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类型2021年中考数学第三轮压轴题强化训练:三角形-专题复习(含答案).docx

  • 上传人(卖家):刘殿科
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    2021 年中 数学 三轮 压轴 强化 训练 三角形 专题 复习 答案 下载 _三轮冲刺_中考复习_数学_初中
    资源描述:

    1、2021年中考数学第三轮压轴题强化训练:三角形专题复习1、如图,ABC中,AB=AC=1,BAC=45,AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长2、如图,在RtABC中,C=90,BD是ABC的一条角平分线点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形(1)求证:点O在BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长3、如图,ABC是等腰直角三角形,ACB=90,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE,G为BD的中点,连接CG,BE,CD,BE与CD交

    2、于点F(1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由(2)求证:BE=CD,BECD4、如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且AGD=BGC(1)求证:AD=BC;(2)求证:AGDEGF;(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值5、如图,是一副学生用的三角板,在ABC 中,C=90,A=60,B=30;在A1B1C1中,C1=90,A1=45,B1=45,且A1B1=CB若将边A1C1与边CA重合,其中点A1与点C重合将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转,旋转过的角

    3、为,旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M,设AC=a(1)计算A1C1的长;(2)当=30时,证明:B1C1AB;(3)若a=,当=45时,计算两个三角板重叠部分图形的面积;(4)当=60时,用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积(参考数据:sin15=,cos15=,tan15=2,sin75=,cos75=,tan75=2+)6、如图,两个全等的ABC和DFE重叠在一起,固定ABC,将DEF进行如下变换:(1)如图1,DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系;(2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四

    4、边形AFBD为正方形,那么ABC应满足什么条件?请给出证明;(3)在(2)的条件下,将DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出图形,并求出sinCGF的值7、如图1,在ABC中,ACB=90,AC=BC,EAC=90,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D(1)直接写出NDE的度数;(2)如图2、图3,当EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;(3)如图4,若EAC=15

    5、,ACM=60,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是ABC的中线,AFBE,垂足为P,像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c特例探索(1)如图1,当ABE=45,c=2时,a=,b=如图2,当ABE=30,c=4时,a=,b=归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式拓展应用(3)如图4,在ABCD中,点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BEEG,AD=2,AB

    6、=3,求AF的长9、如图1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为(1)问题发现当=0时,=;当=180时,=(2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决当EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且APPBAP绕点A逆时针旋转角(090)得到AP1,BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2,连接PP1、PP2(1)如图1,当=90时,求P1PP2的度数;(2)如图2,当点P2在AP1的延长线上时,求证:P

    7、2P1PP2PA;(3)如图3,过BP的中点E作l1BP,过BP2的中点F作l2BP2,l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:P1PPQ11、两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内)其中,C=DEF=90,ABC=F=30,AC=DE=6cm现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)(1)当点C落在边EF上时,x=cm;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)设边BC的中点为

    8、点M,边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值12、已知MAN=135,正方形ABCD绕点A旋转(1)当正方形ABCD旋转到MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是;如图2,若BMDN,请判断中的数量关系是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图3,当正方形ABCD旋转到MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由13、已

    9、知:ABC是等腰三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰三角形PCQ,其中PCQ=90,探究并解决下列问题:(1)如图,若点P在线段AB上,且AC=1+,PA=,则:线段PB=,PC=;猜想:PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为;(2)如图,若点P在AB的延长线上,在(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图给出证明过程;(3)若动点P满足=,求的值(提示:请利用备用图进行探求)参考答案2021年中考数学第三轮压轴题强化训练:三角形专题复习1、如图,ABC中,AB=AC=1,BAC=45,AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D(1)求证:B

    10、E=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长(1)证明:AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,AE=AB,AF=AC,EAF=BAC,EAF+BAF=BAC+BAF,即EAB=FAC,AB=AC,AE=AF,AEB可由AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,BE=CF;(2)解:四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,DE=AE=AC=AB=1,ACDE,AEB=ABE,ABE=BAC=45,AEB=ABE=45,ABE为等腰直角三角形,BE=AC=,BD=BEDE=12、如图,在RtABC中,C=90,BD是ABC的一条角平分线点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是

    11、正方形(1)求证:点O在BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长解答:(1)证明:过点O作OMAB,BD是ABC的一条角平分线,OE=OM,四边形OECF是正方形,OE=OF,OF=OM,AO是BAC的角平分线,即点O在BAC的平分线上;(2)解:在RtABC中,AC=5,BC=12,AB=13,设OE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,解得:,OE=23、如图,ABC是等腰直角三角形,ACB=90,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE,G为BD的中点,连接CG,BE,CD,BE与CD交于点F(1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由(2)求证

