2021年中考数学专题复习：相似三角形及其应用(含答案).docx

1、2020-2021中考专题复习：相似三角形及其应用一、选择题1. 如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DEBC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于()A.5B.6C.7D.8 2. （2020永州）如图，在中，四边形的面积为21，则的面积是（ ）A. B. 25C. 35D. 633. (2019雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是ABCD4. （2020广西北部湾经济区）如图，在ABC中，BC120，高AD60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A15B20C25D305

2、. （2020嘉兴） 如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）以点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为的位似图形OCD，则点C坐标为（ ）A（1，1） B（） C（） D（2，1）6. （2020哈尔滨）如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EFBC，交AD于点F,过点E作EGAB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A B C D7. （2020营口）如图，在ABC中，DEAB，且=，则的值为（）A B C D8. 2019绍兴如图27Y5，一个长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面

3、高为6.将长方体容器绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中的水面高度为()A.B.C.D.二、填空题9. 如图，在ABC中，ACD=B，若AD=2，BD=3，则AC长为. 10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为m. 11. 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步. 12. (2019永州)如图，

4、已知点F是ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FGBC，交AC于点G设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=_13. 如图，在RtABC中，BAC90，AB15，AC20，点D在边AC上，AD5，DEBC于点E，连接AE，则ABE的面积等于_ 14. (2019泸州)如图，在等腰中，点在边上，点在边上，垂足为，则长为_15. 如图，在RtABC中，ACB90，AC3， BC4， CDAB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_16. （2020长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M

5、,N不重合）PQMN，NE平分MNP，交PM于点E，交PQ于点F.(1) _(2)若,则_三、解答题17. 如图，在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是O的切线;(2)设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8，sinB=513，求DG的长.18. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且AEF为等边三角形(1)求证：DFB是等腰三角形；(2)若DAAF，求证CFAB.19. 如

6、图，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与O相交于E，F两点，P是O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足PCA=ABC.(1)求证:PA是O的切线;(2)证明:EF2=4ODOP;(3)若BC=8，tanAFP=23，求DE的长.20. （2020丽水）如图，在ABC中，AB42，B45，C60（1）求BC边上的高线长（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将AEF折叠得到PEF如图2，当点P落在BC上时，求AEP的度数如图3，连结AP，当PFAC时，求AP的长.21. 如图，AB是O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作ECO

7、B交O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AFPC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分FAB；(2)求证：BC2CECP；(3)当AB4且时，求劣弧的长度 22. 已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点.(1)如图，若ABC是等边三角形，DHAC，且D，E的运动速度相等，求的值.(2)如图，若在ABC中，ABC=90，ADH=BAC=30，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值；(3)如图，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36，记=m，且点D

8、，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值. 图 图 图 2020-2021中考专题复习：相似三角形及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B解析DEBC，ADEABC，ADAB=DEBC，即23=4BC，解得BC=6，故选B. 2. 【答案】B【详解】解：故选：B3. 【答案】B【解析】因为中有一个角是135，选项中，有135角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选B4. 【答案】 B【解析】设正方形EFGH的边长EFEHx，四边EFGH是正方形，HEFEHG90，EFBC，AEFABC，AD是ABC的高，HDN90，四边形EHDN是矩形，DNEHx，AEFABC，（相似三角形对应边

9、上的高的比等于相似比），BC120，AD60，AN60x，解得：x40，AN60x604020因此本题选B5. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（kx，ky）.由A（4,3），位似比k，可得C（）因此本题选B6. 【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，EFBC，EFBC，因此本题选C7. 【答案】A【解析】利用平行截割定理求的值DEAB，=，CE+AE=AC，=8. 【答案】A

10、解析 如图，过点C作桌面的垂线，垂足为F.设DEx，则AD8x.根据题意，得(8x8)33336，解得x4，DE4.由勾股定理，得CD5.易知CDECBF，即，CF.故选A.二、填空题9. 【答案】10解析ACD=B，CAD=BAC，ACDABC，ACAB=ADAC，即AC2+3=2AC，AC=10或AC=-10(舍去). 10. 【答案】54 11. 【答案】6017解析如图，四边形CDEF是正方形，CD=ED=CF.设ED=x，则CD=x，AD=12-x.DECF，ADE=C，AED=B，ADEACB，DEBC=ADAC，x5=12-x12，x=6017.如图，四边形DGFE是正方形，过C

11、作CPAB于P，交DG于Q，SABC=12ACBC=12ABCP，则125=13CP，CP=6013.设ED=y，同理得:CDGCAB，DGAB=CQCP，y13=6013-y6013，y=7802296017，该直角三角形能容纳的正方形边长最大是6017步，故答案为:6017. 12. 【答案】【解析】点F是ABC的重心，BF=2EF，BE=3EF，FGBC，EFGEBC，()2，S1S2，故答案为：13. 【答案】78【解析】如解图，过A作AHBC，AB15，AC20，BAC90，由勾股定理得，BC25，AD5，DC20515，DEBC，BAC90，CDECBA，CE2012.法一：BCA

12、HABAC，AH12，SABE121378.法二：DE9，由CDECAH可得，AH12，SABE121378. 14. 【答案】【解析】如图，过作于，则AHD=90，在等腰中，ADH=90CAD=45=CAD，CH=ACAH=15DH，又ANH=DNF，CE+BE=BC=15，故答案为：15. 【答案】【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质已知ACB90，AC3， BC4，由勾股定理，得AB5CDAB，由三角形的面积，得CD易得ABCACDCBD，由相似三角形对应边成比例，得AD，BD过点E作EGAB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DGCD，EG，所以，即，所以D

