2021届江西省南昌市高三二模数学(理)试题(解析版).doc

1、2021届江西省南昌市高三二模数学（理）试题一、单选题1复数z对应复平面上的点，则在复平面上对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】首先根据复数的几何意义表示出复数，再根据复数的乘方运算求出即可得到其坐标，即可判断；【详解】解：因为复数对应复平面上的点，所以，所以，在复平面内对应的点的坐标为位于第二象限.故选：B.2已知集合，则集合中元素个数是（ ）A0个B1个C2个D无数个【答案】D【分析】根据集合是由两条直线上的所有点组成的集合可得答案.【详解】因为等价于或，所以集合是直线和直线上的所有点组成的集合，所以集合中的元素个数有无数个.故选：D3从编号依次为01

2、，02，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（ ）5308 3395 5502 6215 2702 4369 3218 1826 0994 78465887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 1495 5656A09B02C15D18【答案】A【分析】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取，舍去不在范围内的和重复的数字，可得答案【详解】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取，（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），则

3、第五个编号为故选：A4心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，其中为血压(单位：)，t为时间(单位：)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（ ）ABCD【答案】A【分析】相邻血压的最大值与最小值之间的间隔，由三角函数性质易知为半个周期，求得血压函数的周期即可求得.【详解】由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期，则，时间间隔为.故选：A.5已知等比数列中，则数列的前6项和（ ）A12B14C16D18【答案】B

4、【分析】首先根据条件先求公比，再求首项，代入公式求.【详解】，.故选：B.6如图，正四棱锥的高为12，分别为，的中点，过点，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知点投影位置，即可得出答案.【详解】研究平面DPB，设AC与BD的交点为O，BM与EF交点为N,为的中点，为的中点，又因为,过点作，设，又，,为4个格，为8个格，故选：C【点睛】关键点点睛：研究并计算平面,确定点在底面上的投影的位置，是解题的关键，属于中档题.7已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则周长的最

5、小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点，准线的方程为，过做，垂足为，设周长为，由抛物线的定义可知：，因此，当在同一条直线上时，有最小值，即时，故选：B8已知，若有两解，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】首先求解时的实数根，再根据函数图象，判断时，方程有一个解时，的取值范围.【详解】由条件可知且，当时，解得：，成立，当时，若，有解，则，如图，当时，有交点，越大，越小，越大，当时， 故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数，以及根据方程实数根的个数，求参数的取值范围，本题的关键是数形结合分析，当时，有解，求参数

6、的取值范围.9已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用等价转化的方式探讨“”与“”的关系而得解.【详解】因为，所以，从而有“”是“”充要条件.故选：C.10将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）设，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）AB4CD【答案】C【分析】求出旋转后实轴所在直线方程，求出双曲线的两个顶点坐标，再由两点间的

7、距离公式可得解.【详解】旋转后两条渐近线分别为和，夹角为，旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为，斜率为，方程为，联立，解得或，所以旋转后的双曲线的两个顶点为或，所以实轴长为.故选：C11四面体中，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）ABCD【答案】D【分析】把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积.【详解】如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，在中，则又与夹角为，则，在中，则四面体的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为故外接球表面积为故答案为：D.【点睛】方

8、法点睛：将四面体外接球转化为长方体外接球，从而求得半径.12已知直线(a为常数，)，点是与的交点，则数列的前20项和为（ ）A320B360C590D600【答案】C【分析】联立直线方程，解出x，y的表达式，因交点是，则求得的，从而根据数列递推关系求得参数a的值，代入可求得数列通项公式，从而求得前20项和.【详解】联立，即，则，即，代入式，得，则，故，由的通项可以推出：，又，则，故，故数列的前20项和为.故选：C.【点睛】方法点睛：联立求得交点，满足数列的递推关系，求得参数和通项公式，进而求得前20项和.二、填空题13已知，则与同方向的单位向量是_【答案】【分析】求出的坐标与模，进而可求得与同

9、方向的单位向量为，即可得解.【详解】由已知条件可得，则，所以，与同方向的单位向量为.故答案为：.【点睛】结论点睛：（1）与非零向量共线的单位向量为；（2）与非零向量垂直的单位向量为.14某学科视导团有三名男专家和两名女专家，安排到五所学校进行教学视导，这五所学校中省级重点中学有三所，省级建设重点中学有两所，要求每所学校各派一位专家，两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有_种(结果用数字作答).【答案】108【分析】先求总的分派方案再减去不符合要求的方案即可【详解】两类学校都要有男专家，则不同的分派方案有 故答案为：10815若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为_.【答案】【分析】函数在上

10、单增，说明其导数在上大于等于0，恒成立，从而解得参数取值范围.【详解】，在上单增，等价于，在上恒成立，的对称轴为，则在上单增，则即故答案为：【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调递增，则其导数在去上大于等于0，恒成立.16通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点(如图所示)，如图是底面边长为2高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是_.【答案】【分析】作出光源投影后的图形，在三角形中分别解得椭圆参数a，c，从而求得离心率.【详解】从P作于M点，在平面内作球的切线，

