-导数中的差值比值问题—读者版.docx
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1、 专题3 导数中的差值比值问题 完成了外函数分而治之,那么同个函数内部的那些构造也被拿上了台面,关于f(x1)f(x2)极值之差问题,还有f(x1)+f(x2)极值之和问题,这里我们会简单介绍一下极值偏移和拐点偏移的原理。关于x1/x2的比值代换,甚至需要切线夹放缩的x1x2。这些题起源于高考,反复演变,正在逐渐取代之前传统的利用导数求函数单调性和极值的问题,知识反复更新和迭代的过程中,我们确实需要更新数学模型和方法.第一讲 极值之差例1.(2020攀枝花一模)已知函数()求曲线在点处的切线方程;()若函数(其中是的导函数)有两个极值点、,且,求的取值范围例2.(2019广东期末)已知函数有两
2、个极值点,其中()求实数的取值范围;()当时,求的最小值例3.(2020绵阳模拟)己知函数,其中(1)讨论函数的单调性;(2)设函数有两个极值点,(其中,若的最大值为,求实数的取值范围例4.(2018四川模拟)已知函数(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,求的取值范围,并证明例5.(2019长沙期末)已知()当时,求的单调区间;()若为的导函数,有两个不相等的极值点,求的最小值例6.(2019芜湖校级模拟)已知函数()若,求曲线在点处的切线的方程;()设函数有两个极值点,其中,求的最小值例7.(2019新课标)已知函数(1)讨论的单调性;(2)当时,记在区间的最大值为,最
3、小值为,求的取值范围例8.(2019和平区校级月考)已知函数,为常数(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个极值点,且,求证:例9.(2020遂宁模拟)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若函数 有两个极值点,且不等式恒成立,求实数的取值范围第二讲 极值之和极值之和问题最早出现在2014年湖南高考自主命题卷中,解决问题的关键就是将转化为统一参数后,构造新函数求出极值之和取值范围.例10.(2014湖南)已知常数,函数()讨论在区间上的单调性;()若存在两个极值点,且,求的取值范围例11.(2020郑州一模)已知函数()若在点处的切线与直线平行,求在点的切线方程;()若函数在定义域内有两个极
4、值点,求证:例12.(2019湖南期末)已知函数有两个不同的极值点,(1)求的取值范围(2)求的极大值与极小值之和的取值范围(3)若,则是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,说明理由秒杀秘籍:极值之和,极值点和拐点共点取最值根据琴生(Jensen)不等式,当时,我们称之为上凸函数,通常对数函数,二四象限的反比例函数均为上凸函数;当时,我们称之为下凹函数,通常指数函数,开口向上二次函数均为下凹函数.极值偏移:若有极值,若存在,当时,称为极大值左偏,当时,称为极大值右偏;同理,若有极值,若存在,当时,称为极小值左偏,当时,称为极小值右偏.由于篇幅关系,本篇不做极值偏移的详细介绍,我们近期将推出一
5、本导数的专题新书,会系统介绍极值偏移和拐点偏移的解题方法。图1 图2极值点左偏:,处切线与x轴不平行;(图1)若上凸(递减),则,若下凸(递增),则. 极值点右偏:,处切线与x轴不平行;(图2)若上凸(递减),则,若下凸(递增),则.极值偏移的本质:函数时,则极大值左偏,极小值右偏;函数时,则极大值右偏,极小值左偏(正负号由极小值偏移方式决定,极大值则相反方向偏移);例13.(2018浙江)已知函数()若在,处导数相等,证明:;()若,证明:对于任意,直线与曲线有唯一公共点第三讲 比值函数最早出现在2014天津卷,涉及参变分离和基础找点比大小,有关,要转化为来进行构造成的函数,之前在证明对数平
6、均不等式用到比值换元函数,比值换元一般用在对数函数里面,指数函数都需要转化为对数来进行构造,类似于指数平均不等式可以用对数来证明一样。我们先看几个例题.例14.(2014天津)设,已知函数有两个零点,且()求的取值范围;()证明:随着的减小而增大;()证明随着的减小而增大例15.(2019邢台期末)已知函数,若有两个极值点,且,则的取值范围是ABCD例16.(2018武昌区校级模拟)已知函数,其中无理数(1)若函数有两个极值点,求的取值范围(2)若函数的极值点有三个,最小的记为,最大的记为,若的最大值为,求的最小值第四讲 切线夹放缩解决x2-x1问题最早出现切线夹放缩在2015年天津高考卷,我
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