2021届四川省巴中市高三零诊考试-文科数学试题(含解析).doc

1、2021届四川省巴中市高三零诊考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】化简集合，根据集合的交集运算可得结果.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题.2若复数满足，则（ ）A5BCD【答案】B【解析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，进一步求得；【详解】解：由，得：，故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的模，属于基础题3设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为

2、，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题4已知，满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据指数与对数的关系，将指数式化为对数式，最后根据对数函数的单调性判断即可；【详解】解：因为，所以，因为在定义域上单调递增，所以所以，所以故选：A【点睛】本题考查指数与对数互化以及对数函数的性质的应用，属于基础题.5在中，则（ ）ABC或D【答案】A【解析】根据余弦定理求出，根据余弦定理求出.【详解】由余弦定理可得，得，即，解得或（舍去），所以.故选：A【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题.6已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得

3、到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，令，解得，故函数的对称中心为，可得的一个对称中心为，故选：B【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题7已知为圆上任一点，为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为（ ）A9BC3D【答案】B【解析】计算出圆上点到直线的最远距离为，利用面积公式即可得解.【详解】由题意知圆的圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以的最大值为故选：B.【点睛】

4、本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.8在直角中，点在平面内，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】以为原点建立直角坐标系，两直角边分别为轴和轴，设，得，设，将向量数量积的坐标运算和三角函数相结合即可得结果.【详解】由于，不妨以为原点建立直角坐标系，两直角边分别为轴和轴，设，由于，则，因为，为原点，故可设，所以，所以（其中为辅助角）当时，最小，最小值为，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，适当的方式建立坐标系是解题的关键，属于中档题.9已知，则（ ）A1B2C3D【答案】B【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.【

5、详解】因为，所以，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.102013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得不超过15的素数有6个，满足题意的孪生素数对有3对，利用古典概型公式可得结果.【详解】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，则从不超过15的素数中任取两个素数共有种根据素数对称为孪生

6、素数，则由不超过15的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13), 共有3组，能够组成孪生素数的概率为 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.11若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】对函数进行求导，可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，可得的图像，由函数在区间上有最小值，数形结合可得关于的不等式，计算可得答案.【详解】解：由，可得，当，当或时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，则的图像如图

7、所示，因为函数在区间上有最小值，故，解得：，故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.12已知双曲线：（，），过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】先根据点到直线距离公式求得，再由用表示出.根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为.将渐近线方程化为一般式为，双曲线满足，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，两点分别在一、四象限，

8、如下图所示:由点到直线距离公式可知，根据题意，则，设，由双曲线对称性可知，而，由正切二倍角公式可知，即，化简可得，由双曲线离心率公式可知，故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.二、填空题13命题“，都有”的否定是_【答案】，有【解析】命题“，都有”是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“，都有”是全称命题所以其否定是特称命题，“，有”.故答案为：，有【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14若，满足约束条件则的最大值_.【答案】【解析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组

9、表示的平面区域，由得，利用平移求出最大值即可【详解】解：不等式对应的平面区域如图：由得，平移直线，由平移可知当直线，经过点时，直线的截距最小，此时取得最大值，由，解得，即代入得，即的最大值是，故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题15三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】设三角形的外接圆的圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为，根据正弦定理求出，根据球的性质，得到，再根据勾股定理得到，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图：设三角形的外接圆的圆心为，半径为，三

10、棱锥外接球的球心为，半径为，的中点为，连接，因为平面，所以，又平面，所以，因为为的中点，所以，所以四边形为矩形，所以，在三角形中，由正弦定理得，所以，在直角三角形中，得，所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了球的性质，考查了球的表面积公式，考查了直线与平面垂直的性质定理，属于中档题.16已知函数，现有以下四个命题：是奇函数；函数的图象与函数的图象关于原点中心对称；对任意，恒有；函数与函数的最小值相同.其中正确命题的序号是_.【答案】【解析】对于，举特值可知不正确；对于，通过证明函数的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数的图象上，且函数的图象上任意一点关于原

11、点对称的点都在函数的图象上，可知正确；对于，设，利用导数求出最小值为0，可证不等式成立；对于，利用导数求出两个函数的最小值，可知正确.【详解】对于，设，因为所以不为奇函数，故不正确；对于，设为函数的图象上任意一点，则，所以，即，即点在函数的图像上，所以函数的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数的图象上，同理可知，函数的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数的图象上，所以函数的图象与函数的图象关于原点中心对称，故正确；对于，令，则，因为当时，所以，当时，所以，所以在上递减，在上递增，所以时，函数取得最小值，最小值为0，即，所以对任意，恒有，故正确；对于，因为，所以当时，当时，所以在上递减，在上