11、交平面于N点，则在平面内形成的图形如图所示：底面边长为2高为3的正四棱柱，实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，则，故，则，根据题目条件知，是椭圆焦点，MN是长轴，即，则，离心率故答案为：三、解答题17在钝角中，为钝角，角所对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可得关系，结合内角和为可求得，由得到结果；（2）利用正弦定理可求得，利用三角形面积公式，结合二倍角公式可求得结果.【详解】（1）为钝角，又，解得：，.（2）由（1）得：，由正弦定理得：，.18如图，菱形的边长为4，对角线交于点，将沿折起得到三棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若与平面

12、所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【分析】（1）若要证面面垂直，只要证平面内一条直线垂直于另外一个平面即可；（2） 两种情况，1点D在面内的投影O落在内，2点D在面内的投影H落在外两种情况分类讨论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量进行求解即可.【详解】 （1） （2）（1）因为折叠前，所以，因为，所以平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知，平面平面，过点D作，则平面，1当点D在面内的投影O落在内时，如图（1），因为，所以，因为，所以，则，如图所示，建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，则，因为平面的法向量为，所以；2当点D在面内的投影H落

13、在外时，如图（2），因为面面，所以点H在的延长线上，中，.如图以E为原点，所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，由，得到，令，有，而平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为或.【点睛】本题考查了空间面面垂直的在证明，考查了利用空间直角坐标系求二面角，同时考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，属于较难题.本题的关键有：（1）证明面面垂直，先证明线面垂直；（2）建系求二面角关键是利用方程求法向量.19已知椭圆：的离心率，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，四边形的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上一点（不在坐标轴上），直线，分别与轴相交于，两点，设，

14、的斜率分别为，过点的直线的斜率为，且，直线与轴交于点，求的值【答案】（1）；（2）0【分析】（1）由离心率得，由四边形面积得，结合可求得得椭圆方程；（2）设，不妨设，得直线方程，可得点坐标，求出直线斜率，得直线方程，从而可得点坐标，计算即可得结论【详解】（1）由题：，且，又，所以，所以椭圆的方程为（2）设，则即，不妨设，直线：，令得，故；同理可求则，所以，所以直线为，令得，又，故即，又即，代入上式得，【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线椭圆方程的应用，解题关键是设，由在椭圆上得，解题方法是解析几何的基本方程，写出直线方程求得交点坐标，计算两点间距离，然后计算距离之差，得出结论考

15、查了学生的运算求解能力20某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.（1）当时，（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.【答案】（1）（i）；（ii）分布列答案见解析，数学期望：；（2）最小值

16、为.【分析】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，分别求得的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（ii）求得甲答对某道题的概率为，得到，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，求得， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，则，所以.（ii）随机变量X可取，甲答对某道题的概率为，则，则，则随机变量X的分布列为X01234P则.（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，其中甲答对某道题

17、的概率为，答错某道题的概率为则，所以甲答对题数比乙多的概率为解得，即甲的亲友团助力的概率P的最小值为.【点睛】方法点拨：记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”， 分别求得，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键.21已知函数的图象在处的切线斜率为.（1）求证：时，；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对复合函数求导，在上，利用进行放缩或者利用辅助角公式，来证明导数恒小于0，从而求得的最小值，与0进行比较即可.（2），利用放缩，结合（1）中函数得出的结论，进一步放缩，最后转化为对数的累加，从而证得结果.【详

18、解】证明：（1），由题，所以.故，在上，易知方法一：，令，知在单调递增，所以，也即，所以在上单调递减，所以，在得证；方法二：，令，知在单调递减，所以，知在单调递增，所以，也即，所以在上单调递减，所以，在得证；方法三：，因为，设，显然在单调递增，所以，所以在单调递减，故，因为，所以.（2）当时，因为，所以，则，由（1）知：时，令，所以，相加得.【点睛】方法点睛：导数解决函数最值问题，对于复杂函数，可以利用放缩的办法求得函数值恒成立，从而证得结论.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线：以原点为极点，的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；（2）曲线与交

19、于，四点，求以，为顶点的四边形的面积【答案】（1）；（2）4【分析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数即可；将，代入即可；（2）联立，分别求得A，B，C，D的坐标，结合图象，利用曲线和曲线的对称性得到ABCD为矩形求解.【详解】（1）因为曲线的参数方程为 ，解得，消去得曲线的普通方程为曲线：将，代入得：；（2）由解得或或或，不妨设，如图所示：由图可知四边形为矩形，所以四边形面积【点睛】关键点点睛：明确曲线和曲线都是中心对称，得到ABCD为矩形是求解本题的关键.23已知的最小值是（其中，都是0到1之间的正数）（1）求的值；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得的最小值为，结合，的范围可得结果；（2）结合（1）中的结论，将进行平方，由基本不等式得，进而可得结果.【详解】（1），因为，所以，当时取到最小值，所以即；（2）因为，所以，即，因为，所以，即