2021届浙江省名校协作体高三上学期开学考试数学试题(解析版).doc

1、2021届浙江省名校协作体高三上学期开学考试数学试题一、单选题1若集合，则为（ ）ABCD【答案】C【解析】直接根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以故选：C【点睛】本题考查并集的运算，属于基础题.2已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据双曲线方程与渐近线方程的关系求得，然后再利用求解.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3已知两个不重合的平面，若直线，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】

2、B【解析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若且，可推出，即必要性成立；反之，若，则与的位置关系不确定，即充分性不成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质以及充分条件与必要条件的判断，属于基础题.4元朝洋明算法记录了一首关于圆锥仓窖问题中近似快速计算粮堆体积的诗歌：尖堆法用三十六，倚壁须分十八停.内角聚时如九一，外角三九甚分明.每一句表达一种形式的堆积公式，比如其中第二句的意思:粮食靠墙堆积成半圆锥体，其体积为底面半圆弧长的平方乘以高，再除以18.现有一堆靠墙的半圆锥体粮堆，其三

3、视图如图所示，则按照古诗中的算法，其体积近似值是（取）（ ）A2B4C8D16【答案】B【解析】直接利用几何体的体积公式求出结果【详解】解：依题意该几何体为底面半径为2，高为2的半圆锥体所以其底面半圆弧为所以：故选：【点睛】本题考查几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5若实数x，y满足不等式组，则的最小值是（ ）A-3B-2C-1D0【答案】A【解析】根据已知不等式组画出可行域，分析可知最小值即直线在平移过程中，与可行域有交点时x轴上的截距最小，即可求出其最小值；【详解】由题意，有如下可行域范围，以及目标函数，求最小值即直线在平移过程中，与可行域有交点时x轴

4、上的截距最小，由图知：当直线过点时，有最小值，故选：A【点睛】本题考查了线性规划，利用约束条件得到可行域，判断如何平移对应直线，在其与可行域有交点情况下使目标函数有最值；6已知函数的局部图象如图所示，则的解析式可以是（ ）ABCD【答案】D【解析】由图象关于轴对称，且即可知正确选项；【详解】由图象知：为偶函数且，故排除A、B、C；故选：D【点睛】本题考查了利用函数图象确定解析式，注意图象的对称性、特殊点、周期性等性质确定解析式；7若实数x，y，z满足，记，则P与Q的大小关系是（ ）ABCD不确定【答案】A【解析】利用作差法比较即可；【详解】因为，所以，所以，所以，即故选：A【点睛】本题考查作差

5、法比较大小，属于中档题.8如图所示，在正三棱台中，记侧面与底面，侧面与侧面，以及侧面与截面所成的锐二面角的平面角分别为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，分别计算相应的二面角的余弦值，再根据余弦值的大小比较角的大小即可.【详解】解：如图，取中点，中点，连接，设的中心为，的中心为，则根据正三角形的中心与重心重合得分别为的三等分点，且，由于在正三棱台中，所以，由正三棱台的性质得平面，平面，过点作于，根据几何关系易知，故以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，所以，易知是平面的法向量，设平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，由于，所以，即，故，所以，所以侧面与

6、底面所成锐二面角余弦值为，即，由于，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，所以，所以侧面与侧面所成锐二面角余弦值为，即，侧面与截面所成锐二面角余弦值为，即，由于，均为锐角，所以.故选：B.【点睛】本题考查二面角的大小的计算，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.9已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题设得，结合有两个零点，可知两个零点在上或、各一个，进而得到的范围，即可求的范围；【详解】由的解析式知：，若函数恰有两个零点，有两种情况：1、当时，在上没有零点；在上要有两个零点，则即符合前提条件，此时，；2、当时，在上有一个零点为-1；在上要有一个零点即

7、可，则即；故有，此时综上，有：；故选：C【点睛】本题考查了利用函数零点求零点间距范围，分类讨论零点的分布情况得到参数范围，进而判断零点间距的范围；10已知数集具有性质P：对任意的，或成立，则（ ）A若，则成等差数列B若，则成等比数列C若，则成等差数列D若，则成等比数列【答案】D【解析】根据等差数列和等比数列的相关性质，结合条件，进行分析判断即可得解.【详解】证明：因为具有性质P，所以或中至少有一个属于，由于，所以，故，从而，故；因为，所以，故，由具有性质可知，又因为，所以，当时，有，即，因为，所以，故，由具有性质可知，由，得，且，所以，所以：，即是首项为1，公比为的等比数列.故选：D.【点睛】

8、本题考查了利用条件进行等比数列的判断，根据大小确定顺序及判断是否符合条件是解题关键，需要较强的逻辑思维能力和计算能力，属于难题.二、填空题11已知点P是椭圆上任一点，设点P到两直线的距离分别为，则的最大值为_.【答案】【解析】根据点到直线的距离求出为定值，利用不等式即可求出的最值.【详解】设是椭圆上任意一点，则，所以，因为，所以，当且仅当，即或时等号成立.故答案为：【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，椭圆的标准方程，不等式的性质，属于中档题.12设，函数在上的最小值为0，当取到最小值时，_.【答案】-1【解析】先求导以，根据函数在上的最小值为0，得到存在，有成立，然后建立模型，求得当取得最小