    12、:BE=CD,BECD解答:(1)解:ABC是等腰直角三角形,ACB=90,AB=BC,ABD和ACE均为等腰直角三角形,BD=BC=2BC,G为BD的中点,BG=BD=BC,CBG为等腰直角三角形,CGB=45,ADB=45,ADCG,ABD=45,ABC=45CBD=90,ACB=90,CBD+ACB=180,ACBD,四边形ACGD为平行四边形;(2)证明:EAB=EAC+CAB=90+45=135,CAD=DAB+BAC=90+45=135,EAB=CAD,在DAC与BAE中,DACBAE,BE=CD;EAC=BCA=90,EA=AC=BC,四边形ABCE为平行四边形,CE=AB=AD

    13、,在BCE与CAD中,BCECAD,CBE=ACD,ACD+BCD=90,CBE+BCD=90,CFB=90,即BECD4、如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且AGD=BGC(1)求证:AD=BC;(2)求证:AGDEGF;(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值解答(1)证明:GE是AB的垂直平分线,GA=GB,同理:GD=GC,在AGD和BGC中,AGDBGC(SAS),AD=BC;(2)证明:AGD=BGC,AGB=DGC,在AGB和DGC中,AGBDGC,又AGE=D

    14、GF,AGD=EGF,AGDEGF;(3)解:延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,如图所示:则AHBH,AGDBGC,GAD=GBC,在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB,AGB=AHB=90,AGE=AGB=45,又AGDEGF,=5、如图,是一副学生用的三角板,在ABC 中,C=90,A=60,B=30;在A1B1C1中,C1=90,A1=45,B1=45,且A1B1=CB若将边A1C1与边CA重合,其中点A1与点C重合将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转,旋转过的角为,旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M,设AC=a(1)计算A1C1的长;(2)当=

    15、30时,证明:B1C1AB;(3)若a=,当=45时,计算两个三角板重叠部分图形的面积;(4)当=60时,用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积(参考数据:sin15=,cos15=,tan15=2,sin75=,cos75=,tan75=2+)解:(1)在RtABC中,B=30,AC=a,由特殊锐角三角函数可知:,BC=B1C=在RtA1B1C1,B1=45,A1C1=(2)ACM=30,A=60,BMC=90C1=BMCB1C1AB(3)如下图:由(1)可知:A1C1=3+A1B1C1的面积=A1B1C1=45,ABC=30MBC1=15在RtBC1M中,C1M=BCtan15=(

    16、3+)(2)=3,RtBC1M的面积=3两个三角板重叠部分图形的面积=A1B1C1的面积BC1M的面积=3+3(4)由(1)可知:BC=,A1C1=,C1F=A1C1tan30=a,=aa=a2,MCA=60,A=60,AMC=60MC=AC=MA=aC1M=C1A1MC=MCA=60,C1A1B=30,C1MD=B+C1A1B=60在RtDC1M中,由特殊锐角三角函数可知:C1D=C1Mtan60=a,=C1MC1D=a2,两个三角板重叠部分图形的面积=C1M=a2a2=a26、如图,两个全等的ABC和DFE重叠在一起,固定ABC,将DEF进行如下变换:(1)如图1,DEF沿直线CB向右平移

    17、(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系;(2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么ABC应满足什么条件?请给出证明;(3)在(2)的条件下,将DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出图形,并求出sinCGF的值解:(1)SABC=S四边形AFBD,理由:由题意可得:ADEC,则SADF=SABD,故SACF=SADF=SABD,则SABC=S四边形AFBD;(2)ABC为等腰直角三角形,即:AB=AC,BAC=90,理由如下:F为BC的中点,CF=BF,CF=AD,AD=

    18、BF,又ADBF,四边形AFBD为平行四边形,AB=AC,F为BC的中点,AFBC,平行四边形AFBD为矩形,BAC=90,F为BC的中点,AF=BC=BF,四边形AFBD为正方形;(3)如图3所示:由(2)知,ABC为等腰直角三角形,AFBC,设CF=k,则GF=EF=CB=2k,由勾股定理得:CG=k,sinCGF=7、如图1,在ABC中,ACB=90,AC=BC,EAC=90,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D(1)直接写出NDE的度数;(2)如图2、图3,当EAC为锐角或钝角时,