12、递增，所以当时，取得最小值，最小值为，因为，所以，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，最小值为，所以函数与函数的最小值相同，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的对称性，考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.三、解答题17已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由变形得：，可得证明.（2）由（1）知：,用裂项相消可求和,从而可证明.【详解】（1）由变形得：又，故数列是以1为首项1为公差的等差数列.（2）由（1）知：【点睛】本题考查根据数列的

13、递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题.18随着运动和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：分组（单位：千步）频数6014010060201802（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；（2）若用表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人

14、恰有150人，请填写下面列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？健步达人非健步达人合计40岁以上不超过40岁合计附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）千步（2）（3）答案见解析，有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关.【解析】（1）由计算可得解；（2）根据频数分布表列式可求得结果；（3）根据题得列联表，计算，根据临界值表可得答案.【详解】（1）这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为千步.（2）由频率约等于概率可得.（3）根据题意可得列联表如下：健步达人非健步达人合计40岁以上15050200不超过40岁50150200合计200

15、200400，所以有99.9%的把握认为，健步达人与年龄有关.【点睛】本题考查了根据频数分布表求平均数，求频率，考查了独立性检验，属于中档题.19如图，在直三棱柱中，点，分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1) 取的中点，连结，,可得四边形为平行四边形，所以，从而得证.（2）先求出，由条件可得平面，进而可得，求出，由等体积法有，求出答案.【详解】（1）证明：取的中点，连结，(如图)，由棱柱的性质知：，又，四边形为平行四边形，所以平面，平面平面（2）设点到平面的距离为是的中点，且，由平面及直棱柱的性质知，到平面的距离为由直棱柱

16、的性质知：，又，且平面又平面故【点睛】本题考查线面平行的证明和点到面的距离，考查逻辑思维能力，属于中档题.20已知椭圆：（）的离心率为，一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）设点，是椭圆上的两个动点，且线段的中点在直线上.试问：线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）线段的垂直平分线过定点，定点为.【解析】（1）根据离心率和焦点坐标求出，可得椭圆的方程；（2）设，则，当直线的斜率存在时，设直线 ，代入，根据韦达定理和中点坐标公式求出，进一步可求出直线的方程为，可知经过定点，当直线的斜率不存在时，直线也经过点.【详解】（1）依题意可得，所以，所

17、以椭圆的方程为.（2）设，则，当直线的斜率存在时，设直线，即，由消去并整理得，设，则， 因为线段的中点在直线上，所以，显然，所以，所以，所以直线，即，所以直线经过定点，当直线的斜率不存在时，直线也经过点，所以线段的垂直平分线经过定点，定点为.【点睛】本题考查了求椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.21已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）若时不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求导数，再根据导函数零点讨论导函数符号变化规律，根据单调性确定函数最值；（2）先求导数，根据导函数是否变号分类讨论，

18、再根据最值确定是否满足条件.【详解】（1）当时，；由得当时，单调递减当时，单调递增（2）由已知得：，当时，在单增，故单增恒成立当时，若，则，此时单调递减又当时故在上单调递减，此时在不能恒成立综上可知，实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求最值,利用导数研究不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属中档题.22在平面直角坐标系中以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于、两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由极坐标与直角坐标转化公式即可得到曲线的直角坐标方程；（

19、2）点在直线上，且恰好是直线所过的定点，则可由将直线的参数方程代入，整理得，由根与系数的关系，将，转化为的方程，即可求出的值【详解】解：（1）曲线的极坐标方程为，所以曲线的直角坐标方程是；（2）点在直线：（为参数）上，且恰好是直线所过的定点，将（为参数）代入，整理得，因为，又，令则有，即，又，所以，解得或（舍去）【点睛】本题考查极坐标与直角方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的线段长度的问题可以大大降低计算量，属于中档题23已知.（1）若存在使得，求的取值范围；（2）记是（1）中的最大值且，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出，再解不等式即得解；（2）先证明，再结合基本不等式证明即得证.【详解】（1）由题得，所以，所以.（2）由题得，所以，因为，所以，(当且仅当时取等)所以.所以得证.【点睛】本题主要考查利用三角绝对值不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，考查不等式的证明和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.