2021届高三数学专题复习练习不等式的恒成立与存在性问题(教师版).docx

1、【课前测试】已知函数f(x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值解析：因为f(x)kln x，f(x).(1)若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)，f(x)maxfe1.(2)若k0，f(x).若k0，则在上恒有0，由ke，则x0，所以0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)kln ek1，f(x)maxfek1.综上，k时，f(x)mink1，f(x)maxek1.不等式的恒成立与存在性问题【知识梳理】一、不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径1. f(x)a恒成立f(x)mina；存在x使f(x)

2、a成立f(x)maxa.2. f(x)b恒成立f(x)maxb，存在x使f(x)b成立f(x)minb.3. f(x)g(x)恒成立，令Fx=fx-g(x)，F(x)min0.4. 双变量的任意存在性问题任意x1M，任意x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max；任意x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min；存在x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min；存在x1M，任意x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max. 【课堂讲解】考点一 单变量的不等式恒成立问题例1、已知函数f(x)ax33x1，且

3、对任意x(0，1)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解析：当x(0，1时，不等式ax33x10可化为a.设g(x)，x(0，1，则g(x).令g(x)0，得x.g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，）变式训练：1. (2018衡阳模拟)已知函数f(x)ln xax，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)a0在x(1，)上恒成立，求a的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0恒成立，则f(x)只有单调递增区间是(0，)当a0时，由f(x)0，得0x

4、；由f(x)0，得x；所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是.(2)f(x)a0在x(1，)上恒成立，即ln xa(x1)0在x(1，)上恒成立设g(x)ln xa(x1)，x0，则g(x)a，注意到g(1)0，当a1时，g(x)0在x(1，)上恒成立，则g(x)在x(1，)上单调递减，所以g(x)g(1)0，即a1时满足题意当0a1时，令g(x)0，得0x；令g(x)0，得x.则g(x)在上单调递增，所以当x时，g(x)g(1)0，即0a1时不满足题意(舍去)当a0时，g(x)a0，则g(x)在(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，g(x)g(1)0，即a0时不满足题意(舍去

5、)综上所述，实数a的取值范围是1，）2. 已知函数f(x).(1)若函数f(x)在区间(a，a)上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)若当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得x1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减所以x1为f(x)的极大值点，所以a1a，故a1，即正实数a的取值范围为.(2)当x1时，k恒成立，令g(x)，则g(x).令h(x)xln x，则h(x)10，所以h(x)h(1)1，所以g(x)0，所以g(x)为1

6、，上的增函数，所以g(x)g(1)2，故k2.3. 已知f(x)x3x1，g(x)2xm，当x(0，2)时，f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围解析：因为f(x)g(x)等价于x3x1x33x1，令h(x)x33x1，h(x)3x23，x(0，2)，令h(x)0，则x1，即当h(x)0时，0x1；当h(x)0时，1xh(x)max1，即m1时，f(x)g(x)恒成立考点二 单变量的不等式存在性问题例2、(2018贵州适应性考试)已知函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，求a的取值范围解析：(1)因为f

7、(x)aex，xR.当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递减；当a0时，令f(x)0得xln a.由f(x)0得f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由f(x)0得f(x)的单调递减区间为(ln a，)(2)因为x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，则ax，即a.设h(x)，则问题转化为a()max，由h(x)，令h(x)0，则x.当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)单调递增极大值单调递减由上表可知，当x时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a.变式训练：1. 已知函数f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存

8、在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数m的取值范围.解析：依题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解， mx2ln x在区间1，e上有解，即能成立.令h(x)，x1，e，则h(x).当x1，e时，h(x)0，h(x)在1，e上是增函数，h(x)的最大值为h(e).由题意，即m时，f(x)0，所以a在区间1，e上有解.令h(x)，则h(x).因为x1，e，所以x222ln x，所以h(x)0，h(x)在1，e上单调递增，所以x1，e时，h(x)maxh(e)，所以a，所以实数a的取值范围是.考点三 双变量的不等式恒成立与存在性问题例3、设f(x)xln x，g(x)x3x23.

9、(1)如果存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解析：(1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0，或x，令g(x)0得0x，又x0，2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，

10、t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x.即m(x)xln x在上是增函数，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0.即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，变式训练：1. 已知函数f(x)x3

11、x2ax.(1)若函数f(x)在区间1，)上单调递增，求实数a的最小值；(2)若函数g(x)，对x1，x2，使f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解析：(1)由题设知f(x)x22xa0在1，)上恒成立，即a(x1)21在1，)上恒成立，而函数y(x1)21在1，)单调递减，则ymax3，a3，a的最小值为3.(2)“对x1，x2，使f(x1)g(x2)成立”等价于“当x时，f(x)maxg(x)max”f(x)x22xa(x1)2a1在上单调递增，f(x)maxf(2)8a.而g(x)，由g(x)0，得x1，由g(x)0，得x1，g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减当x

12、时，g(x)maxg(1).由8a，得a8，实数a的取值范围为.【课后练习】1. 已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22，3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca2 Da2解析：选A由题意知f(x)ming(x)min(x2，3)，因为f(x)min5，g(x)min4a，所以54a，即a1，故选A2设函数f(x)axln x，g(x)a2x2.是否存在正实数a，使得不等式f(x)g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解析：假设存在正数a，令F(x)f(x)g(x)(x0)，则F(x)max0.由F(x)a2a2

