2021-2022高中数学必修四期末试卷(含答案).doc

1、一、选择题1已知，则的值为（ ）ABCD2已知，则（ ）ABCD3已知的内角、的对边分别为、，边上的高为，且，则的最大值是（ ）ABCD4若，则下列说法sin2sin，cos2cos，tan2tan，正确的是（ ）ABCD5已知非零向量，夹角为 ，且，,则等于（ ）ABCD6已知、为单位圆上的两个动点，且满足，则的取值范围为（ ）ABCD7已知为等边三角形，则( )ABCD8在中，为边上的高，为的中点，若，其中，则等于（ ）A1B C D 9已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）A关于点对称B关于点对称C关于直线对称D关

2、于直线对称10将函数的图象横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后向左平移个单位，所得函数记为.若，且，则（ ）ABCD11已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A，B，C，D，12设函数，则函数在区间上的零点个数是（ ）A4B5C12D13二、填空题13已知函数在区间上单调递增，则实数m的最大值是_.14若，且，则的值是_15已知，若对任意不等式 恒成立，则实数的取值范围是_.16已知，如果P点是所在平面内一点，且，那么的值等于_.17已知函数的部分图象如图所示，其中(点为图象的一个最高点)，则函数=_.18如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min，其中心O离地面45米，半径40米

3、.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了_分钟？19已知向量，若单位向量与平行，则=_.20已知平面向量，满足，与的夹角为120，则的最大值是_.三、解答题21如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，当时，以x轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式证明：（附：平面上任意两点，间的距离公式22已知函数（1）求的最小正周期；（2）若，求的值23已知，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角.24如图，在梯形中，E为

4、的中点，（1）求；（2）求与夹角的余弦值25已知函数满足条件：，且（1）求的解析式；（2）由函数的图象经过适当的变换可以得到的图象现提供以下两种变换方案：请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整26已知函数（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （2）说明函数的图像可以通过的图像经过怎样的变换得到？（3）若，写出的值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】利用二倍角公式化简得到再利用同角的平方关系求解.【详解】由题得所以因为，所以因为，所以.故选：D【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.2C解析

5、：C【解析】 因为，所以， 所以，故选C.3C解析：C【分析】由余弦定理化简可得，利用三角形面积公式可得，解得，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值【详解】由余弦定理可得：，故：，而，故，所以：故选【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题4B解析：B【分析】取判断，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断.【详解】当时，则错误；，即，正确；故选：B【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.5A解析：A【分析】根据数量积的运算，两边平方即可求解.【详解】,，夹角为,解得：，故选：A【

6、点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.6B解析：B【分析】作出图形，可求得线段的中点的轨迹方程为，由平面向量加法的平行四边形法则可得出，求得的取值范围，进而可求得的取值范围.【详解】由，可知为等边三角形，设为的中点，且，所以点的轨迹为圆，又，所以，即.由平面向量加法的平行四边形法则可得，因此.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7B解析：B【分析】判断两向量夹角容易出错，是，而不是【详解】由图发现的夹角不是而是其补角，【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错

7、题，该类型题建议学生多画画图.8D解析：D【分析】根据题设条件求得，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得，得到，即可求解.【详解】在中，为边上的高， 可得，又由，所以,由向量的运算法则，可得,又因为为的中点，因为，所以，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9B解析：B【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为，可知，从而可求出，再由的图像向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，可得，从而可求出的值，然后逐个分析各个选项即可【详解】因为相邻两

8、条对称轴的距离为，故，从而.设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，则，因的图像关于轴对称，故，所以，所以，因，所以.又，令，故对称轴为直线，所以C，D错误；令，故，所以对称中心为，所以A错误，B正确.故选：B【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.10D解析：D【分析】先利用函数的图像变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得的值，可得的值.【详解】将函数的图象横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得的图象；再向左平移个单位，所得函数，若，则，则.故选：D.【点睛】本题考查函数的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.11D解析：D【

9、分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出，通过函数经过的最大值点求出值，即可得到结果.【详解】由函数的图象可知:，.当，函数取得最大值1，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求的值，通过最值点求的值是解题的关键，属于基础题.12A解析：A【分析】由题意知函数在区间上的零点个数等价于函数与图象在区间上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解.【详解】令可得，所以函数在区间上的零点个数等价于函数与图象在区间上交点的个数.分别作出与图象，由图知两个函数图象在区间上有个交点，所以函数在区间上的零点个数是，故选：A【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法

