2021届高考数学二轮复习立体几何专题练空间直角坐标系及空间向量.docx

1、2021届高考数学二轮复习立体几何专题练之空间直角坐标系及空间向量的运算1.已知空间直角坐标系中有一点,点是平面内的直线上的动点,则两点间的最短距离是( )A.B.C.3D.2.设,则的点到的距离为( )A.B.C.D.3.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标是( )A. B.C. D.4.已知棱长为1的正方体,其上底面的中心为,则的值为( )A.B.0C.1D.25.已知,且,则的值是( )A.3B.4C.5D.66.已知,则( )A.B.C.D.7.已知为空间的一个基底,若,且,则分别为( )A.B.C.D.8.设是空间中的一个单位正交基底,已知向量,其中,则向量在基底下的坐标是(

2、 )A.B.C.D.9.已知向量.若,则_.10.已知向量,且,则_.11.在平面内,与点和等距离的点的坐标为_.12.在三棱柱中, ,侧棱平面,.建立如图所示的空间直角坐标系,若为线段的中点,在线段上有一点,使得最小,则点的坐标为_.13.在长方体中,已知,连接,如图,建立空间直角坐标系.(1)在图中标出点的位置;(2)求与的坐标;(3)求向量在平面上的投影向量的坐标.14.如图,两两垂直,为的中点,点在线段上,.(1)求的长;(2)若点在线段上,设,当时,求实数的值.15.如下图,在长方体中, ,点在上, ,在上且为的中点,求,两点间的距离。答案以及解析1.答案：B解析：点在平面内的直线上

3、,故设点,且满足.又直线与轴的交点为,与轴的交点为,故直线的一个方向向量为.当时,两点间的距离最短,此时,故选B.2.答案：C解析：由题意,知,即,所以,故选C.3.答案：A解析：过点向平面作垂线,垂足为,则就是点与其关于平面对称的点连线的中点.又,所以.4.答案：C解析：,则,故选C.5.答案：C解析：因为,所以,解得.故选C.6.答案：C解析：由已知,得.7.答案：A解析：由题意,知.又,所以,解得.8.答案：A解析：依题意,知,故向量在基底下的坐标是.9.答案：解析：由题意可得,因为,所以,即.10.答案：3解析：由,得,即,解得,所以,得.11.答案：解析：设所求点为.,.12.答案：

4、解析：由,得.由为线段的中点,得点的坐标为,设点的坐标为,则.故当时, 取得最小值,为.此时为线段的中点.13.答案：(1)点的位置如图所示:(2)设分别为方向上的单位向量,则,所以(3)连接,则向量在平面上的投影向量为,又,所以.14.答案：(1)以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,(图略)则由为的中点,得,即的长为.(2)设,且点在线段上,.15.答案：如图,分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.由题意可知, ,为中点,有两点间的公式得:.2021届高考数学二轮复习立体几何专题练之空间向量的应用1.在长方体中,异面直线与所成角的余弦值为,则( )A.

5、1B.2C.D.2.在四棱柱中,平面,底面是边长为4的菱形,且是的中点,则点到平面的距离为( )A.2B.1C.D.33.如图所示,在直二面角中,四边形是边长为2的正方形,是等腰直角三角形,其中,则点到平面的距离为( )A.B.C.D.4.如图所示,已知四棱锥中,底面是菱形,且平面, ,点为的中点,则平面与平面夹角的正切值为( )A.B.C.D.5.如图,在空间直角坐标系中,四棱柱为长方体,点为的中点,则平面与平面夹角的余弦值为( )A.B.C.D.6.正方体中,直线与平面所成角的正弦值为( )A.B.C.D.7.已知正方体的棱长为,则平面与平面的距离为( )A.B.C.D.8.如图,在直四棱

6、柱中,四边形是边长为1的正方形,为棱上一动点,若二面角的平面角,则线段的长度的取值范围为( )A.B.C.D.9.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的余弦值是_.10.在如图所示的长、宽高分别为2，2，4的长方体中，O为与的交点，则异面直线与所成角的余弦值为_.11.在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱两两夹角都为,且分别为的中点,则与所成角的余弦值为_. 12.已知直线的方向向量,且过和,则_,_.13.如图，在三棱锥中，底面，点分别为棱的中点，是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；14.如图,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3

7、)若二面角的余弦值为,求线段的长.15.如图,长方体的底面是正方形,点在棱上,.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的正弦值.答案以及解析1.答案：B解析：如图,以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设的长为,易知,则.异面直线与所成角的余弦值为,又.故选B.2.答案：C解析：易得平面,所以.又,所以建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面是边长为4的菱形,所以,则,所以.设平面的法向量为,则,所以,取,则,则是平面的一个法向量.设点到平面的距离为.因为是的中点,所以,则,所以点到平面的距离为.3.答案：B解析：取的中点,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,从而.设平面的法

8、向量为,则,即,令,则,所以为平面的一个法向量.故点到平面的距离.4.答案：D解析：如图所示,设与交于点,连接.以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,则,所以,所以,易知为平面的一个法向量.设平面的法向量为,则,即令,则,所以平面的一个法向量为,所以,所以,故平面与平面夹角的正切值为.5.答案：C解析：设,则,因为分别为,的中点,所以,所以,设是平面的法向量,则所以所以取,则,所以平面的一个法向量为.又平面,所以是平面的一个法向量,因为,所以平面与平面夹角的余弦值为,故选C.6.答案：C解析：连接,建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则,又平面,是平面的一个法向量,

9、所以直线与平面所成角的正弦值为.7.答案：D解析：由正方体的性质,易得平面平面,则两平面间的距离可转化为点到平面的距离.以为坐标原点,所在的直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,连接,则,所以平面,得平面一个法向量为,则两平面间的距离.8.答案：A解析：设,因为四边形是边长为1的正方形,所以,连接,取的中点的中点,连接,易知,故为二面角的平面角，故,所以,连接,在中,易知在中,易知,故,故,得,故线段的长度取值范围为.9.答案：解析： 以为原点, 为轴, 为轴, 为轴，建立空间直角坐标系，正四棱柱的底面边长为2，高为4，设异面直线与所成角为，则.异面直线与所成角的余弦值为.故答

10、案为：.10.答案：解析：如图所示，建立空间直角坐标系，可知，则，所以 .故异面直线与所成角的余弦值为.11.答案：解析：连接,易知即与所成的角,设,则由条件,知,因为,所以,又,故. 12.答案：;解析：因为直线的方向向量,且过和,解得. 13.答案：（1）证明：取中点，连接，为中点，平面，平面，平面为中点，又分别为的中点，则平面，平面，平面又，且，平面，平面平面，又平面，则平面；（2）解：底面，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得由图可得平面的一个法向量为二面角的余弦值为，则正弦值为；14.答案：(1)依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得.设,则.依题意,是平面的法向量,又,可得,又直线平面,所以平面.(2)依题意,.设为平面的法向量,则即不妨令,可得.因此有.所以,直线与平面所成角的正弦值为.(3)设为平面的法向量,则即不妨令,可得.由题意,有,解得.经检验,符合题意.所以,线段的长为.15.答案：(1)由已知得,平面,平面,故.又,所以平面.(2)由(1)知.由题设知,所以,故.以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设平面的法向量为,则即所以可取.设平面的法向量为,则即所以可取.于是.所以,二面角的正弦值为.