    19、其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;(3)如图4,若EAC=15,ACM=60,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长解:(1)ACB=90,MCN=90,ACM=BCN,在MAC和NBC中,MACNBC,NBC=MAC=90,又ACB=90,EAC=90,NDE=90;(2)不变,在MACNBC中,MACNBC,N=AMC,又MFD=NFC,MDF=FCN=90,即NDE=90;(3)作GKBC于K,EAC=15,BAD=30,ACM=60,GCB=30,AGC=ABC+GCB=75,AMG=75,AM=AG

    20、,MACNBC,MAC=NBC,BDA=BCA=90,BD=,AB=+,AC=BC=+1,设BK=a,则GK=a,CK=a,a+a=+1,a=1,KB=KG=1,BG=,AG=,AM=8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是ABC的中线,AFBE,垂足为P,像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c特例探索(1)如图1,当ABE=45,c=2时,a=2,b=2如图2,当ABE=30,c=4时,a=2,b=2归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证

    21、明你发现的关系式拓展应用(3)如图4,在ABCD中,点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BEEG,AD=2,AB=3,求AF的长解:(1)AHBE,ABE=45,AP=BP=AB=2,AF,BE是ABC的中线,EFAB,EF=AB=,PFE=PEF=45,PE=PF=1,在RtFPB和RtPEA中,AE=BF=,AC=BC=2,a=b=2,如图2,连接EF,同理可得:EF=4=2,EFAB,PEFABP,在RtABP中,AB=4,ABP=30,AP=2,PB=2,PF=1,PE=,在RtAPE和RtBPF中,AE=,BF=,a=2,b=2,故答案为:2,2,2,2;(2)猜想:a2+b2

    22、=5c2,如图3,连接EF,设ABP=,AP=csin,PB=ccos,由(1)同理可得,PF=PA=,PE=,AE2=AP2+PE2=c2sin2+,BF2=PB2+PF2=+c2cos2,=c2sin2+,=+c2cos2,+=+c2cos2+c2sin2+,a2+b2=5c2;(3)如图4,连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,点E、G分别是AD,CD的中点,EFAC,BEEG,BEAC,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC=2,EAH=FCH,E,F分别是AD,BC的中点,AE=AD,BF=BC,AE=BF=CF=AD=,AEBF,四边形ABFE

    23、是平行四边形,EF=AB=3,AP=PF,在AEH和CFH中,AEHCFH,EH=FH,EH,AH分别是AFE的中线,由(2)的结论得:AF2+EF2=5AE2,AF2=5EF2=16,AF=49、如图1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为(1)问题发现当=0时,=;当=180时,=(2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决当EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长解:(1)当=0时,RtABC中,B=90,AC=,点D、E分别是边BC、

    24、AC的中点,如图1,当=180时,可得ABDE,=故答案为:(2)如图2,当0360时,的大小没有变化,ECD=ACB,ECA=DCB,又,ECADCB,(3)如图3,AC=4,CD=4,CDAD,AD=,AD=BC,AB=DC,B=90,四边形ABCD是矩形,如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P,AC=4,CD=4,CDAD,AD=,在ABC和CDA中,BP=DQ,BPDQ,PQDQ,四边形BDQP为矩形,BD=PQ=ACAPCQ=综上所述,BD的长为4或10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且APPBAP绕点A逆时针旋转角(090)得到A

    25、P1,BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2,连接PP1、PP2(1)如图1,当=90时,求P1PP2的度数;(2)如图2,当点P2在AP1的延长线上时,求证:P2P1PP2PA;(3)如图3,过BP的中点E作l1BP,过BP2的中点F作l2BP2,l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:P1PPQ解答:(1)解:由旋转的性质得:AP=AP1,BP=BP2=90,PAP1和PBP2均为等腰直角三角形,APP1=BPP2=45,P1PP2=180APP1BPP2=90;(2)证明:由旋转的性质可知PAP1和PBP2均为顶角为的等腰三角形,APP1=BPP2=90,P1PP2=180(APP1+BPP2)

    26、=1802(90)=,在PP2P1和P2PA中,P1PP2=PAP2=,又PP2P1=AP2P,P2P1PP2PA(3)证明:如图,连接QBl1,l2分别为PB,P2B的中垂线,EB=BP,FB=BP2又BP=BP2,EB=FB在RtQBE和RtQBF中,RtQBERtQBF,QBE=QBF=PBP2=,由中垂线性质得:QP=QB,QPB=QBE=,由(2)知APP1=90,P1PQ=180APP1QPB=180(90)=90,即 P1PPQ11、两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内)其中,C=DEF