10、（1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.二、填空题13【分析】利用辅助角公式进

11、行化简结合函数的单调性进行求解即可【详解】解：当时在区间上单调递增得即m的最大值为故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简考查三角函数的单调性属于基础题解析：【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】解：，当时，在区间上单调递增，得，即m的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题.14【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析：【分析】由诱导公式化简，再利用

12、同角三角函数间的关系和角的范围可得答案.【详解】由，且，得故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.15【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值解析：【分析】先将化解成正弦型，然后根据取值范围求出最值，根据恒成立可建立不等式，解出不等式即可.【详解】，当时，恒成立，解得.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值.1613【分析】由条件可得可得由可得出答案【

13、详解】又故答案为：13【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题解析：13【分析】由条件可得，可得，由，可得出答案.【详解】，又，.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.17【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知解析：【分析】由点的坐标可得的值，由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求得的

14、值，可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为，则，由图象可知，函数的最小正周期为，将点的坐标代入函数的解析式得，可得，则，解得，故答案为：【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.18【分析】根据题意得到化简得到或得到答案【详解】设时间为根据题意：故故或故或故故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的应用意在考查学生的应用能力解析：【分析】根据题意得到，化简得到或，得到答案.【详解】设时间为，根据题意：，故.故或，故或，.故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.19或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模

15、得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意又或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：或【分析】由向量的坐标运算求出，并求出它的模，用除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意，又，或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与平行的单位向量有两个，它们是相反向量：只写出一个向量是错误的20【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以且因为联立令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最解析：【分析】设设，则有，联立四个

16、方程，令，整理得到，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.【详解】设，由题意可知，则由与夹角为，所以，且，因为，联立，令，即，整理得，将其看作关于的方程，若方程有解，则有，整理得，解得，因为，所以的最大值是，故答案为：.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下：（1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积；（2）根据向量数量积运算法则求得其结果；（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.三、解答题21（1）两角差的余弦公式为：，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量，再利用数量

17、积代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知，再结合两角差的余弦公式展开即得结论.【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：.证明：依题意，则，故由得，即，当时，容易证明上式仍然成立故成立；（2）证明：由诱导公式可知，.而，故.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.22（1）；（2）【分析】（1）由二倍角公式和两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得出结论；（2）已知条件即为，由平方关系求得，然后由两角和的余弦公式计算【详解】解：（1）所以（2）因为，所以，即所以因为，所以【点睛】思路点睛：本题考查二倍角公式，两角

18、和与差的正弦、余弦公式，求三角函数的周期解题思路是利用二倍角公式和两角和与差的正弦（余弦）公式把函数式变形为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数性质求解在求三角函数值时，要注意已知角和未知角的关系，通过分析已知角和未知角的关系选用恰当的公式计算，同时注意角的范围的判断23（1）；（2）.【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求，然后由可求（2）设与的夹角，代入向量的夹角公式可求【详解】解：（1），且与夹角为.（2）设与的夹角则.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题24（1）0；（2）.【分析】（1）由为等边三角形得出，由向量

19、的加法和减法运算得出，再由向量的数量积公式得出的值；（2）设，则，由数量积公式得出，进而得出与夹角的余弦值【详解】解：（1）因为，所以为等边三角形，又E为的中点所以则（2）设，则设与的夹角为，则【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.25（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）根据周期求，利用对称轴求；（2）选择，先平移变换，后进行周期变换；选择，先周期变换，后进行平移变换.【详解】（1）由，知函数的周期为 ，所以，即.由，知函数的图象关于对称所以，即，所以.因为，所以，所以.（2）方案：将的图象向右平移个单位后，得到的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标

20、不变，得到的图象方案：将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象；再将所得图象向右平移个单位，得到得到的图象.【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：求A通常用最大值或最小值；求通常用周期；求通常利用函数上的点代入即可求解.(2)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变a；而先伸缩势必会改变大小，这时再平移要使相位改变值仍为a，那么平移长度不等于a；26（1）答案见解析； （2）答案见解析；（3）.【分析】（1）令分别等于0，求出对应的坐标，再描点作图即可作出函数在一个周期上的简图（2）将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再将得到的图象向左平移得，然后将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍即可（3）由，可得或，结合即可得答案.【详解】（1）列表：00300描点，连线，作图如下：（2）将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，再将得到的图象向左平移得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，；（3）因为，所以，或，即或，又因为，所以的值为.【点睛】方法点睛：三角函数图象变换步骤：先向左()或向右()平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来(横坐标不变)，这时的曲线就是的图象