2021届高考数学专题突破数列的概念及表示(解析版).doc

1、2020年高考数学数列与不等式突破性讲练01 数列的概念及表示一、考点传真：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.二、知识点梳理：1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公

2、式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【注意点】（1）.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an（2）.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.（3）.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.三、例题：例1.(20

3、18全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.【答案】-63【解析】由Sn2an1，得a12a11，所以a11.当n2时，anSnSn12an1(2an11)，得an2an1.数列an是首项为1，公比为2的等比数列.S663.例2.(2016课标全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.【解析】(1)由题意得a2=,a3=.(5分)(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以=.故an是首项为1,公比为的等比

4、数列,因此an=.(12分)例3.(2014江西卷)已知数列an的前n项和Sn=,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.【解析】(1)由Sn=,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2.经验证,a1=1符合an=3n-2,所以数列an的通项公式为an=3n-2.(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mN*,且mn,所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.例4.(2014湖南卷)已知数列an的前n项

5、和Sn=,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=-=n.故数列an的通项公式为an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则A=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.四、巩固练习：1.已知数列an满足：任意m，nN*

6、，都有anamanm，且a1，那么a5()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，得a2a1a1，a3a1a2，则a5a3a2.2.在数列an中，a1，an1(n2，nN*)，则a2 019的值为()A. B.5 C. D.【答案】C【解析】在数列an中，a1，an1(n2，nN*)，所以a215，a31，a41，所以an是以3为周期的周期数列，所以a2 019a6733a3.3.已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an1Sn1(nN*)，则S5()A.31 B.42 C.37 D.47【答案】D【解析】由题意，得Sn1SnSn1(nN*)，Sn112(Sn1)(nN*)，故数列S

7、n1为等比数列，其首项为3，公比为2，则S51324，所以S547.4.在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】a212，a31，a413，a51.5已知数列an中，a11，a22，an1anan2(nN*)，则a5的值为()A2 B1C1 D2【答案】A【解析】由题意可得，an2an1an，则a3a2a1211，a4a3a2121，a5a4a3112.故选A.6数列an的前n项和Sn2n23n(nN*)，若pq5，则apaq()A10 B15C5 D20【答案】D【解析】当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，当n1

8、时，a1S11，符合上式，所以an4n5，所以apaq4(pq)20.7.在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A.2ln n B.2(n1)ln nC.2nln n D.1nln n【答案】A【解析】因为an1anln ln(n1)ln n，所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)(n2).把以上各式分别相加得ana1ln nln 1，则an2ln n，且a12也适合，因此an2ln n(nN*).8设数列an的通项公式为ann2bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为()A(，1 B(，2C(

9、，3) D.【答案】C【解析】因为数列an是单调递增数列，所以an1an2n1b0(nN*)，所以b2n1(nN*)，所以b(2n1)min3，即b0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成立.因为an，所以，由于nN*，不难发现当n9或n10时，an最大.10若数列an满足2(nN*)，则称an是“紧密数列”若an(n1,2,3,4)是“紧密数列”，且a11，a2，a3x，a44，则x的取值范围为()A1,3) B1,3C2,3 D2,3)【答案】C【解析】依题意可得解得2x3，故x的取值范围为2,311. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙

10、子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列共有()A.98项 B.97项 C.96项 D.95项【答案】B【解析】能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an21n20，由1an2 018得1n97，又nN*，故此数列共有97项.12.已知数列满足对时，且对N，有，则数列的前项的和为（

11、）A. 2448 B. 2525 C. 2533 D. 2652【答案】B【解析】由题得，所以，所以是周期数列，周期为，且，.所以.故选B.13已知数列，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为_【答案】【解析】由数列的前3项的规律可知解得故实数对(m，n)为.14数列an的前n项和为Sn，若SnSn12n1(n2，nN*)，且S23，则a1a3的值为_【答案】-1【解析】SnSn12n1(n2)，令n2，得S2S13，由S23得a1S10，令n3，得S3S25，所以S32，则a3S3S21，所以a1a30(1)1.15已知数列an满足an(n)2n(nN*)，若an是递增数列，则实数的取值范

12、围为_【答案】(，3)【解析】因为an(n)2n(nN*)且数列an是递增数列，所以an1an2n(n2)0，所以n20，则n2.又nN*，所以0,解得2-n2+.b1b2b3b5b6bn.b4是最大项,b4=.20已知数列an中，an1(nN*，aR，且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围【解析】(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1.结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11.对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，知56，10a8.故a的取值范围为(10，8)