    27、=90,ABC=F=30,AC=DE=6cm现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)(1)当点C落在边EF上时,x=15cm;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值解:(1)如图1所示:作CGAB于G点,在RtABC中,由AC=6,ABC=30,得BC=6在RtBCG中,BG=BCcos30=9四边形CGEH是矩形,CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,故答案为:

    28、15;(2)当0x6时,如图2所示,GDB=60,GBD=30,DB=x,得DG=x,BG=x,重叠部分的面积为y=DGBG=xx=x2当6x12时,如图3所示,BD=x,DG=x,BG=x,BE=x6,EH=(x6)重叠部分的面积为y=SBDGSBEH=DGBGBEEH,即y=xx(x6)(x6)化简,得y=x2+2x6;当12x15时,如图4所示,AC=6,BC=6,BD=x,BE=(x6),EG=(x6),重叠部分的面积为y=SABCSBEG=ACBCBEEG,即y=66(x6)(x6),化简,得y=18(x212x+36)=x2+2x+12;综上所述:y=;(3) 如图5所示作NGDE

    29、于G点(4) ,点M在NG上时MN最短,NG是DEF的中位线,NG=EF=MB=CB=3,B=30,MG=MB=,MN最小=3=12、已知MAN=135,正方形ABCD绕点A旋转(1)当正方形ABCD旋转到MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN;如图2,若BMDN,请判断中的数量关系是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图3,当正方形ABCD旋转到MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:以线段BM

    30、,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由解:(1)如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN理由如下:在ADN与ABM中,ADNABM(SAS),AN=AM,NAD=MAB,MAN=135,BAD=90,NAD=MAB=(36013590)=67.5,作AEMN于E,则MN=2NE,NAE=MAN=67.5在ADN与AEN中,ADNAEN(AAS),DN=EN,BM=DN,MN=2EN,MN=BM+DN故答案为MN=BM+DN;如图2,若BMDN,中的数量关系仍成立理由如下:延长NC到点P,使DP=BM,连结AP四边形ABCD是正方形,AB=

    31、AD,ABM=ADC=90在ABM与ADP中,ABMADP(SAS),AM=AP,1=2=3,1+4=90,3+4=90,MAN=135,PAN=360MAN(3+4)=36013590=135在ANM与ANP中,ANMANP(SAS),MN=PN,PN=DP+DN=BM+DN,MN=BM+DN;(2)如图3,以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形理由如下:四边形ABCD是正方形,BDA=DBA=45,MDA=NBA=1351+2=45,2+3=45,1=3在ANB与MAD中,ANBMAD,=,AB2=BNMD,AB=DB,BNMD=(DB)2=BD2,BD2=2BNMD,M

    32、D2+2MDBD+BD2+BD2+2BDBN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MDBD+2BDBN+2BNMD,(MD+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2,即MB2+DN2=MN2,以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形13、已知:ABC是等腰三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰三角形PCQ,其中PCQ=90,探究并解决下列问题:(1)如图,若点P在线段AB上,且AC=1+,PA=,则:线段PB=,PC=2;猜想:PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为PA2+PB2=PQ2;(2)如图,若点P在AB的延长线上,在(1)中所猜想的结论

    33、仍然成立,请你利用图给出证明过程;(3)若动点P满足=,求的值(提示:请利用备用图进行探求)解:(1)如图:ABC是等腰直直角三角形,AC=1+AB=+,PA=,PB=,作CDAB于D,则AD=CD=,PD=ADPA=,在RTPCD中,PC=2,故答案为,2;如图1ACB为等腰直角三角形,CDAB,CD=AD=DBAP2=(ADPD)2=(DCPD)2=DC22DCPD+PD2,PB2=(DB+PD)2=(DC+DP)2=CD2+2DCPD+PD2AP2+BP2=2CD2+2PD2,在RtPCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形,2PC2

    34、=PQ2AP2+BP2=PQ2(2)如图:过点C作CDAB,垂足为DACB为等腰直角三角形,CDAB,CD=AD=DBAP2=(AD+PD)2=(DC+PD)2=CD2+2DCPD+PD2,PB2=(DPBD)2=(PDDC)2=DC22DCPD+PD2,AP2+BP2=2CD2+2PD2,在RtPCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形,2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2(3)如图:过点C作CDAB,垂足为D当点P位于点P1处时,在RtCP1D中,由勾股定理得:=DC,在RtACD中,由勾股定理得:AC=DC,=当点P位于点P2处时=,在RtCP2D中,由勾股定理得:=,在RtACD中,由勾股定理得:AC=DC,=综上所述,的比值为或已知MAN=135,正方形ABCD绕点A旋转

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