9、值的求解.【详解】因为函数所以因为函数在上的最小值为0，所以存在，有，解得，所以，当时，取得最小值，即，解得，此时，当时，当，所以当时，取得最小值0，符合题意，所以，故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数的最值与导数，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.13若平面向量，满足，则的最大值为_.【答案】【解析】，根据得到，求得的范围，令，对求导即可求最值.【详解】可设，由得，令 ,令，得，当，单调递增，当，单调递减，所以当时只有在有最大值，为，故答案为：.【点睛】本题考查向量与函数结合，通过求导利用函数的单调性求最值的问题，是中档题.三、双空题14已知复数：满足（为虚数单位），则复数的实部为_

10、，_.【答案】 【解析】根据复数满足，利用复数的乘除化简为，再利用复数的概念和模的公式求解.【详解】因为复数满足，所以，所以.故答案为：；【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则_，若直线l与圆C相交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角_.【答案】 0或 【解析】由圆的性质得直线过圆心，圆心坐标代入圆的方程即可；圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成直角三角形可得解.【详解】若圆C上存在两点关于直线l对称，则直线过圆心，；若直线l与圆C相交于A，B两点，且，根据圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成直角三

11、角形，则直线l到圆心的距离为，所以或，倾斜角，或，故答案为：；或.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、圆的性质，属于基础题.16已知等比数列的前n项和，则_，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为_【答案】1 【解析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即，结合对恒成立求的范围即可；【详解】由，而，即；由上知：，则，即，所以；故答案为：1，；【点睛】本题考查了等比数列的性质，根据前n项和求参数值，利用等比数列的对数成等差数列求前n项和，结合已知不等式恒成立求参数范围；17如图所示，在平面四边形中，则_，若，则_.【答案】 5 【解析】在中，根据 ，利用正弦定理求得 ，然

12、后再利用平方关系求解.在中根据，结合（1）利用余弦定理求解BD.【详解】在中， ，由正弦定理得：，所以，所以.在中，由余弦定理得：，所以，故答案为：；5【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题18已知函数.（）求在上的值域;（）若函数为奇函数，求的值.【答案】（）；（）或【解析】（）由三角恒等变换化简，根据正弦型三角函数的图象与性质求值域即可；（）化简函数，根据函数为奇函数可得，即可求解.【详解】（），.（），若函数为奇函数，即为奇函数，由，得，又，或.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦型函数的图象与性质，奇函数的概念

13、，属于中档题.19如图所示，在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知平面，四边形是菱形，.（）设O是线段的中点，求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（1）取的中点E可得为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）方法一：应用线面角的几何作法，过C作平面的垂线，垂足为G，则就是直线与平面所成角的平面角；根据其中及有中，即可求得的正弦值；方法二：利用空间向量求线面角正弦值，以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴构建空间直角坐标系，根据已知有，进而得到平面的法向量，根据法向量、直线夹角与线面角的关系求直线与平面所成角的正弦值即可；【详解】（）证

14、明：取的中点E，连接，由四边形是菱形，易知且，所以为平行四边形，即，又面，面，所以平面.（）解法一：过点C作平面的垂线，垂足为G，连接如下图，则就是直线与平面所成角的平面角.又是点O到平面的距离的2倍，连接，由，知平面，所以平面平面，在中，作，垂足为H，即平面由题可得，在中，所以点C到平面的距离为，所以.解法二：以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，得，所以，设平面的一个法向量为，则，得，令，有，所以.记为直线与平面所成角的平面角，则.【点睛】本题考查了应用线面平行判定证明线面平行，利用几何辅助线的方法找到线面角，进而根据线段数量关系及垂直关系求线面角正弦

15、值，或构建空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值；20已知等差数列与正项等比数列满足，且既是和的等差中项，又是其等比中项.（）求数列和的通项公式；（）记，求数列的前n项和，并求取得最小值时n的值.【答案】（），；（），当时，取到最小值.【解析】（）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，依题意得到方程组，解得即可；（）利用错位相减法求出，即可得到的最小值；【详解】（）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，由题得，即解得，所以，；（），由-，得，即，易知当时，；当时，.又，所以当时，取到最小值.【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的计算以及错位相减法求和，属于中档题.21如图所示，过抛

16、物线的焦点F作互相垂直的直线，交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），交抛物线于C，D两点，交其准线于点N.（）设的中点为M，求证：垂直于y轴；（）若直线与x轴交于Q，求面积的最小值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）设，代入，消去，设，利用韦达定理求解的纵坐标推出，即可说明垂直于轴（）求出，推出结合韦达定理推出然后求解的表达式，结合函数的导数求解函数的最小值即可【详解】.（）证明：设，代入，消x得，设，有，所以M的纵坐标.，解得，所以，所以垂直于y轴.（）解：可得，令，得.由，得，又，所以.所以.记，则，解得，即，所以在上递减，在上递增，所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综

17、合应用，考查转化思想以及计算能力，函数的导数的应用，属于较难题22已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，是函数最小的零点，求证：函数在区间上单调递减（注：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由，得出切点坐标，由得出切线的斜率方程，得出答案.（2）由，讨论出函数的单调区间，得出，从而当时，将绝对值打开，利用导数研究即可.【详解】（1）解：当时，所以，且，函数在处的切线斜率所以函数在处的切线方程为，即（2）证明：由，令，解得，所以函数在区间上单调递增，在区间单调递减，所令，则，所以在区间单调递增，而当时，由题意，可以得所以当时，则，当时，要想证明函数在区间上单调递减，只需，故只要证明记，在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增，所以，且在区间上单调递增，所以，所以函数在区间上单调递减【点睛】本题考查求函数的切线方程，考查函数的零点，讨论分析参数的单调性问题，考查分析问题，等价转化的能力，属于难题.