13、x0，得x，因为x时，F(x)0，所以F(x)为减函数；当0x时，F(x)0，所以F(x)为增函数，所以F(x)maxF，所以ln 0，即a1.所以a的取值范围是1，3.已知函数f(x)的定义域为(0，)(1)求函数f(x)在m，m1(m0)上的最小值；(2)对x(0，)，不等式xf(x)x2x1恒成立，求的取值范围解析：f(x)，令f(x)0得x1；令f(x)0得0x1，所以函数f(x)在(0，1)上是减函数；在(1，)上是增函数(1)当m1时，函数f(x)在m，m1(m0)上是增函数，所以f(x)minf(m).当0m1时，函数f(x)在m，1上是减函数；在1，m1上是增函数，所以f(x)

14、minf(1)e.(2)由题意，对x(0，)，不等式exx21x恒成立，即x恒成立，令g(x)x，则g(x)，由g(x)0得，x1；由g(x)0得，0x1.所以g(x)ming(1)e2，所以e2.即的取值范围为(，e2)4.已知函数f(x)ax2bxxln x的图象在(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(1)求实数a，b的值；(2)设g(x)x2x，若kZ，且k(x2)f(x)g(x)对任意的x2恒成立，求k的最大值解析：(1)f(x)2axb1ln x，所以2ab13且ab1，解得a1，b0.(2)由(1)与题意知k对任意的x2恒成立，设h(x)(x2)，则h(x)，令m(x)x42l

15、n x(x2)，则m(x)10，所以函数m(x)为(2，)上的增函数因为m(8)42ln 842ln e2440，m(10)62ln 1062ln e3660，所以函数m(x)在(8，10)上有唯一零点x0，即有x042ln x00成立，故当2xx0时，m(x)0，即h(x)0；当x0x时，m(x)0，即h(x)0，所以函数h(x)在(2，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以h(x)minh(x0)，所以k，因为x0(8，10)，所以(4，5)，又kZ，所以k的最大值为4.5. 设函数f(x)ln x，kR.(1)若曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线x20垂直，求f(x)

16、的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；(2)若对任意的x1x20，f(x1)f(x2)x1x2恒成立，求k的取值范围解析：(1)由条件得f(x)(x0)，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线x20垂直，f(e)0，即0，得ke，f(x)(x0)，由f(x)0得0xe，由f(x)0得xe，f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增当xe时，f(x)取得极小值，且f(e)ln e2.f(x)的极小值为2.(2)由题意知，对任意的x1x20，f(x1)x1f(x2)x2恒成立，设h(x)f(x)xln xx(x0)，则h(x)在(0，)上单调递减，h(x)10在(0，)上恒

17、成立，即当x0时，kx2x2恒成立，k.故k的取值范围是.6. 已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1，2内至少存在一个实数x，使得f(x)x至少有一个实数x使之成立，即a.设g(x)x(1x2)，则g(x)1，因为1x2，所以g(x)，即a的取值范围是.7. 已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围解析：（）f（x）的定义

18、域为（0，+），（1分）当a=1时，f（x）=xlnx，（2分）x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1（4分）（），（6分）当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上h（x）0，在（1+a，+）上h（x）0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+）上单调递增；（7分）当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，所以，函数h（x）在（0，+）上单调递增（8分）（ III）在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零（9分）由（）可知即1+ae

19、，即ae1时，h（x）在1，e上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）当1+a1，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a0可得a2；（11分）当11+ae，即0ae1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0ln（1+a）1，所以，0aln（1+a）a故h（1+a）=2+aaln（1+a）2此时，h（1+a）0不成立（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a2（13分）8. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax6lnx，其中aR（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域

20、内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2mx+4，当a=2时，若x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立，求实数m的取值范围解析：（1）当a=1时，f（x）=lnx，f（x）=+=，x0x0，f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数（2）f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax6lnx，a0g（x）=ax5lnx，x0g（x）=a+=，若g（x）0，可得ax25x+a0，在x0上成立，a=，=（x=1时等号成立），a（3）当a=2时，g（x）=2x5lnx，h（x）=x2mx+4=（x）2+4，x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立，要

21、求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，g（x）=，令g（x）=0，解得x1=，x2=2，当0x，或x2时，g（x）0，g（x）为增函数；当x2时，g（x）0，g（x）为减函数；x1（0，1），g（x）在x=处取得极大值，也是最大值，g（x）max=g（）=14+5ln2=5ln23，h（x）=x2mx+4=（x）2+4，若m3，hmax（x）=h（2）=42m+4=82m，5ln2382m，m，3，故m不存在；若m3时，hmax（x）=h（1）=5m，5ln235m，m85ln2，实数m的取值范围：m85ln2；【课后测试】已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.若对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围解析：g(x)3x22ax1,2f(x)g(x)2恒成立，2xln x3x22ax1恒成立x0，aln xx在x(0，)上恒成立设h(x)ln xx(x0)，则h(x).令h(x)0，得x11，x2(舍去)当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)h(x)0h(x)极大值当x1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)maxh(1)2，若ah(x)在x(0，)上恒成立，则ah(x)max2，故实数a的取值范围是2，