2021年中考数学复习讲义:第五章-轴对称-模型(十九)-海盗埋宝模型.doc
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- 2021 年中 数学 复习 讲义 第五 轴对称 模型 十九 海盗
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1、第五章.轴对称模型(十九)海盗埋宝模型 模型讲解【结论】如图 ,ADC和BEC是等腰直角三角形,A,B为直角顶点,F为DE的中点,连接FA,FB,则FAB是等腰直角三角形. 【特征】两等腰直角三角形 一组底角共顶点另一组底角顶点相连取中点 口诀 【证明】(方法一倍长中线法)如图,延长 AF至点P使得 FP=AF,连接 PE,PB,延长 PE交AC于点Q.在DAF 和EPF 中,DF=EF, DFA=EFP, AF=PF,DAFEPF(SAS),DA=EP,DAF=EPF. DAEP.EQCDAQ90.在四边形 EQCB 中,EQCEBC9090180,QEBQCB360-180=180.又QE
2、BPEB180, QCBPEB.在ACB和PEB中,AC=PE, ACBPEB, BC=BE,ACBPEB(SAS). AB=PB,ABCPBEABCABEPBEABE,即ABPCBE=90. ABP是等腰直角三角形.又F是AP 的中点,BFAP,BF=AF.FAB是等腰直角三角形,F为直角顶点.(方法二构造手拉手模型)将DAC沿 AC对称,得PAC,将EBC沿 BC 对称,得QBC,连接EP,DQ.易证PCEDCQ(手拉手模型), PE=DQ,PEDQ(手拉手模型的结论).AF是DPE的中位线,BF是DQE的中位线 ,AFPE,AFPE,BFDQ.BFDQ, AF=BF,AFBF,FAB是等
3、腰直角三角形,F为直角顶点典例秒杀典例1 在任意三角形 ABC中,分别以 AB 和AC 为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形,如图所示,M是 BC的中点,连接 MD和 ME,则 MD与ME 具有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由 【解析】MDME,MDME.理由如下如图,分别取 AB,AC的中点F,G,连接DF,FM,MG,EG,设AB与DM 交于点H ADB 和AEC都是等腰直角三角形,DFAEGA90,DFAFAB, EGAGAC,M是BC 的中点,FM和MG都是ABC的中位线, AFMG,AFDFMG, 四边形 AFMG是平行四边形, FM=AG=GE,AFMAGM, DFMMGE.在
4、DFM 和MGE 中, FMGE, DFMMGE, DFMG,DFMMGE(SAS), MDME,FDMGME, BHM90FDM90GME. 又AFMG,BHMHMGDMEGME, DME=90,即 MDME.典例2 在RtABC中,ACB=90,tanBAC,点 D在边AC上(不与A,C重合),连接 BD,F为BD的中点.若过点D作DEAB于点E,连接CF,EF,CE,如图1,设 CFkEF,则k=_.将ADE绕点A旋转,使得 D,E,B三点共线,点F仍为BD的中点,如图2所示,求证BEDE2CF.若BC6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD 的中点,求线段CF
5、长度的最大值. 【解析】F为BD的中点,DEAB,ACB=90, CFBD,EFBD,CF=EF, k=1.如图,过点C作CE的垂线交BD于点G,设BD与AC的交点为Q. tanBAC ,D,E,B 三点共线, AEDB.BQCAQD,ACBAEQ90, QBCEAQ.ECAACG90,BCGACG90ECABCG.BCGACE, ,GB=DE.F是BD的中点,F是EG的中点.在 RtECG中,CF=EG, BEDEBEGBEG2CF.如图,当 ADAC时,取AB的中点M,连接 MF,CM. ACB=90,tanBAC,且BC6,AC12,AB6.M为AB的中点,CMAB3. AD=AC,AD
6、=4. M为 AB 的中点,F为 BD 的中点,FMAD2. 当且仅当 M,F,C三点共线且F在线段 CM的延长线上时,CF 最大.此时 CFCMFM23.如图,当 ADAC时,取 AB的中点M,连接 MF,CM , 同可知,CF的最大值为 43.综上,线段 CF的长度的最大值为43.小试牛刀1.()已知两个等腰 RtABC,RtCEF有公共顶点C,ABCCEF=90,连接 AF,M 是 AF的中点,连接 MB,ME.如图1,当 CB 与CE 在同一直线上时,求证MBCF.如图1,若 CB=a,CE=2a,求 BM,ME 的长.如图2,当BCE=45时,求证BMME. 2. ()如图1,在AB
7、C中,ACB90,BC=AC,点D在边AB 上,DEAB交 BC于E,F是AE的中点.写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明.如图 2,将BDE绕点 B 逆时针旋转(090),其他条件不变,线段 FD与线段 FC 的关系是否变化?写出你的结论并证明.将BDE 绕点B 逆时针旋转一周,如果 BC=4,BE=2,直接写出线段 BF 长度的范围. 直击中考1.如图,四边形 ABCD是正方形,点O为对角线 AC的中点.(1)问题解决如图1,连接 BO,分别取CB,BO的中点 P,Q,连接 PQ,则 PQ 与 BO 的数量关系是_,位置关系是_。(2)问题探究如图 2,AOE是将图1中的AOB 绕点
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