13、F，故答案为16. 【答案】1；【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，（1）作EHMN，又MN是直径，NE平分MNP，PQMN，易证出PEEHHFPF，EHPQ，EMHPMQ，；（2）由相似基本图射影型得：解得又，QNPM，设QNPMa，MQb，由相似基本图射影型得：解得，解得或（舍去）；因此本题答案为1；三、解答题17. 【答案】解析(1)连接OD，根据同圆半径相等及角平分线条件得到DAC=ODA，得ODAC，切线得证;(2)连接EF，DF，根据直径所对圆周角为直角，证明AFE=90，可得EFBC，因此B=AEF，再利用同弧所对圆周角相等可得B=ADF，从而

14、证明ABDADF，可得AD与AB，AF的关系;(3)根据AEF=B，利用三角函数，分别在RtDOB和RtAFE中求出半径和AF，代入(2)的结论中，求出AD，再利用两角对应相等，证明OGDFGA，再利用对应边成比例，求出DGAG的值，即可求得DG的长.解:(1)证明:连接OD，OA=OD，OAD=ODA，AD平分BAC，OAD=DAC，DAC=ODA，ODAC，ODB=C=90，ODBC.OD为O的半径，BC是O的切线.(2)连接EF，DF.AE为O的直径，AFE=90，AFE=C=90，EFBC，B=AEF.ADF=AEF，B=ADF.又OAD=DAC，ABDADF，ABAD=ADAF，AD

15、2=ABAF，AD=xy.(3)设O半径为r，在RtDOB中，sinB=ODOB=513，rr+8=513，解得r=5，AE=10.在RtAFE中，sinAEF=sinB=AFAE，AF=10513=5013，AD=301313.ODA=DAC，DGO=AGF，OGDFGA，DGAG=ODAF=1310，DGAD-DG=1310，DG=302313. 18. 【答案】 (1)证明：AB为直径，ACB90，AEF是等边三角形，EAFEFA60，ABC30，FDBEFAB603030，(2分)ABCFDB，FBFD，BDF是等腰三角形(3分)(2)解：设AFa，则ADa，解图如解图，连接OC，则A

16、OC是等边三角形，由(1)得，BF2aDF，DEDFEF2aa22a，CEACAE1a，在RtADC中，DC，在RtDCE中，tan30，解得a2(舍去)或a，(5分)AF，在CAF和BAC中，2，且CAFBAC60，CAFBAC，CFAACB90，即CFAB.(6分) 19. 【答案】解:(1)因为点D是AC中点，所以ODAC，所以PA=PC，所以PCA=PAC，因为AB是O的直径，所以ACB=90，所以ABC+BAC=90，因为PCA=ABC，所以PAC=ABC，所以PAC+BAC=90，所以PAAB，所以PA是O的切线.(2)因为PAO=ADO=90，AOD=POA，所以PAOADO，所

17、以AOPO=ODOA，所以AO2=ODOP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4ODOP.(3)因为tanAFP=23，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证ADEFDA，所以EDAD=ADFD=2x3x，所以ED=23AD=43x，所以EF=133x，EO=136x，DO=56x，在ABC中，DO为中位线，所以DO=12BC=4，所以56x=4，x=245，所以ED=43x=325.20. 【答案】解：（1）如图1中，过点A作ADBC于D在RtABD中，ADABsin4544（2）如图2中，AEFPEF，AEEP，AEEB，BEEP，EPBB45，PEB90，AEP1809

18、090如图3中，由（1）可知：AC，PFAC，PFA90，AEFPEF，AFEPFE45，AFEB，EAFCAB，AEFACB，AFAB=AEAC，即AF42=22833，AF23，在RtAFP，AFFP，AP=2AF2621. 【答案】 (1)证明：PF切O于点C，CD是O的直径，CDPF，又AFPC，AFCD，OCACAF，OAOC，OACOCA，CAFOAC，AC平分FAB；(2)证明：AB是O的直径，ACB90，DCP90，ACBDCP90，又BACD，ACBDCP，EBCP，CEAB，BEC90，CD是O的直径，DBC90，CBP90，BECCBP，CBECPB，BC2CECP；(3

19、)解：AC平分FAB，CFAF，CEAB，CFCE，设CE3k，则CP4k，BC23k4k12k2，BC2k，在RtBEC中，sinEBC，EBC60，OBC是等边三角形，DOB120，. 22. 【答案】(1)过点D作DGBC交AC于点G，解图ABC是等边三角形，AGD是等边三角形，AD=GD，由题意知CE=AD，CE=GDDGBC，GDF=CEF，在GDF与CEF中，GDF CEF（AAS），CF=GF，DHAG，AH=GH，AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，=2；(2)如解图，过点D作DGBC交AC于点G，解图由题意知，点D，E的运动速度之比是:1，ABC=90，BAC=30，GD=CE，DGBC，GDF=CEF，在GDF 和CEF中，GDF CEF（AAS），CF=GF，ADH=BAC=30，AH=HD，AGD=HDG=60，GH=HD，AH=HG，AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，=2；(3)如解图，过点D作DGBC交AC于点G，解图DGBC，AGDACB，ADH=BAC=36，AC=AB，GHD=HGD=72，GD=HD=AH，AD=CE，DGBC，GDFECF，GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF），即HF=m（AC-HF），