H,交于点M,作FNPH,因为点P的横坐标是t,所以点P的纵坐标为为=-+2t+3,点M的纵坐标为=-t+,所以PM=-=-+t+.所以=-,所以当t=时,PEF面积最大,最大值为,所以=.(3).如图8,因为点P(t, -+2t+3),当t=0时,P的坐标为(0
11、,3),此时点P与点A重合,PAE不存在,所以t0;当t=3时,P的坐标为(3,0),此时点P与点E重合,PAE不存在,所以t3;由图像知道PEA90,当PAE=90,因为=-1,=-t+2,所以=-1,所以-t+2=1,解得t=1;当APE=90,因为=-(t+1),=-t+2,所以=-1,所以-(t+1) (-t+2)=-1,整理,得-t-1=0,解得 t=或t=-(舍去),所以存在点P使PAE为直角三角形,此时t=1或t=.赏析 第一问的解答是基础性问题,知识点很明确,解题的方法与思路也很清晰,熟练是根本;第二问有三个细节是二次函数考题共性问题:用点的横坐标,结合函数解析式表示点的纵坐标
12、,从而使得点坐标用同一字母表达,必须学会;把三角形的面积分割成以交点构成线段为公共底边的两个三角形面积和;平行y轴直线上两点间的距离等于较上端点与较下端点的纵坐标的差,也很关键,必须学会;其次就是转化思想的渗透;第三问着重是分类思想,对于直角三角形存在问题,分类时按照哪一个角是直角的标准去分,一共三种情形,其次,要学会直线垂直时解析式的比例系数k之间的关系,这也是解题中经常用到的方法.1.4 动点在圆上的直角三角形存在性例4 (2017年徐州)如图9,已知二次函数y=4的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,C的半径为,P为C上一动点(1)点B,C的坐标分别为B(),C( );(2)是否存
13、在点P,使得PBC为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接PB,若E为PB的中点,连接OE,则OE的最大值=分析:此题第(1)小题考查了求二次函数图像上特殊点的坐标问题;(2)在第(2)小题中,先讨论当点p满足什么条件时PBC是直角三角形,要想做到不重不漏,选择分类的标准很重要.因为已知条件要求点P为C上,根据圆周角的性质可知,PBC一定是锐角,这样PBC为直角三角形只有如下两种情形:当PB与C相切时,PBC为直角三角形,如图10,根据勾股定理和相似三角形的性质定理可以求得点P的坐标;当BCPC时,PBC为直角三角形时,如图11,根据相似三角形的判定和性质也可得到
14、结论;在第(3)小题中,如图12,点p在C上运动时,点E也随之运动,所以找到当点P运动到什么位置时OE的值最大,是解题的关键.根据A,B的坐标可知点O是线段AB的中点,E是线段PB的中点,所以OE是PAB的中位线,根据三角形中位线定理,得AO=2OE,所以要想使得OE最大,只需满足AP最大,从而把问题转化成圆外一个定点到圆上一个动点距离最大问题,显然是定点,圆心,动点三点共线时取得最大值,于是问题得解.解:(1)因为二次函数解析式为y=4,令y=0,得x=3,令x=0,得y=4,所以B(3,0),C(0,4);(2)存在点P,使得PBC为直角三角形.理由如下:如图10,当PB与C相切时,PBC
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